Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #874009 писал(а):

давайте подробней. Докажите, что итерационный процесс сходится в пространстве непрерывных ( в Вашем смысле) функций

Т.е., скажем, липшицевых. Хорошо, я напишу и вывешу.

-- 10.06.2014, 09:10 --

Oleg Zubelevich в сообщении #874011 писал(а):

А что значит потом, пока Вы говорили про методику преподавания, это еще можно было обсуждать, когда Вы начали делать глобальные заявления про анализ в целом, то тут уже трудно удержаться от сильных выражений.

Ну потом -- это курсе на 3-м 4-м, а когда обощённые решения появляются? И какие заявления про анализ в целом имеются в виду? Напомните пожалуйста.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #874012 писал(а):

А теперь обратим внимание на тот забавный факт, что это не непрерывность!!!

обратим внимание на тот забавный факт, что это именно непрерывность, это стандартная теорема о непрерывной зависимости решения ДУ от начальных данных

Munin в сообщении #874012 писал(а):

Начиная с того, что "близкие" у физика не означает "бесконечно близкие", и "в пределе бесконечно близкие". Физик работает с конкретными числами.

это физик-экспериментатор работает с конкретными числами, а теоретик много с чем работает, в том числе и с анализом.

-- Вт июн 10, 2014 16:18:57 --

mishafromusa в сообщении #874014 писал(а):

И какие заявления про анализ в целом имеются в виду? Напомните пожалуйста.

mishafromusa в сообщении #873816 писал(а):

Хорошо, выкиньте из анализа все функции, заданные конкретными формулами, и заодно и равномерные пределы таких функций, и что увас останется после этого? Одна абстрактная чепуха.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #873992 писал(а):

А как физику, вам было бы приятнее наверное сразу научиться решать задачки по физике, используя ДУ на интуитивном и формальном уровне.

Вспомнилось: МФТИ, первый семестр, первый семинар по матану. "Первые две-три недели вы будете обезьянами — в том смысле, что вы будете механически проделывать определенные действия, не понимая их смысла." Первое задание сдаётся через три недели и включает в себя 15 длииииинных производных и 40 интегралов. "Пока ещё на лекциях вам не объяснили, что такое производная и интеграл, но на семинарах мы изучим простейшие техники — вы должны научиться дифференцировать и интегрировать механически, не думая. Почему — потому что вам сейчас это понадобится на физике, к тому же потом всё равно некогда вас этому обучать." Ностальгия...

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich,

Цитата:

mishafromusa в сообщении #873816
писал(а):
Хорошо, выкиньте из анализа все функции, заданные конкретными формулами, и заодно и равномерные пределы таких функций, и что увас останется после этого? Одна абстрактная чепуха.

Так ведь и непрерывных функций тоже не останется, как же без них-то?!

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #874022 писал(а):

Так ведь и непрерывных функций тоже не останется, как же без них-то?!

ну скатываться до такого уровня ведения разговора мне как-то неохота. С нетерпением жду доказательства теоремы Коши.

[ewert]

Munin в сообщении #874012 писал(а):

Что интересно, о том, что это сложный раздел для преподавания, говорят сами преподаватели математики. Те самые, которые за него и ратуют, например, тот же самый ewert. Парадоксально!

Вот только не надо передёргивать. Я ни разу не говорил, что он (раздел) "сложен". Лишь о том, что на него приходится при стандартном построении курса тратить слишком много времени -- необоснованно много для нематематиков. И о том, что как-то надо это дело оптимизировать; но вовсе не о том, что за счёт отказа от традиционной парадигмы. Она -- святое; и вовсе не потому, что в каких-то учебниках так написано. А потому, что (как уже подтверждено на многолетнем опыте) именно она наиболее адекватно раскрывает суть дела и открывает дверцы для в т.ч. и практических приложений. И вот характерный пример:

Munin в сообщении #874006 писал(а):

, а вы знаете, что в физическом смысле показывает спидометр? Именно $\Delta s/\Delta t.$

Вы говорите именно прозой, даже не осознавая того.

-- Вт июн 10, 2014 18:10:24 --

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #874020 писал(а):

"Пока ещё на лекциях вам не объяснили, что такое производная и интеграл, но на семинарах мы изучим простейшие техники — вы должны научиться дифференцировать и интегрировать механически, не думая.

Ну, это правильный подход.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #874019 писал(а):

обратим внимание на тот забавный факт, что это именно непрерывность, это стандартная теорема о непрерывной зависимости решения ДУ от начальных данных

Нет, давайте не передёргивать. Это разные вопросы, для физики, для природы. Связывать их воедино - это математическая модель.

Если говорить о решении ДУ (я попытался перевести ваше высказывание в более физическую плоскость, говоря о любой другой зависимости, но раз вы настаиваете...), то в физике вообще не встречается множества решений ДУ. В физике встречается одно решение ДУ. Можно взять несколько, поставив несколько экспериментов. Как оно устроено в плане непрерывности - это вопрос математической интерполяции.

