Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Munin]

g______d в сообщении #874111 писал(а):

Просто с бесконечными величинами проще работать, чем с конечными. С пределами проще работать, чем следить за явными оценками. Это абстракция, упрощающая дело.

Да, я согласен, что упрощающая. Вопрос в том, максимально ли упрощающая. Может, для преподавания - и нет?

g______d в сообщении #874111 писал(а):

Не понял, в чём подмена понятий.

См. приведённые мной примеры. Спросите ребёнка, непрерывна ли снежинка Коха (дав рисунок, а не объясняя процедуру построения - ну, пока не попросит).

g______d в сообщении #874111 писал(а):

Важен тот факт, что можно нарисовать мелом на доске любую кривую (ну, допустим, однозначно проецирующуюся на $x$), и она будет графиком функции.

Вот дело в том, что класс непрерывных функций - шире.

g______d в сообщении #874111 писал(а):

Я против того, чтобы считать, что, кроме элементарных, других функций нет

Вы ломитесь в открытую дверь. Вам никто и не предлагает так считать, и ваши оппоненты настаивают на том, что так не считают - и уже много страниц. Вы это можете услышать?

g______d в сообщении #874111 писал(а):

Разумеется, функции должны быть "довольно хорошими". И важным моментом также было понимание того, что "довольно хорошая" – это аналитическое свойство, а не алгебраическое.

Для вас важным моментом будет понимание того, что "довольно хорошая" - это не то свойство, о котором вы привыкли думать, а нечто большее.

Oleg Zubelevich
Лично вам, как любителю аналитической механики, задачка: какой класс кривых лучше всего описывает кривые, которые можно нарисовать мелом на доске? Нейроны можно считать электрическими цепями, составленными из стандартных микроэлектронных элементов: линейных, диода, транзистора. Человек состоит из глаза, руки, постоянной памяти (содержащей "идею" о том, какую кривую он хочет нарисовать - просто набор констант), и как-то соединяющих эти три элемента нейронов.

-- 10.06.2014 22:02:02 --

ewert в сообщении #874125 писал(а):

А те, что были приведены -- просто формально неверны.

Чья бы корова мычала...

[ewert]

Munin в сообщении #874126 писал(а):

Чья бы корова мычала...

Извините, сэр, но неверные формулировки остаются неверными независимо ни от каких коров. Тут я Вам ничем помочь не смогу, увы.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874111 писал(а):

Просто с бесконечными величинами проще работать, чем с конечными. С пределами проще работать, чем следить за явными оценками. Это абстракция, упрощающая дело.

Иногда да, а иногда нет.

[Munin]

ewert в сообщении #874127 писал(а):

Извините, сэр, но неверные формулировки остаются неверными независимо ни от каких коров.

Проблема в том, что вы верные от неверных отличить не можете. Поэтому, ваша бы корова молчала. Сэр.

[g______d]

Munin в сообщении #874124 писал(а):

И в какой точке у него будет производная?

Ни в какой. Пустое множество имеет меру нуль. Может быть, это плохой пример.

Munin в сообщении #874124 писал(а):

Тут картина такая: в физике есть понятие "мгновенная скорость в точке" в рамках некоторой математической модели. Физик легко заменит её на другую. Если с ней тоже можно будет работать. И почему бы и не на кусочно-липшицеву?

Да хоть на кусочно-линейную, хоть на сплайны. Просто это будет сложнее. Почему в квантовой механике не говорят на каждом шагу, что волновая функция кусочно-липшицева? Не потому ли, что более простые функциональные пространства достаточны и наиболее естественны?

Munin в сообщении #874124 писал(а):

Потому что в природе её точно нет, это физики выяснили, опустившись на уровень квантовой механики.

Вы мне сами недавно говорили, что природа умеет дифференцировать.

Munin в сообщении #874124 писал(а):

Потому что как раз траектории-то у броуновского движения и не существует! Существуют траектории, зарисованные с интервалами, скажем, в 5 секунд, в 2 секунды, в 1 секунду - а траектории самой по себе нет! Её можно воображать только как математическую абстракцию.

Так а зачем вообще все математические абстракции, связанные с бесконечно малыми, если в реальности бесконечно малых величин не бывает? Ровно потому, что с бесконечно малыми работать проще. Мы избавляемся от лишней переменной (параметр малости) и возвращаем её по мере необходимости. Любая асимптотика чего угодно хороша именно тем, что это функция от меньшего числа переменных.

warlock66613 в сообщении #874121 писал(а):

Ну у вас возможно и получится , но у физиков как-то получается гладкая кривая. (Здесь можно вспомнить сравнительно недавнюю тему про плотность и её строгое определение.)

Вы, видимо, имеете в виду плотность состояний. В таком случае пропущены три шага:

1) Загнать систему в ящик, чтобы спектр стал дискретным.
2) Нормировать функцию $N(E)$ на полное число состояний.
3) Устремить размер ящика к бесконечности.

В таком случае, действительно, мера или плотность $dN/dE$ будет стремиться к непрерывной мере, иногда с гладкой плотностью. Здесь у физиков и математиков нет никаких разночтений, просто математики более точно указывают класс, в котором происходит предельный переход.

