Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873520 писал(а):

Это не аргумент в пользу достаточности.

Конечно не аргумент, а почва для правдоподобной догадки, это тоже важно, нужно же сначала понять, что доказывать.

-- 08.06.2014, 19:20 --

g______d в сообщении #873506 писал(а):

Именно потому, что для этой машины ни липшицевость, ни гёльдеровость не нужны.

Совсем не поэтому, а потому, что все оценки аналогичны. А если про модуль непрерывности от очеников утаить -- то это уже другая, более замысловатая машина.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873522 писал(а):

Совсем не поэтому, а потому, что все оценки аналогичны.

Ну так а в чём причина того, что оценки аналогичны?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873523 писал(а):

Ну так а в чём причина того, что оценки аналогичны?

Ну просто заменяется один модуль непрерывности на другой, а неравенства все те же. Это вроде как для каждого эпсилон есть дельта, но формула для неё в одном случае одна, а в другом другая. Да, кстати, если взять функцию, которая переводит эпсилон в дельта, и обратить её, то и получится модуль непрерывности (в точке или на отрезке, судя по обстоятельствам).

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873524 писал(а):

Ну просто заменяется один модуль непрерывности на другой, а нервенства все те же.

Проще говоря, непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873525 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873524 писал(а):

Ну просто заменяется один модуль непрерывности на другой, а нервенства все те же.

Проще говоря, непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна.

А это надо ещё доказать, и это совсем не просто, если начинать с поточечной непрерывности.

-- 08.06.2014, 20:31 --

-- 08.06.2014, 20:54 --

g______d в сообщении #873511 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873510 писал(а):

А здесь одно неравенство, иллюстрированное картинкой касания и очевидное для многочленов.

Ну это смотря как посмотреть, одно неравенство на функцию двух переменных же.

Ну так а кто же доказывает дифференцируемость в каждой точке индивидуально? Обычно доказывают для какого-то интервала значений, вот вам и вторая переменная в классическом подходе.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873526 писал(а):

Ну так а кто же доказывает дифференцируемость в каждой точке индивидуально? Обычно доказывают для какого-то интервала значений, вот вам и вторая переменная в классическом подходе.

Обычно как раз индивидуально; для любого $a$ доказываем, что $f'(a)$ существует. Отличие в том, что не нужно следить за равномерностью по $a$. Другими словами, двумерная задача "расщепляется" на одномерные.

-- Вс, 08 июн 2014 18:38:32 --

mishafromusa в сообщении #873526 писал(а):

А это надо ещё доказать, и это совсем не просто, если начинать с поточечной непрерывности.

В принципе, можно так: ввести модуль непрерывности, показать, что с ним интеграл существует, показать, что для элементарных функций этот модуль легко найти, а потом объявить теорему, что он существует для любой функции, непрерывной на отрезке. Но без пределов и непрерывности всё равно не обойтись.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873528 писал(а):

Но без пределов и непрерывности всё равно не обойтись.

А в каком месте не обойтись?

-- 08.06.2014, 22:32 --

g______d в сообщении #873528 писал(а):

Обычно как раз индивидуально; для любого $a$ доказываем, что $f'(a)$ существует. Отличие в том, что не нужно следить за равномерностью по $a$.

Она обычно всё равно оказывается локально равномерной.

-- 08.06.2014, 22:40 --

g______d в сообщении #873528 писал(а):

Другими словами, двумерная задача "расщепляется" на одномерные.

Да, но потом всё приходится обратно склеивать, т.е. либо предполагать производную непрерывной, либо применять интеграл Курцвеля или Лебега, или пользоваться теоремой Ролля, для которой нужна полнота, т.е. всё равно сложно.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873530 писал(а):

А в каком месте не обойтись?

Модуль непрерывности должен стремиться к нулю.

mishafromusa в сообщении #873530 писал(а):

Да, но потом всё приходится обратно склеивать

Да, но потом. Это отдельное действие. Когда есть функция, можно уже про неё что-то доказывать. А сразу всё одним махом тяжело.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873531 писал(а):

Модуль непрерывности должен стремиться к нулю.

Ну так это же в самом конце, когда с Липшицем и Гёльдером уже покончено. Как раз можно и о непрерывности поговорить. И потом, это всего один предел, с него можно и и начать, а можно и сказать, что модуль непрерывности в нуле нуль, возрастает, и не пропускает промежуточных значений, что, впрочем, всё равно, что непрерывность для возрастающих функций.

-- 08.06.2014, 23:42 --

mishafromusa в сообщении #873535 писал(а):

А сразу всё одним махом тяжело.

Да не всё же, только с одним довольно простым неравенством надо разобраться, и не тратить в самом начале чуть не месяц на абстракции, которые неопытным ученикам понять трудно, а уж тем, кто интересуется в основном приложениями -- и вовсе швах. К тому же, когда начинают дифференцировать и интегрировать, пределы и непрерывность совсем не используются, и все о них забывают.

