перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)

[fronnya]

Помогите пожалуйста понять, как работает значок алгебраической суммы.
Пусть даны две матрицы :

$$A=\begin {pmatrix} a_{11}& a_{12} \\ a_{21}& a_{22} \end {pmatrix}$$

$$B=\begin {pmatrix} b_{11}&b_{12} \\ b_{21}& b_{22} \end {pmatrix}$$

Допустим, мы перемножаем эти матрицы $A\cdot B$ Тогда некий элемент матрицы $C=A\cdot B$ находится по формуле $c_{ik}=\sum\limits_{j=1}^2 a_{ij}b_{jk}$ Ну возьмем да и распишем $c_{ik}=a_{i 1}b_{1 k}+ a_{i 2}b_{2 k}$, а дальше, я так понимаю, зависит от того, какой элемент мы хотим найти, например, пусть это будет $c_{12}$, тогда $c_{12}=a_{11}b_{12}+ a_{12}b_{22}$. Я все правильно понимаю ?

[zvm]

fronnya в сообщении #881080 писал(а):

Я все правильно понимаю ?

Правильно.

[fronnya]

zvm в сообщении #881083 писал(а):

fronnya в сообщении #881080 писал(а):

Я все правильно понимаю ?

Правильно.

это же можно вообще не задумываясь писать...

-- 28.06.2014, 09:13 --

Осталось лишь разобраться, каких значений не должен превышать каждый индекс. По определению, число столбцов первой матрицы, должно равняться числу строк во второй, это ясно, а вот $i$ и $k$ ? Как понять, какие значения они пробегают, когда записываешь сумму формально?

[zvm]

fronnya в сообщении #881086 писал(а):

Как понять, какие значения они пробегают, когда записываешь сумму формально?

Пусть даны две прямоугольные матрицы A и B размерности $m \times n$ и $n \times q$ соответственно:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix},\;\;\; B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nq} \end{bmatrix}$.
Тогда матрица C размерностью $m \times q$ называется их произведением:
$C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mq} \end{bmatrix}$,
где:
$c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} \;\;\; \left(i=1, 2, \ldots m;\; j=1, 2, \ldots q \right)$.

[fronnya]

zvm в сообщении #881093 писал(а):

fronnya в сообщении #881086 писал(а):

Как понять, какие значения они пробегают, когда записываешь сумму формально?

Пусть даны две прямоугольные матрицы A и B размерности $m \times n$ и $n \times q$ соответственно:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix},\;\;\; B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nq} \end{bmatrix}$.
Тогда матрица C размерностью $m \times q$ называется их произведением:
$C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mq} \end{bmatrix}$,
где:
$c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} \;\;\; \left(i=1, 2, \ldots m;\; j=1, 2, \ldots q \right)$.

ну да, по определению, снова я не посмотрел.. В новой матрице будет столько же строк, сколько в первой и сколько же столбцов, сколько и во второй

[Munin]

fronnya
Вы векторы умножать умеете (скалярно, заданные координатами)? Так вот, умножение матриц - это много-много умножений векторов.

Запомните принципиальную картинку:

$$ \left(\begin{array}{c} \boxed{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\end{array}}\\ \begin{array}{cccc}a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\ a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3m}\\ a_{41}&a_{42}&\cdots&a_{4m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{l1}&a_{l2}&\cdots&a_{lm}\end{array}\\ \end{array}\right) \,\,\cdot\,\, \left(\,\,\, \boxed{\begin{array}{@{}c@{}} b_{11}\\ b_{21}\\ \vdots\\ b_{m1}\\ \end{array}} \begin{array}{ccccc} b_{12}&b_{13}&\cdots&b_{1n}\\ b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_{m2}&b_{m3}&\cdots&b_{mn}\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccccc} \boxed{c_{11}}&c_{12}&c_{13}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\ c_{31}&c_{32}&c_{33}&\cdots&c_{3n}\\ c_{41}&c_{42}&c_{43}&\cdots&c_{4n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c_{l1}&c_{l2}&c_{l3}&\cdots&c_{ln}\\ \end{array}\right) $$

и мнемоническое правило "строка на столбец". То, что взято в рамочки, вычисляется как умножение вектора на вектор:

$$ \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}cc} a_{11}&&a_{12}&&\cdots&&a_{1m}&\\ \cdot&&\cdot&&&&\cdot&\\ \rule[-0.5em]{0pt}{0.5em}b_{11}&&b_{21}&&\cdots&&b_{m1}&\\ \cline{1-7} \rule{0pt}{1em}a_{11}b_{11}&{}+{}&a_{12}b_{21}&{}+{}&\,\ldots\,&{}+{}&a_{1m}b_{m1}&{}=\,c_{11}\\ \end{array} $$

[fronnya]

Munin в сообщении #881169 писал(а):

fronnya
Вы векторы умножать умеете (скалярно, заданные координатами)? Так вот, умножение матриц - это много-много умножений векторов.

