О "последнем" утверждении П. Ферма

[AD]

ljubarcev писал(а):

число слева целым быть не может

А вам только что PAV объяснил, что рациональное число $c/d$ может быть целым. Скажем, при $d=1$. Разумеется, при этом $(c/d)^n$ тоже будет целым. Взаимной простоте это тоже не противоречит.

[ljubarcev]

Уважаемые господа PAV и AD ! В свете Ваших верных указаний и замечаний дабы с экономить 40$ (такую цену установил drowsy) я решил написать рецензию сам. Вот что получилось.
В начале, как и положено – «за здравие».
1. Автор на основе предположения существования решений в целых числах равенства $z^n=x^n+y^n$ при не чётном $n>1$ делает очевидный банальный (ведь для любого человека всё что он уже понял , постиг, знает – банально) вывод: должно существовать равенство $z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$.
2. Методом «от противного» логично, строго и убедительно доказано, что упомянутое число $z$ не может быть дробным рациональным числом и получено неравенство
$(\frac{c}{d})^n\ne x^n+y^n$.
3. Путём обычных арифметических операций (опять банально) получено неравенство $c^n\ne a^n+b^n$, доказывающее теорему.
Теперь «за упокой»
1.Автор доказывает теорему, предполагая «не чётное $n>1$ .
а) факт не чётности $n$ в доказательстве не используется, поэтому для полноты доказательства случай четного $n$ подлежит обязательному рассмотрению, так как при этом решения в целых числах возможны.
б) Случаи $n=1$ так же необходимо рассмотреть, так как и при этом решения в целых числах возможны.
b) Случай $z$ иррационального, когда решения есть при любых
$x;y;n$, можно не рассматривать, так как очевидно, что это решения не в целых числах.
Любарцев Владимир Васильевич.
Прошу у уважаемой публики критики теперь уже рецензии..
Дед.

[PAV]

А случай целого $z$ автор решил не рассматривать просто так, потому что этот случай ему не понравился (хотя именно он-то и является основным).

Т.е. автор сформулировал одно утверждение, сложное, а доказал совсем другое, банальное.

[Алексей К.]

ljubarcev писал(а):

Прошу у уважаемой публики критики теперь уже рецензии..

Пожалуйста, пишите слово "нечётный" слитно; право, глазки режет...

ljubarcev писал(а):

ведь для любого человека всё что он уже понял , постиг, знает – банально (курсив мой, АК)

(а) Самоуверенное заявление.
(б) Фраза не для рецензии.

[Yarkin]

AD писал(а):

ljubarcev писал(а):

число слева целым быть не может

А вам только что PAV объяснил, что рациональное число $c/d$ может быть целым. Скажем, при $d=1$. Разумеется, при этом $(c/d)^n$ тоже будет целым. Взаимной простоте это тоже не противоречит.

Похвальная математическая солидарность. Забыли определение простого числа. При рассуждениях PAVа все числа можно считать и иррациональными и комплексными. Тогда Яркин оказывается прав в своем выводе, что любое уравнение надо рассматривать в комплексной плоскости.

[нг]

Yarkin, пожалуйста, следите, что Вы пишите. Ваши сообщения звучат неуважительно по отношению к остальным участникам форума.

Yarkin писал(а):

Забыли определение простого числа

Вы путаете определения простых чисел и взаимно простых чисел. 1 взаимно просто с любым натуральным числом (и это непосредственно следует из определения взаимной простоты).

Yarkin писал(а):

При рассуждениях PAVа все числа можно считать и иррациональными

Нельзя. По определению, иррациональным называется число, не являющееся рациональным. В тоже время, каждое целое число является рациональным.

Давайте прекратим на этом дискуссию о строении чисел. Либо Вы найдёте время и силы ознакомится с чем-либо более современным, чем труды Пифагора, либо не называйте это математикой. Ваш экскурс в терминологию напоминает захват темы, о котором Вас предупреждали. Посему — замечание.

[Yarkin]

нг писал(а):

Вы путаете определения простых чисел и взаимно простых чисел. 1 взаимно просто с любым натуральным числом (и это непосредственно следует из определения взаимной простоты).

Уважаемый нг! Извините за резкость. Наверно она понятна. Но согласиться с этим выводом не могу. Если Вы укажете обоснование этого вывода, то я буду благодарен. $1$ не относится ни к простым, ни к составным числам. Она является посредником для определения взаимной прстоты нескольких чисел. По определению рациональное число называется целым, если его знаменатель равен $1$ - дроби нет. Называя $1$ взаимно простым с любым натурпальным числом, мы, невольно, отнесем ее либо к простым, либо к составным числам.

