2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.
 
 перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 09:20 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Помогите пожалуйста понять, как работает значок алгебраической суммы.
Пусть даны две матрицы : $$A=\begin {pmatrix}
a_{11}& a_{12} \\
a_{21}& a_{22}
\end {pmatrix}$$ $$B=\begin {pmatrix}
b_{11}&b_{12} \\
b_{21}& b_{22} 
\end {pmatrix}$$ Допустим, мы перемножаем эти матрицы $A\cdot B$ Тогда некий элемент матрицы $C=A\cdot B$ находится по формуле $c_{ik}=\sum\limits_{j=1}^2 a_{ij}b_{jk}$ Ну возьмем да и распишем $c_{ik}=a_{i 1}b_{1 k}+ a_{i 2}b_{2 k}$, а дальше, я так понимаю, зависит от того, какой элемент мы хотим найти, например, пусть это будет $c_{12}$, тогда $c_{12}=a_{11}b_{12}+ a_{12}b_{22}$. Я все правильно понимаю ?

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 09:41 
Аватара пользователя


02/01/14
292
fronnya в сообщении #881080 писал(а):
Я все правильно понимаю ?
Правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 09:59 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
zvm в сообщении #881083 писал(а):
fronnya в сообщении #881080 писал(а):
Я все правильно понимаю ?
Правильно.

это же можно вообще не задумываясь писать...

-- 28.06.2014, 09:13 --

Осталось лишь разобраться, каких значений не должен превышать каждый индекс. По определению, число столбцов первой матрицы, должно равняться числу строк во второй, это ясно, а вот $i$ и $k$ ? Как понять, какие значения они пробегают, когда записываешь сумму формально?

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 10:34 
Аватара пользователя


02/01/14
292
fronnya в сообщении #881086 писал(а):
Как понять, какие значения они пробегают, когда записываешь сумму формально?
Пусть даны две прямоугольные матрицы A и B размерности $m \times n$ и $n \times q$ соответственно:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix},\;\;\; B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nq} \end{bmatrix}$.
Тогда матрица C размерностью $m \times q$ называется их произведением:
$C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mq} \end{bmatrix}$,
где:
$c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} \;\;\; \left(i=1, 2, \ldots m;\; j=1, 2, \ldots q \right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 11:37 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
zvm в сообщении #881093 писал(а):
fronnya в сообщении #881086 писал(а):
Как понять, какие значения они пробегают, когда записываешь сумму формально?
Пусть даны две прямоугольные матрицы A и B размерности $m \times n$ и $n \times q$ соответственно:
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix},\;\;\; B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nq} \end{bmatrix}$.
Тогда матрица C размерностью $m \times q$ называется их произведением:
$C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mq} \end{bmatrix}$,
где:
$c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} \;\;\; \left(i=1, 2, \ldots m;\; j=1, 2, \ldots q \right)$.

ну да, по определению, снова я не посмотрел.. В новой матрице будет столько же строк, сколько в первой и сколько же столбцов, сколько и во второй

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fronnya
Вы векторы умножать умеете (скалярно, заданные координатами)? Так вот, умножение матриц - это много-много умножений векторов.

Запомните принципиальную картинку:

$$
\left(\begin{array}{c}
\boxed{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\end{array}}\\
\begin{array}{cccc}a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\
a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3m}\\
a_{41}&a_{42}&\cdots&a_{4m}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{l1}&a_{l2}&\cdots&a_{lm}\end{array}\\
\end{array}\right)
\,\,\cdot\,\,
\left(\,\,\,
\boxed{\begin{array}{@{}c@{}}
b_{11}\\
b_{21}\\
\vdots\\
b_{m1}\\
\end{array}}
\begin{array}{ccccc}
b_{12}&b_{13}&\cdots&b_{1n}\\
b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{m2}&b_{m3}&\cdots&b_{mn}\\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cccccc}
\boxed{c_{11}}&c_{12}&c_{13}&\cdots&c_{1n}\\
c_{21}&c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\
c_{31}&c_{32}&c_{33}&\cdots&c_{3n}\\
c_{41}&c_{42}&c_{43}&\cdots&c_{4n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{l1}&c_{l2}&c_{l3}&\cdots&c_{ln}\\
\end{array}\right)
$$
и мнемоническое правило "строка на столбец". То, что взято в рамочки, вычисляется как умножение вектора на вектор:
$$
\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}cc}
a_{11}&&a_{12}&&\cdots&&a_{1m}&\\
\cdot&&\cdot&&&&\cdot&\\
\rule[-0.5em]{0pt}{0.5em}b_{11}&&b_{21}&&\cdots&&b_{m1}&\\ \cline{1-7}
\rule{0pt}{1em}a_{11}b_{11}&{}+{}&a_{12}b_{21}&{}+{}&\,\ldots\,&{}+{}&a_{1m}b_{m1}&{}=\,c_{11}\\
\end{array}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 13:40 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Munin в сообщении #881169 писал(а):
fronnya
Вы векторы умножать умеете (скалярно, заданные координатами)? Так вот, умножение матриц - это много-много умножений векторов.

