перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)

[fronnya]

я сначала подумал, что вы спросили про $\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^2$

[Munin]

fronnya в сообщении #881786 писал(а):

нулю.

Нет, ну не для всяких же $n.$ Я точно знаю, что для $n=0$ и $n=1$ это равно чему-то другому :-)

-- 29.06.2014 15:20:01 --

fronnya в сообщении #881790 писал(а):

я сначала подумал, что вы спросили про $\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^2$

Сначала и было про квадрат. А теперь я расширил вопрос до $n$-й степени, можете для ответа использовать известный вам результат о квадрате.

[fronnya]

Munin в сообщении #881789 писал(а):

И кстати, а чему теперь равно $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}^n$?

смотря при каких $n$.. в квадрате получилась единичная матрица, а дальше -другие матрицы. Разные

-- 29.06.2014, 13:29 --

Munin в сообщении #881318 писал(а):

$$\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}^n,\qquad\begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix}^n$$

В первой матрице получается

$$\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}$$

[Mathusic]

fronnya в сообщении #881793 писал(а):

смотря при каких $n$.. в квадрате получилась единичная матрица, а дальше -другие матрицы. Разные

Какие? Как это можно записать компактно?

[Munin]

Пара слов, которые как понятия, оказаться полезными:

Идемпотентный элемент (идемпотент) - это такой элемент $I$ какой-то алгебраической системы, для которого $I\cdot I=I.$ (Для разных алгебраических систем там могут стоять разные операции, для матриц имеет смысл умножение. Единственная идемпотентная матрица по сложению - нулевая, это скучно.)

Нильпотентный элемент (нильпотент) - это такой элемент $N$ какой-то алгебраической системы с нулём, для которого $N\cdot N=0.$ (Вообще говоря, нильпотентами называют и такие элементы, которые дают нуль в какой-то более высокой степени, но для матриц $2\times 2$ нам это не пригодится.)

Ну и корень из единицы, это, разумеется, такой $R,$ что $R^n=1,$ например, квадратный корень из единицы: $R\cdot R=1.$ Это неформально, некоторые тут требуют, чтобы корень был операцией с единственным результатом, и тогда корнем из единицы может быть только единица :-)

-- 29.06.2014 15:37:15 --

Для элементов, обладающих этими свойствами, вычисление $n$-й степени особенно просто.

-- 29.06.2014 15:38:26 --

fronnya в сообщении #881793 писал(а):

смотря при каких $n$.. в квадрате получилась единичная матрица, а дальше -другие матрицы. Разные

Можете ли вы найти какую-нибудь закономерность?

Кстати, что вы скажете про такую ужасно сложную штуку: $(-1)^n$?

-- 29.06.2014 15:39:06 --

fronnya в сообщении #881793 писал(а):

В первой матрице получается

$$\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}$$

Правильно. Забавно, а? Матрицы, вроде, умножаем, а элементы складываются.

[fronnya]

Munin в сообщении #881798 писал(а):

fronnya в сообщении #881793 писал(а):

смотря при каких $n$.. в квадрате получилась единичная матрица, а дальше -другие матрицы. Разные

Можете ли вы найти какую-нибудь закономерность?

Конечно, что-то вижу. Там нолик бегает внизу то налево, то направо, если $n$- четное, то нолик в ячейке 21, если $n$ - нечетное- то в 22

-- 29.06.2014, 13:45 --

Mathusic в сообщении #881795 писал(а):

Какие? Как это можно записать компактно?

не знаю, как компактно записать бегающий нолик.

-- 29.06.2014, 13:46 --

Munin в сообщении #881798 писал(а):

fronnya в сообщении #881793 писал(а):

В первой матрице получается

$$\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}$$

Правильно. Забавно, а? Матрицы, вроде, умножаем, а элементы складываются.

И правда. Забавно. Я это заметил. И это вообще не очевидно, если не проверить самому.

-- 29.06.2014, 13:49 --

Munin в сообщении #881798 писал(а):

Кстати, что вы скажете про такую ужасно сложную штуку: $(-1)^n$?

Смотря, что это такое, если просто число, то при четных $n$ оно становится положительным, а при нечетных- отрицательным.

[Munin]

fronnya в сообщении #881801 писал(а):

Конечно, что-то вижу. Там нолик бегает внизу то налево, то направо, если $n$- четное, то нолик в ячейке 21, если $n$ - нечетное- то в 22

Вот не только внизу.

fronnya в сообщении #881801 писал(а):

не знаю, как компактно записать бегающий нолик.

Вот так и запишите: "при $n$ таких-то будет тру-ля-ля, а при $n$ сяких-то - тра-ля-ля". Это вполне достаточно для ответа. Нам же суть нужна, а не формальная запись правильными закорючками.

fronnya в сообщении #881801 писал(а):

Смотря, что это такое, если просто число, то при четных $n$ оно становится положительным, а при нечетных- отрицательным.