Кроме того, не факт, что некоторая наблюдаемая физическая зависимость - это решение ДУ. Просто не факт. Может быть, это решение МЛММ (математического летающего макаронного монстра). Мы этого не знаем. И в результате, у нас три понятия: непрерывность, производная, ДУ - все врассыпную. По отдельности мы их можем физически оценить, но все они не очень-то совпадают с математическими.

Oleg Zubelevich в сообщении #874019 писал(а):

это физик-экспериментатор работает с конкретными числами, а теоретик много с чем работает, в том числе и с анализом.

Самое главное, с чем работает теоретик - это с экспериментатором. Это для него важнее, чем анализ.

Анализ для физика, в том числе теоретика, - только инструмент. Может быть, негодный. Тогда он его отложит, и будет искать другой получше (или изготавливать самостоятельно). Сегодняшний статус анализа как давно самого годного для физики - отнюдь не спущенная с Небес данность, а шаткий status quo. Почему-то математики не хотят этого понимать (или мириться, не знаю).

ewert в сообщении #874034 писал(а):

Я ни разу не говорил, что он (раздел) "сложен". Лишь о том, что на него приходится при стандартном построении курса тратить слишком много времени

Я и не говорил "сложен". Я говорил "сложен для преподавания", а затраты времени - как раз ясный индикатор этого.

Если у вас есть другая интерпретация этого положения, или другая расшифровка ваших слов, выслушаю.

ewert в сообщении #874034 писал(а):

Вы говорите именно прозой, даже не осознавая того.

Я-то как раз прекрасно осознаю, что $\Delta s/\Delta t\ne ds/dt.$

Меня удивляет, почему математики этого не осознают, а в описании работы спидометра как прибора - не верят мне на слово (хотя можно и конструкцию спидометра погуглить, это нетрудно).

ewert в сообщении #874034 писал(а):

но вовсе не о том, что за счёт отказа от традиционной парадигмы. Она -- святое; и вовсе не потому, что в каких-то учебниках так написано. А потому, что (как уже подтверждено на многолетнем опыте) именно она наиболее адекватно раскрывает суть дела и открывает дверцы для в т.ч. и практических приложений.

Извините, многолетний опыт может что-то подтвердить, если это был опыт отклонений в стороны. А не опыт заученного повторения одного и того же "как завещали в неолите наши предки".

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #874024 писал(а):

С нетерпением жду доказательства теоремы Коши.

Ну вот. Возьмём уравнение $x'=f(x,t)$ с начальным условием $x(0)=0$ и запишем его как $x(t)= \int_0^t f(x(u),u)du$. Итерации тогда будут такие: $x_{n+1}(t)= \int_0^t f(x_n(u),u)du$, и возьмём $x_0=0$. На каждом шаге $x_n$ будет липшицевой, т.к. $f$ ограничена, и даже липшиц-дифференцируемой, т.к. $f$ и $x_{n-1}$ липшицевы. Константы Липшица портиться не будут, и сходимость обеспечена при достаточно маленьком $t$.

[ewert]

Munin в сообщении #874048 писал(а):

А не опыт заученного повторения одного и того же "как завещали в неолите наши предки".

Наши предки считали. И то, что они считали -- до сих пор летает, несмотря на все новомодности. Если же Вы полагаете, что считали они категорически неправильно, а летать надобно совсем иначе -- тогда пример в студию, плиз.

Munin в сообщении #874048 писал(а):

Я-то как раз прекрасно осознаю, что $\Delta s/\Delta t\ne ds/dt.$

Нет, Вы этого не осознаёте. Судя по тому, что Вы значок равенства непринуждённо так заменили неравенством -- Вы точно не понимаете, что такое спидометр; и уж точно не понимаете, что при выписывании какого угодно равенства следует в обязательном порядке ставить вопрос о том, насколько ему можно доверять.

Хотя я, конечно, в курсе, что тут Вы всего лишь кокетничаете. Вы прекрасно понимаете, что речь идёт именно о пределе, но всячески избегаете поминать его по имени. Благочестиво, не спорю.

-- Вт июн 10, 2014 19:33:59 --

mishafromusa в сообщении #874062 писал(а):

На каждом шаге $x_n$ будет липшицевой, т.к. $f$ ограничена,

Я решительно ничего не понял, кроме одного: из всего лишь ограниченности эфа уж точно ровным счётом ничего не следует.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874070 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874062 писал(а):

На каждом шаге $x_n$ будет липшицевой, т.к. $f$ ограничена,

Я решительно ничего не понял, кроме одного: из всего лишь ограниченности эфа уж точно ровным счётом ничего не следует.

Ну как же так, прфессор, ведь функция с ограниченной производной липшицева... Или нет? И потом мы же с Зубелевичем договорились, что $f$ липшицева... А что ещё непонятно?