Запомните принципиальную картинку:

$$
\left(\begin{array}{c}
\boxed{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1m}\end{array}}\\
\begin{array}{cccc}a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2m}\\
a_{31}&a_{32}&\cdots&a_{3m}\\
a_{41}&a_{42}&\cdots&a_{4m}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{l1}&a_{l2}&\cdots&a_{lm}\end{array}\\
\end{array}\right)
\,\,\cdot\,\,
\left(\,\,\,
\boxed{\begin{array}{@{}c@{}}
b_{11}\\
b_{21}\\
\vdots\\
b_{m1}\\
\end{array}}
\begin{array}{ccccc}
b_{12}&b_{13}&\cdots&b_{1n}\\
b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
b_{m2}&b_{m3}&\cdots&b_{mn}\\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cccccc}
\boxed{c_{11}}&c_{12}&c_{13}&\cdots&c_{1n}\\
c_{21}&c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\
c_{31}&c_{32}&c_{33}&\cdots&c_{3n}\\
c_{41}&c_{42}&c_{43}&\cdots&c_{4n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
c_{l1}&c_{l2}&c_{l3}&\cdots&c_{ln}\\
\end{array}\right)
$$
и мнемоническое правило "строка на столбец". То, что взято в рамочки, вычисляется как умножение вектора на вектор:
$$
\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}cc}
a_{11}&&a_{12}&&\cdots&&a_{1m}&\\
\cdot&&\cdot&&&&\cdot&\\
\rule[-0.5em]{0pt}{0.5em}b_{11}&&b_{21}&&\cdots&&b_{m1}&\\ \cline{1-7}
\rule{0pt}{1em}a_{11}b_{11}&{}+{}&a_{12}b_{21}&{}+{}&\,\ldots\,&{}+{}&a_{1m}b_{m1}&{}=\,c_{11}\\
\end{array}
$$

Спасибо большое, я на векторах чуть позже остановлюсь очень подробно. А то, что Вы взяли в рамочки, это я для себя понял сам с самого начала, удобно очень. Просто в литературе много раз встречал формальную запись, ну как я в начале писал со значком суммы, вот и решил разобраться.

-- 28.06.2014, 12:48 --

то есть, если взять два вектора, то один можно представить, как матрицу-строку, а второй- как матрицу-столбец и умножить?

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 13:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Munin в сообщении #881169 писал(а):
То, что взято в рамочки, вычисляется как умножение вектора на вектор

Левый глаз cкачет слева направо по $i$-ой строке левой матрицы, а правый глаз - синхронно с левым сверху вниз по $j$-ому столбцу правой матрицы. На каждом скачке главный процессор (между глаз) вычисляет произведения объектов обзора глазами и складывает в $ij$-ю ячейку, которая была обнулена перед началом процесса.
Когда оба глаза успешно проскачут по всем своим элементам (левый - строки, а правый - столбца), разовьётся косо в $ij$-ой ячейке накопится потребное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Держа в голове картинку "строка на столбец", можно все эти формальные записи быстро восстановить, и с размерами матриц разобраться. А в обратную сторону - бывает неочевидно.

-- 28.06.2014 15:03:32 --

bot в сообщении #881180 писал(а):
Левый глаз cкачет слева направо по $i$-ой строке левой матрицы, а правый глаз - синхронно с левым сверху вниз по $j$-ому столбцу правой матрицы.

Ну зачем вы пропагандируете косоглазие! :-)

-- 28.06.2014 15:07:31 --

bot в сообщении #881180 писал(а):
На каждом скачке главный процессор (между глаз) вычисляет произведения объектов обзора глазами и складывает в $ij$-ю ячейку, которая была обнулена перед началом процесса.
Когда оба глаза успешно проскачут по всем своим элементам (левый - строки, а правый - столбца), в $ij$-ой ячейке накопится потребное число.

Можно думать так, "алгоритмически". Но по-моему, лучше думать "алгебро-геометрически", что все умножения происходят одновременно, а потом сложения (это алгебраически), либо что берётся скалярное произведение двух векторов как целого (геометрически). Это помогает интуиции во многих задачах линейной алгебры.

-- 28.06.2014 15:08:18 --

fronnya в сообщении #881172 писал(а):
то есть, если взять два вектора, то один можно представить, как матрицу-строку, а второй- как матрицу-столбец и умножить?

Да. Как раз так и делают.

А матрица - это как будто "много строк" (когда она слева), или "много столбцов" (когда она справа).

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 14:12 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Munin в сообщении #881186 писал(а):
Да. Как раз так и делают.
А матрица - это как будто "много строк" (когда она слева), или "много столбцов" (когда она справа).

Вот теперь я понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 14:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ура!

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 15:02 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Munin в сообщении #881220 писал(а):
Ура!

А вот как возвести матрицу в степень n в общем виде? например: $$\begin {pmatrix}
-5&5\\
-5&5
\end{pmatrix}^n$$

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Возьмите для начала $n=2$ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 15:28 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
bot в сообщении #881230 писал(а):
Возьмите для начала $n=2$ :-)

0 :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)
Сообщение28.06.2014, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
1. Можно (и нужно) перемножать длинную цепочку матриц:
$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot\underset{n\text{ раз}}{\ldots}\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$

2. Бывают более удобные сокращённые способы, но они годятся не для любых матриц. Более того, такие способы позволяют возводить матрицы в нецелую степень, как и действительные числа. Но это вы изучите потом на линейной алгебре, а сейчас не стоит забегать вперёд: чтобы рассказать об этом, потребуется изложить много предварительной теории.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 138 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group