[Xaositect]

ewert в сообщении #874125 писал(а):

А это называется просто вульгаризованным пределом. Физикам простительно. Они прекрасно понимают, что дискретность уровней в данном случае -- не более чем идеализация, просто не считают нужным произносить это.

Как раз таки дискретность уровней - это объективная реальность, а производная - это идеализация. Это даже математикам типа меня понятно.

[warlock66613]

ewert в сообщении #874125 писал(а):

Они прекрасно понимают, что дискретность уровней в данном случае -- не более чем идеализация, просто не считают нужным произносить это.

Вы где-то тут частицу "не" потеряли, но я вас понял. Только это не идеализация. Идеализация происходит на этапе построения математической модели, а усреднение по дискретным величинам и переход таким образом к непрерывным для использования аппарата производных и пределов происходит уже в рамках имеющейся матмодели. Это просто некоторая разновидность "приближённых вычислений".

[Munin]

g______d в сообщении #874134 писал(а):

Ни в какой. Пустое множество имеет меру нуль.

LOL Ах, вы в этом смысле :-)

Нет, я подразумевал в непустом множестве меры нуль, ну да ладно...

g______d в сообщении #874134 писал(а):

Да хоть на кусочно-линейную, хоть на сплайны. Просто это будет сложнее.

Доказательства, что будет сложнее, на бочку. Пока вся тема этому посвящена, а результатов - пшик и манная каша, размазанная по белой скатерти.

g______d в сообщении #874134 писал(а):

Почему в квантовой механике не говорят на каждом шагу, что волновая функция кусочно-липшицева? Не потому ли, что более простые функциональные пространства достаточны и наиболее естественны?

Если вы спросите меня, то я скажу - по привычке. Какие-то мудрёные математики сказали физикам, что "надо так", те пожали плечами и согласились. Работает - и ладно.

Ни один физик ни в одном квантовомеханическом расчёте непрерывностей и равномерных непрерывностей не проверяет! :-) И липшицевостей не будет проверять.

g______d в сообщении #874134 писал(а):

Вы мне сами недавно говорили, что природа умеет дифференцировать.

Да, но образно! И подробно пояснял, почему именно образно, и в каком именно смысле образно!

И физики всегда готовы наступить на ту мину, что эта образность где-то сломается. И окажется, что на самом деле природа умеет решать не ДУ, а МЛММ (см. выше в теме).

Собственно, такое даже было за 20-й век два или три раза: сначала с броуновским движением (спасибо, что напомнили!), потом с квантовой механикой по Гейзенбергу - он попросту отказался от всех непрерывных функций вообще, оставил только алгебру - и потом, возможно, ещё где-то в середине века, во время споров о КТП. Но всё вернулось на круги своя, и оказалось, что непрерывность всё-таки работает - хотя уже и операторов, а не функций. Кстати, и некоммутативная геометрия висит на стене заряженным ружьём, и "пыль Уилера"...

g______d в сообщении #874134 писал(а):

Так а зачем вообще все математические абстракции, связанные с бесконечно малыми, если в реальности бесконечно малых величин не бывает? Ровно потому, что с бесконечно малыми работать проще.

Нет, не ровно потому. Это взгляд математика, которому этого и достаточно.

Для физика причины две, и ни одну из них нельзя скидывать со счётов: с бесконечно малыми работать проще, и при этом результаты остаются правильными, соответствующими эксперименту. И вторая причина поважней первой.

g______d в сообщении #874134 писал(а):

Мы избавляемся от лишней переменной (параметр малости) и возвращаем её по мере необходимости. Любая асимптотика чего угодно хороша именно тем, что это функция от меньшего числа переменных.

Не факт, что всё это не останется после избавления от техники бесконечно-малых. Например, есть же нестандартный анализ.

-- 10.06.2014 22:26:18 --

Xaositect в сообщении #874139 писал(а):

Это даже математикам типа меня понятно.

Ура! Одним здравым математиком в теме больше!

[warlock66613]

g______d в сообщении #874134 писал(а):

Устремить размер ящика к бесконечности.

Я не уверен, что физик на это согласится. Он ведь хочет, чтобы его результаты были применимы к реальному кристаллу, в котором конечное количество атомов, а значит конечное количество уровней. И получается, что производная в данном случае - это просто способ подсчитать приближённое значение для отношения конечных разностей, и именно об этом физики умалчивают.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #874148 писал(а):

Я не уверен, что физик на это согласится.

В первом приближении - согласится. Точнее, в нулевом, по параметру $1/L$ :-)

Стандартная техника же. Конечные кристаллы только мезоскопистов-нанофизиков интересуют, ну или кое-где встречаются поликристаллы с малыми зёрнами...

[g______d]

warlock66613 в сообщении #874148 писал(а):

Я не уверен, что физик на это согласится. Он ведь хочет, чтобы его результаты были применимы к реальному кристаллу, в котором конечное количество атомов, а значит конечное количество уровней.

Я не знаю ни одного результата, в котором число атомов в кристалле входит в качестве параметра.