Ну вот видите, можете же компактно всё описать :-) Правда, ответ неполный. Полный ответ такой: при четных $n$ оно становится $1,$ а при нечетных - $-1.$

Кстати, а если это не число, а надо понимать в смысле $1$ - единичная матрица? Тогда ответ какой?

[fronnya]

Munin в сообщении #881816 писал(а):

]

Кстати, а если это не число, а надо понимать в смысле $1$ - единичная матрица? Тогда ответ какой?

она в любой степени останется единичной, она часом не идемпотентная ?

[Munin]

fronnya в сообщении #881820 писал(а):

она в любой степени останется единичной, она часом не идемпотентная ?

Правильно, но у меня-то вопрос был про $(-1)^n.$ Если $1$ - единичная матрица, то что такое будет $-1$? И какая у него будет $n$-я степень?

И вообще, кстати, давайте найдём уж $(a\,1)^n,$ где $1$ - единичная матрица, а $a$ - какое-то действительное число.

-- 29.06.2014 16:14:56 --

Кстати, начинали мы с такой штуки, как умножение матриц, а потом просто увлеклись степенями. Давайте вот что подумаем: можно ли как-то упрощённо описать, что будет в результате

$$\begin{pmatrix}a&b&0\\c&d&0\\0&0&e\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}f&g&0\\h&k&0\\0&0&m\end{pmatrix}?$$

-- 29.06.2014 16:16:16 --

Не, для начала попроще,

$$\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}d&0&0\\0&e&0\\0&0&f\end{pmatrix}.$$

[fronnya]

Munin в сообщении #881816 писал(а):

fronnya в сообщении #881801 писал(а):

Конечно, что-то вижу. Там нолик бегает внизу то налево, то направо, если $n$- четное, то нолик в ячейке 21, если $n$ - нечетное- то в 22

Вот не только внизу.

при четных $n$ - это единичная матрица, а при нечетных- исходная.

[Munin]

fronnya в сообщении #881825 писал(а):

при четных $n$ - это единичная матрица, а при нечетных- исходная.

Правильно!

[fronnya]

Munin в сообщении #881822 писал(а):

fronnya в сообщении #881820 писал(а):

она в любой степени останется единичной, она часом не идемпотентная ?

Правильно, но у меня-то вопрос был про $(-1)^n.$ Если $1$ - единичная матрица, то что такое будет $-1$?

это будет единичная матрица, умноженная на $-1$ ? Опять же, при четных $n$ эта матрица будет положительной единичной, а при нечетных- $\begin {pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

[Munin]

Кстати, эта "исходная" матрица имеет собственное название: это первая матрица Паули. Вот все три матрицы Паули:

$$\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad\sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&\hphantom{-}0\end{pmatrix},\quad\sigma_3=\begin{pmatrix}1&\hphantom{-}0\\0&-1\end{pmatrix}.$$

Они играют огромную роль в физике, например, описывают спин электрона ("загадочный" до тех пор, пока человек не освоится с этими матрицами). И вообще, в алгебре матриц $2\times 2$ они играют роль, в чём-то аналогичную роли мнимой единицы $i$ в алгебре комплексных чисел. Заметьте, что мнимая единица одна, а тут таких матриц целых три. (Для матриц $3\times 3$ есть 8 матриц Гелл-Манна, применяемые для кварков, а для матриц $n\times n$ такие тоже можно записать, но собственных названий они не имеют.)

-- 29.06.2014 16:24:22 --

fronnya в сообщении #881829 писал(а):

это будет единичная матрица, умноженная на $-1$ ? Опять же, при четных $n$ эта матрица будет положительной единичной, а при нечетных- $\begin {pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Тоже правильно!!! :-)

[fronnya]

Munin в сообщении #881822 писал(а):

Не, для начала попроще,

$$\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}d&0&0\\0&e&0\\0&0&f\end{pmatrix}.$$

Будет $\begin{pmatrix} ad & 0 & 0 \\ 0 & be & 0\\ 0 & 0 & cf \end{pmatrix} $

-- 29.06.2014, 14:36 --

А если формально, то $c_{11}=a_{11}b_{11}, c_{22}=a_{22}b_{22}, c_{33}=a_{33}b_{33}$
А если в общем, то $c_{ik}=a_{ik}b_{ik}$

[Aritaborian]

Верно. А теперь

Munin в сообщении #881822 писал(а):

$$\begin{pmatrix}a&b&0\\c&d&0\\0&0&e\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}f&g&0\\h&k&0\\0&0&m\end{pmatrix}?$$