Запомните принципиальную картинку:

$$ \left(\begin{array}{c} \boxed{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\end{array}}\\ \begin{array}{cccc}a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\ a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3m}\\ a_{41}&a_{42}&\cdots&a_{4m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{l1}&a_{l2}&\cdots&a_{lm}\end{array}\\ \end{array}\right) \,\,\cdot\,\, \left(\,\,\, \boxed{\begin{array}{@{}c@{}} b_{11}\\ b_{21}\\ \vdots\\ b_{m1}\\ \end{array}} \begin{array}{ccccc} b_{12}&b_{13}&\cdots&b_{1n}\\ b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_{m2}&b_{m3}&\cdots&b_{mn}\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccccc} \boxed{c_{11}}&c_{12}&c_{13}&\cdots&c_{1n}\\ c_{21}&c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\ c_{31}&c_{32}&c_{33}&\cdots&c_{3n}\\ c_{41}&c_{42}&c_{43}&\cdots&c_{4n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c_{l1}&c_{l2}&c_{l3}&\cdots&c_{ln}\\ \end{array}\right) $$

и мнемоническое правило "строка на столбец". То, что взято в рамочки, вычисляется как умножение вектора на вектор:

$$ \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}cc} a_{11}&&a_{12}&&\cdots&&a_{1m}&\\ \cdot&&\cdot&&&&\cdot&\\ \rule[-0.5em]{0pt}{0.5em}b_{11}&&b_{21}&&\cdots&&b_{m1}&\\ \cline{1-7} \rule{0pt}{1em}a_{11}b_{11}&{}+{}&a_{12}b_{21}&{}+{}&\,\ldots\,&{}+{}&a_{1m}b_{m1}&{}=\,c_{11}\\ \end{array} $$

Спасибо большое, я на векторах чуть позже остановлюсь очень подробно. А то, что Вы взяли в рамочки, это я для себя понял сам с самого начала, удобно очень. Просто в литературе много раз встречал формальную запись, ну как я в начале писал со значком суммы, вот и решил разобраться.

-- 28.06.2014, 12:48 --

то есть, если взять два вектора, то один можно представить, как матрицу-строку, а второй- как матрицу-столбец и умножить?

[bot]

Munin в сообщении #881169 писал(а):

То, что взято в рамочки, вычисляется как умножение вектора на вектор

Левый глаз cкачет слева направо по $i$-ой строке левой матрицы, а правый глаз - синхронно с левым сверху вниз по $j$-ому столбцу правой матрицы. На каждом скачке главный процессор (между глаз) вычисляет произведения объектов обзора глазами и складывает в $ij$-ю ячейку, которая была обнулена перед началом процесса.
Когда оба глаза успешно проскачут по всем своим элементам (левый - строки, а правый - столбца), разовьётся косо в $ij$-ой ячейке накопится потребное число.

[Munin]

Держа в голове картинку "строка на столбец", можно все эти формальные записи быстро восстановить, и с размерами матриц разобраться. А в обратную сторону - бывает неочевидно.

-- 28.06.2014 15:03:32 --

bot в сообщении #881180 писал(а):

Левый глаз cкачет слева направо по $i$-ой строке левой матрицы, а правый глаз - синхронно с левым сверху вниз по $j$-ому столбцу правой матрицы.

Ну зачем вы пропагандируете косоглазие! :-)

-- 28.06.2014 15:07:31 --

bot в сообщении #881180 писал(а):

На каждом скачке главный процессор (между глаз) вычисляет произведения объектов обзора глазами и складывает в $ij$-ю ячейку, которая была обнулена перед началом процесса.
Когда оба глаза успешно проскачут по всем своим элементам (левый - строки, а правый - столбца), в $ij$-ой ячейке накопится потребное число.

Можно думать так, "алгоритмически". Но по-моему, лучше думать "алгебро-геометрически", что все умножения происходят одновременно, а потом сложения (это алгебраически), либо что берётся скалярное произведение двух векторов как целого (геометрически). Это помогает интуиции во многих задачах линейной алгебры.

-- 28.06.2014 15:08:18 --

fronnya в сообщении #881172 писал(а):

то есть, если взять два вектора, то один можно представить, как матрицу-строку, а второй- как матрицу-столбец и умножить?

Да. Как раз так и делают.

А матрица - это как будто "много строк" (когда она слева), или "много столбцов" (когда она справа).

[fronnya]

Munin в сообщении #881186 писал(а):

Да. Как раз так и делают.
А матрица - это как будто "много строк" (когда она слева), или "много столбцов" (когда она справа).

Вот теперь я понимаю.

[Munin]

Ура!

[fronnya]

Munin в сообщении #881220 писал(а):

Ура!

А вот как возвести матрицу в степень n в общем виде? например:

$$\begin {pmatrix} -5&5\\ -5&5 \end{pmatrix}^n$$

[bot]

Возьмите для начала $n=2$

[fronnya]

bot в сообщении #881230 писал(а):

Возьмите для начала $n=2$

0

[Munin]

1. Можно (и нужно) перемножать длинную цепочку матриц:

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\underset{n\text{ раз}}{\ldots}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$

2. Бывают более удобные сокращённые способы, но они годятся не для любых матриц. Более того, такие способы позволяют возводить матрицы в нецелую степень, как и действительные числа. Но это вы изучите потом на линейной алгебре, а сейчас не стоит забегать вперёд: чтобы рассказать об этом, потребуется изложить много предварительной теории.