Цитата:

И получается, что производная в данном случае - это просто способ подсчитать приближённое значение для отношения конечных разностей, и именно об этом физики умалчивают.

Ну да. А бесконечность — приближенное значение для числа Авогадро. По крайней мере в основных моделях ФТТ число атомов равно бесконечности.

[warlock66613]

Munin в сообщении #874152 писал(а):

Конечные кристаллы только мезоскопистов-нанофизиков интересуют

Да, конечно. Кроме того, конечность кристаллов явно не в этом пункте даёт главные поправки, но важен принцип - говоря о бесконечном кристалле представлять просто очень большой.

[Munin]

g______d в сообщении #874153 писал(а):

Я не знаю ни одного результата, в котором число атомов в кристалле входит в качестве параметра.

Есть уже целая область физики - мезоскопика. Google that.

[g______d]

Munin в сообщении #874145 писал(а):

Доказательства, что будет сложнее, на бочку.

Ну Вы замучаетесь следить в теоретической части, почему операции не будут выводить из класса. А если Вы за этим следить не будете, то какая разница, в каком классе были изначальные функции?

Кроме того, в данной ситуации mishafromusa скорее должен доказывать, что получится проще. Пока не наблюдается. Я вижу увеличение числа переменных вместо уменьшения.

Munin в сообщении #874126 писал(а):

См. приведённые мной примеры. Спросите ребёнка, непрерывна ли снежинка Коха (дав рисунок, а не объясняя процедуру построения - ну, пока не попросит).

Это не график функции. В любом случае, непрерывность — это бинарное свойство, она есть или нет, а липшицевость и гельдеровость — это 100500 разных свойств, и непонятно, чем одно лучше другого. За порядком касания оси $OY$ в графике $\sqrt{x}$ ребенок точно не будет следить, а вот непрерывность наверняка углядит. Кроме того, непрерывность очень просто ведет себя при композиции, проще некуда.

Munin в сообщении #874126 писал(а):

Вот дело в том, что класс непрерывных функций - шире.

Да, но кривая мелом на доске концептуально гораздо ближе к произвольной непрерывной функции, чем к многочленам или синусам. Невозможно случайно взять и нарисовать синус.

Munin в сообщении #874145 писал(а):

Для физика причины две, и ни одну из них нельзя скидывать со счётов: с бесконечно малыми работать проще, и при этом результаты остаются правильными, соответствующими эксперименту. И вторая причина поважней первой.

Ну это, разумеется, важная причина. Я не хотел в качестве аргумента говорить "классический анализ зарекомендовал себя в математической физике", потому что меня сразу обзовут конформистом и ретроградом.

Munin в сообщении #874145 писал(а):

Не факт, что всё это не останется после избавления от техники бесконечно-малых. Например, есть же нестандартный анализ.

Нестандартный анализ не так плох, но в данный момент он слишком абстрактен по сравнению с обычным и основан на неочевидных фактах из теории множеств; а доказать с помощью него ничего нового, насколько я понимаю, нельзя, и это чуть ли не теорема. В данный момент недостатки перевешивают преимущества.

-- Вт, 10 июн 2014 11:50:48 --

warlock66613 в сообщении #874154 писал(а):

Кроме того, конечность кристаллов явно не в этом пункте даёт главные поправки, но важен принцип - говоря о бесконечном кристалле представлять просто очень большой.

Кому-то проще, говоря об очень большом, представлять бесконечный. Именно чтобы забыть о вопросе "насколько большой", если этот вопрос в данный момент не важен.

-- Вт, 10 июн 2014 11:51:40 --

Munin в сообщении #874156 писал(а):

Есть уже целая область физики - мезоскопика. Google that.

Теперь буду знать, спасибо.

[ex-math]

mishafromusa в сообщении #873778 писал(а):

Беда в том, что у Вас слишком узкое понятие о сути и о том, что такое математика.

Вам не кажется, что Вы недостаточно обо мне знаете, чтобы делать такие заявления? Такой поворот удивляет еще тем, что я всего лишь высказал свое отношение к Вашему предложению, а не к Вам лично.

mishafromusa в сообщении #873784 писал(а):

Тогда почему Вы запрещаете это делать другим, хотя бы в начале курса?!

Я никому ничего не запрещаю. Просто я бы так делать не стал, и попробовал объяснить почему.
Еще один момент, связанный с "традицией": дело ведь не только в косных математиках и замшелых учебниках, "предел-непрерывность-дифференцируемость" -- это еще и традиционный язык литературы по математике и смежным наукам. Студентов надо научить ему, чтобы облегчить им дальнейшую работу. Вот почему в университетах учат английский, а не французский?

Munin в сообщении #873779 писал(а):

Это интересная формулировка. Но нужны ли для этого доказательства? Или достаточно самих понятий?

КМК, связь между понятиями прочерчивается идеей доказательства. То есть технические подробности можно иногда и опустить. И однозначно нужны контрпримеры, желательно со ссылкой на доказательство (почему не проходит, что мешает, чего не хватает). Только определения, формулировки и примеры не дадут глубокого понимания.