[Brukvalub]

Yarkin писал(а):

По определению рациональное число называется целым, если его знаменатель равен $1$

Так, оказывается Вы и сами прекрасно знаете, что множество целых чисел является подмножеством множества рац. чисел, просто Вам нравится "ваньку валять"

[Someone]

Yarkin, так может, Вы нам и определение взаимно простых чисел сформулируете?

[незваный гость]

Yarkin писал(а):

Если Вы укажете обоснование этого вывода, то я буду благодарен.

Наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел — это наибольшее целое число, которое делит каждое из них.

Два целых числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

(1) Наибольший общий делитель — всегда положительное число (если существует).

(2) НОД натуральных чисел не превышает меньшего из них.

Следовательно, для любого натурального числа k НОД(k, 1) = 1. И, по определению взаимной простоты, k взаимно-просто с 1.

Заметьте, что ни в одном из определений, нигде в рассуждениях не использовалось понятие простого числа.

P.S. Позвольте дать Вам непрошенный совет: перед тем, как говорить о «похвальной математической солидарности», остановитесь, и задайте себе вопрос: может быть, это Вы не знаете определение? может быть, это Вы не поняли, что Вам пытаются сказать? Поверьте, что если Вы честно спросите, то Вам попытаются объяснить. А вот если Вы будете говорить математикам, что они «Забыли определение простого числа.», над Вами будут только смеяться. В целом, заслуженно смеяться.

[Yarkin]

незваный гость писал(а):

(2) НОД натуральных чисел не превышает меньшего из них.

Согласен со всем и советом, но это

незваный гость писал(а):

Следовательно, для любого натурального числа k НОД(k, 1) = 1. И, по определению взаимной простоты, k взаимно-просто с 1.

не убедительно по причине, о которой я писал выше.
Чтобы не было захвата темы, вернемся к ljubarcevу

ljubarcev писал(а):

а) факт не чётности $n$ в доказательстве не используется, поэтому для полноты доказательства случай четного $n$ подлежит обязательному рассмотрению, так как при этом решения в целых числах возможны.

А если под корнем слагаемых будет больше двух?

[Алексей К.]

Yarkin писал(а):

не убедительно по причине, о которой я писал выше.

А выше Yarkin писал(а):

нг писал(а):

Вы путаете определения простых чисел и взаимно простых чисел. 1 взаимно просто с любым натуральным числом (и это непосредственно следует из определения взаимной простоты).

...согласиться с этим выводом не могу. Если Вы укажете обоснование этого вывода, то я буду благодарен.

Нет никакого вывода. Есть определение. Вы зачем-то не соглашаетесь с определением взаимной простоты. В этой ситуации логично дать другое определение, либо спросить --- из каких соображений выбрано это определение, но (не)соглашаться --- как-то странно...

[ljubarcev]

PAV писал(а):

А случай целого $z$ автор решил не рассматривать просто так, потому что этот случай ему не понравился (хотя именно он-то и является основным).

Т.е. автор сформулировал одно утверждение, сложное, а доказал совсем другое, банальное.