[Munin]

ewert в сообщении #874070 писал(а):

Нет, Вы этого не осознаёте. Судя по тому, что Вы значок равенства непринуждённо так заменили неравенством

LOL

Я как раз ничего не заменял. Не равны эти вещи, и всё тут. Они даже и в матанализе не равны. Если хотите, возьмите $s=(g/2)t^2,$ и посчитайте. (Вам, видимо, иногда полезно что-нибудь считать руками, чтобы не терять связи с землёй, и не воспарять в небеси. А то путаете себя с ангелом.)

ewert в сообщении #874070 писал(а):

Наши предки считали. И то, что они считали -- до сих пор летает, несмотря на все новомодности.

Я не спорю, что летает. Ошибка в другом: нельзя называть эту единственную точку экстремумом:

ewert в сообщении #874034 писал(а):

именно она наиболее

Может быть, соседняя точка - ещё более, а? Вы же не пробовали, не знаете. А может быть, и несоседняя.

ewert в сообщении #874070 писал(а):

Хотя я, конечно, в курсе, что тут Вы всего лишь кокетничаете. Вы прекрасно понимаете, что речь идёт именно о пределе, но всячески избегаете поминать его по имени.

Я прекрасно понимаю, что речь идёт именно НЕ о пределе, и я вам это уже говорил многократно, и даже цитаты из учебников физики приводили (не я) о том, что это не предел. Но в вас всё как в чёрную дыру, безрезультатно.

Надеюсь, это раскроет вашим собеседникам глаза на вашу адекватность в данном вопросе (мне-то уже давно ясно). Физики вы не знаете, не желаете знать, не желаете признавать, имеете по ней своё ошибочное мнение, менять его не намерены, и даже анализировать истоки своей уверенности не собираетесь.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa
: я Вас понял. так вроде-бы действительно можно строить анализ до какого-то предела. Получится самозамкнутая теория. И это упрощает рассуждения. Проблема в том, что для человека, который изучал анализ вот так , путь в общую нелипшицеву (и негельдерову) науку закрыт. Придется с первого курса переучиваться. А нелипшицевой науки хватает, в том числе в приложениях.

[ewert]

Munin в сообщении #874074 писал(а):

и я вам это уже говорил многократно, и даже цитаты из учебников физики приводили

Все учебники физики (надо, наверное, оговориться, что все вменяемые, но я выскажусь аккуратнее -- практически все) в этом месте подразумевают ровно предел. Если некоторые из них стесняются произнести это открытым текстом -- ну, простить можно. Однако это ещё не основание для того, чтоб обзывать всех учебников идиотами.

mishafromusa в сообщении #874073 писал(а):

И потом мы же с Зубелевичем договорились, что $f$ липшицева...

Меня не интересует, о чём Вы там с OZ и где-то там договорились. "Здесь Родос -- здесь и прыгай". Пока же Вы прыгнули крайне неудачно (ну т.е. Ваша аргументация в предпоследнем посте просто тривиально неверна).

[warlock66613]

Munin в сообщении #874074 писал(а):

даже цитаты из учебников физики приводили (не я) о том, что это не предел

Может это уже поминалось выше, мог пропустить, но имеет смысл вспомнить такую штуку, как "физически бесконечно малый объём", который совершенно не предполагает, что соответствующая величина стремится к нулю, однако используется как бесконечно малая, и вполне успешно.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #874076 писал(а):

А нелипшицевой науки хватает, в том числе в приложениях.

Можете привести физический пример функции, в которой производная не определена нигде, кроме множества меры нуль?

ewert в сообщении #874077 писал(а):

Все учебники физики (надо, наверное, оговориться, что все вменяемые, но я выскажусь аккуратнее -- практически все) в этом месте подразумевают ровно предел.

Нет, не подразумевают. Все учебники физики чётко оговаривают, где происходит переход от $\Delta s/\Delta t$ к пределу, и проговаривают это явно.

Если вы не знакомы с учебниками физики, это повод их открыть и почитать. А не придерживаться своего неправильного мнения.

См. Сивухин "Общий курс физики. Т. 1. Механика", § 6 "О смысле производной и интеграла в приложениях к физическим вопросам".

warlock66613 в сообщении #874078 писал(а):

Может это уже поминалось выше, мог пропустить, но имеет смысл вспомнить такую штуку, как "физически бесконечный малый объём", который совершенно не предполагает, что соответствующая величина стремится к нулю, однако используется как бесконечно малая, и вполне успешно.

Да вот в том-то и дело, что и вы, и каждый физик всё это помнит и знает, и ощущает интуитивно, и полагает как само собой разумеющееся (только иногда удивляющее, при рефлексии). А вот ewert этого не просто не понимает - он в это не верит, и даже твердит, что этого не существует - не просто в природе, но даже в головах физиков!

Пусть его остаётся в своём удивительном мире с удивительными физиками, которых он где-то видел...