Вообще можно начать с формальных выкладок, т.е. способов придать смысл разностному отношению $(f(x)-f(a))/(x-a)$ при $x=a$. В лоб не получается, но можно разложить на множители числитель (для целых степеней) или знаменатель (для корней целой степени), тогда получится. Сразу можно и задачки порешать, а потом уже беспокоиться о неравенствах.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873494 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873493 писал(а):

Для степенных рядов это просто, для других рядов -- ненамного сложнее.

Нет же никаких рядов ещё, и вообще пределов нет. Я запутался: еще раз, в каком порядке предполагается всё это излагать?

Сходимость рядов и последовательностей и предел функции в точке -- это же разные вещи.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #873659 писал(а):

Сходимость рядов и последовательностей и предел функции в точке -- это же разные вещи.

Нет, это ровно одно и то же. Понятие предела идеологически (независимо от окружения) -- есть вещь идеологическая. Она (в смысле оно, вещь) упирает ровно на одно. На то, что мы ни в жисть не способны ничего и никогда посчитать точно; это просто медицинский факт.

Так вот: понятие предельного перехода сей факт внятно и формализует. Ни одна из альтернативщин же к осмыслению этого вроде как до сих пор ни на минутку даже и не приближалась.

[mishafromusa]

Но тут ещё вот какой вопрос: насколько разумно вычислять производную, как предел разностного отношения, ведь это приводит к катастрофической потере точности, т.е с вычислительной точки зрения это очень неважный метод. В связи с этим стало популярным так называемое автоматическое дифференцирование, основанное на систематическом применении правил дифференцирования, см. http://en.wikipedia.org/wiki/Automatic_differentiation

Говоря о пределах функций и их непрерывности, проще начать с непрерывности, а предел в точке определить, как число, которое сделает функцию непрерывной в этой точке. Чех, который придумал когомологии, применял этот подход в Чикагском университете.

Говоря о формализации, сначала надо научиться считать, фугурально выражаясь, а потом уже беспокоиться о формализации, а не наоборот, в особенности когда учащиеся интересуются в основном приложениями. Да и математики слишком часто слишком концентрируются на формализации, а практическими аспектами пренебрегают.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873734 писал(а):

Но тут ещё вот какой вопрос: насколько разумно вычислять производную, как предел разностного отношения, ведь это приводит к катастрофической потере точности, т.е с вычислительной точки зрения это очень неважный метод. В связи с этим стало популярным так называемое автоматическое дифференцирование, основанное на систематическом применении правил дифференцирования, см. http://en.wikipedia.org/wiki/Automatic_differentiation

Никто ж не говорит о численном вычислении производной от элементарных функций. Если ограничиваться только элементарными функциями, то никакой анализ вообще не нужен, это алгебра; этому можно придать точный смысл, ключевые слова algebraic differential calculus, differential Galois theory и т. п.

И развитие теории только для придания смысла операциям над элементарными функциями – пустая трата времени. Операции над элементарными функциями должны получаться, как приложения техники, развитой для всех функций.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873741 писал(а):

Операции над элементарными функциями должны получаться, как приложения техники, развитой для всех функций.

Так они и так получаются, непосредственными оценками для базовых функций и применением пеавил дифференцирвания. А Ваша техника тоже для всех функций не работает, обобщённые функции для того и придумали. И я же не говорю, что общая теория вообще не нужна, но начинать с неё точно не стоит, и насколько она должна быть общей -- это тоже вопрос.

[ex-math]

mishafromusa
Непонятно зачем вся эта Ваша декорация.
Либо мы хотим, чтобы студенты умели вычислять и решать типовые задачи. Для этого достаточно таблицы производных и интегралов вместе с некоторыми правилами и техническими приемами. Все перечисленное дается свыше. Получим аналог калькулюса.
Либо мы хотим, чтобы студенты поняли связи между понятиями (т.е. научились математике). Зачем тогда запутывать их искусственными конструкциями. Понятие предела абсолютно естественно и встречается очень часто -- его необходимо освоить. То же с непрерывностью и дифференцируемостью. Математика столетиями шла к выделению именно этих понятий, как довольно простых "кирпичиков", из которых можно складывать разные конструкции. А что сложишь из Вашей липшицевости? Да, чтобы "въехать" в эти понятия нужен некоторый труд, но, как известно, "без труда...". Так что пусть поднапрягутся, раз уж решили учиться математике. По крайней мере не будет каши в голове и будет способность к самостоятельному конструированию.
Подытоживая: для сколько-нибудь нормального изучения математики Ваш подход вреден, для технарей-калькуляторов -- не нужен, избыточен.