Уважаемый PAV ! В теме становится бурно и много мусора всплывает. Но отрадно то, что вслед за Вами народ смело признаёт, что натуральное число является рациональным. Но тогда очевидным становится логический вывод; так как число $z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$ не может быть дробным рациональным, то оно тем более не может быть целым. А это позволяет утверждать, что моё доказательство теоремы в той формулировке как я её привел – верно, кратко и красиво. Правда, краткость и красивость ничего не доказывают, но являются первым признаком верности. Конечно, ответ на «главный», как вы указываете вопрос - куда девать $5=\sqrt[n]{3^2+4^2}$ должен быть дан и мне он уже ясен и содержится в моей формулировке теоремы.
С вашим замечанием Всем относительно математики полностью согласен. Теорема Ферма не является математикой в современном понимании и любители – не математики. Оно и понятно. Ведь П. Ферма жил и работал в то время, когда Виета только закладывал основы математического языка, а об интернете, способствующему быстрому распространению знаний никто и не помышлял. Так что теорема Ферма на большее чем элементарная геометрия и арифметика не тянет.
Теперь по сути рассматриваемого вопроса.
В «последнем» утверждении П. Ферма речь идёт о ПРЕДСТАВЛЕНИИ натуральных чисел при целых $n=1;2;3… $ (2) - то есть равенствах вида $N=z=x+y$; $N= z=x^2+y^2$; $N= z=x^3+y^3$; и т.д.
Рассмотрим равенство $z^n=x^n+y^n$ в натуральных числах при $n=1$, то есть равенство вида $z=x+y$.
Применим известное построение Евклида справедливое для любых отрезков. Построим «большой» квадрат со стороной $x+y$, являющейся суммой двух целочисленных отрезков $x$ и $y$. Точки соединения отрезков $x$ и $y$ прилежащих сторон соединим между собой. Внутри «большого» квадрата получится «малый» квадрат. Это будет именно квадрат, так как у этой фигуры по построению все стороны равны и углы прямые. Из построения видно, что площадь «большого» квадрата состоит из площади четырех прямоугольных треугольников с катетами x, y и малого квадрата, то есть всегда имеет место равенство
$(x+ y)2 = 4xy/2+s_1^2$, откуда получаем, что должно иметь место равенство $x2+y2=s_1^2$. (2). Докажем, что в этом случае решения в целых числах есть, хотя это давно известно. Но я позволю себе привести доказательство, до которого додумался сам.
Очевидно, что равенство $z=x+y$ разрешимо в натуральных числах при любом $z>1$. Естественно, оно разрешимо и при любом $z$, являющемся числом в любой целой положительной степени $k$. Рассмотрим случай, когда $z=a^2$. Где $a$ не чётное натуральное число. При этом всегда равенство $a^2=c+b$ (1) разрешимо в целых числах, при чём числа $c;b$ различной чётности. Для определённости положим $c>b$. Домножим равенство (1) на не чётное число $c-b$ и получим $(c-b)a^2=c^2-b^2$. Ясно что если взять пару соседних чисел $c-b=1$, а таковые при $a$ не чётном всегда есть, получим решение уравнения $a^2=c^2-b^2$. Возьмём квадрат минимального нечётного большего 1 числа 3 и получим $3^2=9=5+4$ и $3^2=5^2-4^2$, то есть пресловутое $z=5=\sqrt{3^2+4^2$. Теперь обращаю Ваше внимание на то, что этот результат получается при $n=1$, то есть при $z=x+y$ и поэтому к утверждению Ферма никакого отношения не имеет!!!
Теперь рассмотрим утверждение П.Ферма при $n=2$, то есть равенство вида $N=z=x^2+y^2$, где $z$ - любое натуральное число, представимое в виде суммы двух квадратов. Выполним такое же построение Евклида для этого случая, то есть
положим, что длины отрезков сторон «большого» квадрата являются числами- квадратами $x=a^2$, $y=b^2$. Тогда должно быть $(a^2+b^2)^2=4a^2b^2/2+s_2^2$ и $a^4+b^4=s_2^2$.
Последнее равенство в целых числах решений не имеет. Это доказал сам П.Ферма и есть аналитические доказательство этого у Эдвардса и М.М. Постникова. Следовательно, число $s_2^2$ - целое, а $s_2=\sqrt{a^4+b^4}$ является квадратичной иррациональностью.
Теперь рассмотрим утверждение Ферма при $n=3;4;5;…$ и т.д., тоесть представление любого натурального числа в виде $N=z=a^3+b^3$; $N=z=a^4+b^4$; $N=z=a^5+b^5$ и т.д. Выполнив для каждого из этих случаев такие же построения Евклида, из них получим, что в целых числах должны существовать равенства: $a^6+b^6=s_3^2$; $a^8+b^8=s_4^2$; $a^{10}+b^{10}=s_5^2$ и т.д. Но эти равенства не имеют решений в целых числах. Кто, когда и как это доказал не знаю, но на это указывают и Эдвардс и М.М. Постников. Так что не хватало только моего красивого $c^n\ne a^n+b^n$ при $n$ не четном большем 1.
Дед.

[bot]

ljubarcev писал(а):

В теме становится бурно и много мусора всплывает... Но тогда очевидным становится логический вывод; так как число $z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$ не может быть дробным рациональным, то оно тем более не может быть целым.

Вот выделенное жирным шрифтом и есть тот самый мусор - прямо или косвенно Вы именно здесь и спотыкаетесь. Конечно очевидно, если бы это "так как" было доказано.

[PAV]

ljubarcev писал(а):

Но отрадно то, что вслед за Вами народ смело признаёт, что натуральное число является рациональным. Но тогда очевидным становится логический вывод; так как число $z=\sqrt[n]{x^n+y^n}$ не может быть дробным рациональным, то оно тем более не может быть целым.

Рискну утверждать, что ни одному здравомыслящему человеку этот "логический вывод" не очевиден. Дробные рациональные и целые числа - два непересекающиеся множества, и если доказано, что некоторый объект не может принадлежать одному из этих множеств, то ниоткуда не следует, что он не может принадлежать другому.