Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

Munin в сообщении #873449 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873438 писал(а):

Я про УЧП не говорил

Я и не говорил, что вы говорили. Бесит, когда делают такие замечания.

Это было не замечание, а пояснение того, что имелось в виду. Никого обидеть не хотел.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #873438 писал(а):

Для справки, липшицева дифференцируемость определяется (локально равномерной) оценкой $|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)| \le K(x-a)^2$

это понятно и дапвно понятно, непонятно какой гешефт Вы собираетесь извлечь из этого определения. Что Вы этим упростили?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #873438 писал(а):

А "для любого эпсилон существует дельта такая что для любого икс..." -- это внятно, да?

Да, это внятно. Это -- лишь формализация всем ежам очевидного (даже и вне формализации) понятия предела. Вот зачем сужать это понятие до непонятно из какого пальца высосанной липшицевости -- непонятно совершенно. То, что липшицевость в некоторых, очень частных случаях оказывается удобной для каких-то формулировок каких-то, кому-нить приятственных теорем -- не аргумент.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #873465 писал(а):

Что Вы этим упростили?

Всю теорию дифференцирования и интегрирования,

-- 08.06.2014, 16:23 --

ewert в сообщении #873465 писал(а):

Вот зачем сужать это понятие до непонятно из какого пальца высосанной липшицевости -- непонятно совершенно.

Так это же проще, чем понятие предела, это вполне конкретная оценка. И потом, я же не запрещаю разобраться с непрерывностью и пределами позже, просто начинать с них не стоит.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873438 писал(а):

липшицева дифференцируемость определяется (локально равномерной) оценкой $|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)| \le K(x-a)^2$

Вы хотите три принципиально различных понятия (предел, дифференцируемость в точке, непрерывность) загнать в одно длинное. Чем это лучше? Длинные определения сложнее воспринимать, чем последовательные усложнения иерархии. Кроме того, все три понятия важны сами по себе.

-- Вс, 08 июн 2014 13:29:55 --

mishafromusa в сообщении #873467 писал(а):

Так это же проще, чем понятие предела, это вполне конкретная оценка.

Эту оценку сложнее доказывать.

-- Вс, 08 июн 2014 13:31:02 --

mishafromusa в сообщении #873467 писал(а):

И потом, я же не запрещаю разобраться с непрерывностью и пределами позже, просто начинать с них не стоит.

Ну вот нет, непрерывность и пределы проще, чем "локально липшицева дифференцируемость". По отдельности уж точно.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873469 писал(а):

Вы хотите три принципиально различных понятия (предел, дифференцируемость в точке, непрерывность) загнать в одно длинное. Чем это лучше?

Да какое же оно длинное? Это просто неравенство, которое объясняет, что такое касательная. И чтоб с ним работать, не нужно ни пределов, ни непрепывности, нии дифференцируемости в точке. В случае многочленов оно очевидно.

-- 08.06.2014, 16:41 --

g______d в сообщении #873469 писал(а):

Эту оценку сложнее доказывать.

Где и когда? Приведите пример.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #873475 писал(а):

В случае многочленов оно очевидно.

Тогда ограничьтесь только линейными функциями. Если Вам важна очевидность -- линейные функции ничуть не хуже многочленов.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873469 писал(а):

Кроме того, все три понятия важны сами по себе.

Они важны больше внутри математики, а дифференцируемость в точке -- это совсем уродство, как Вы же сами и заметили.

-- 08.06.2014, 16:49 --

ewert в сообщении #873479 писал(а):

Тогда ограничьтесь только линейными функциями. Если Вам важна очевидность -- линейные функции ничуть не хуже многочленов.

Ну зачем чушь городить? Липшецева дифференцируемость обслуживает все аналитические и достаточно гладкие функции.

[Xaositect]

mishafromusa в сообщении #873475 писал(а):

Где и когда? Приведите пример.

Ну банально для синусов и экспонент. Для производной нужен только замечательный предел, а для неравенства надо знать разложение до второго порядка.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873475 писал(а):

Где и когда? Приведите пример.

Да практически для чего угодно, не являющегося многочленом. Вместо вычисления одного предела нужно доказывать равномерную оценку для функции двух переменных на отрезке. Придётся каждый раз эффективную оценку явно выписывать, это замучаешься же делать.

mishafromusa в сообщении #873480 писал(а):

Липшецева дифференцируемость обслуживает все аналитические и достаточно гладкие функции.

Точно так же, как и непрерывная дифференцируемость.

mishafromusa в сообщении #873480 писал(а):

а дифференцируемость в точке -- это совсем уродство, как Вы же сами и заметили.

В одной точке – не такое уж и уродство, кстати говоря. Уродство – если на отрезке существует производная, а больше ничего не известно. Но для понимания всё равно легче разделить понятия "производная существует" и "производная непрерывна", чем мешать всё в одно длинное определение.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873469 писал(а):

Ну вот нет, непрерывность и пределы проще, чем "локально липшицева дифференцируемость". По отдельности уж точно.

Конечно, и компатность, которая вам будет нужна, чтобы доказать хотя бы что-то осмысленное про поточечно дифференцируемые функции.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873486 писал(а):

Конечно, и компатность, которая вам будет нужна, чтобы доказать хотя бы что-то осмысленное про поточечно дифференцируемые функции.

А какая разница? Существование максимума и теорема о промежуточном значении – сами по себе важны, и липшицева конструкция их не упрощает.

[mishafromusa]

Xaositect в сообщении #873482 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873475 писал(а):

Где и когда? Приведите пример.

Ну банально для синусов и экспонент. Для производной нужен только замечательный предел, а для неравенства надо знать разложение до второго порядка.

Для синусов -- так же просто, как и замечательный предел, экспоненту можно рассмотреть как обратную функцию логарифма, и тогда всё просто.

[Xaositect]

mishafromusa в сообщении #873490 писал(а):

Для синусов -- так же просто, как и замечательный предел

Можете показать? Про экспоненту понял.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873485 писал(а):

Да практически для чего угодно, не являющегося многочленом. Вместо вычисления одного предела нужно доказывать равномерную оценку для функции двух переменных на отрезке. Придётся каждый раз эффективную оценку явно выписывать, это замучаешься же делать.

Для степенных рядов это просто, для других рядов -- ненамного сложнее.