Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873493 писал(а):

Для степенных рядов это просто, для других рядов -- ненамного сложнее.

Нет же никаких рядов ещё, и вообще пределов нет. Я запутался: еще раз, в каком порядке предполагается всё это излагать?

[mishafromusa]

Xaositect в сообщении #873492 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873490 писал(а):

Для синусов -- так же просто, как и замечательный предел

Можете показать? Про экспоненту понял.

$\sin(x) < x <\tg(x)$, $1<x/\sin(x)<1/\cos(x)$, $\cos(x)=1-2(\sin(x/2))^2$, дальше -- очевидно.

-- 08.06.2014, 17:37 --

g______d в сообщении #873494 писал(а):

Нет же никаких рядов ещё, и вообще пределов нет. Я запутался: еще раз, в каком порядке предполагается всё это излагать?

А для каких функций вам нужно доказывать дифференцируемость? Правила дифференцирования доказываются так же просто.

-- 08.06.2014, 17:51 --

g______d в сообщении #873487 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873486 писал(а):

Конечно, и компатность, которая вам будет нужна, чтобы доказать хотя бы что-то осмысленное про поточечно дифференцируемые функции.

А какая разница? Существование максимума и теорема о промежуточном значении – сами по себе важны, и липшицева конструкция их не упрощает.

А ещё нужно доказать, что непрерывная функция на замкнутом отрезке равномерно непрерывна, например для интеграла Римана. Тоже компактность.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873496 писал(а):

А ещё нужно доказать, что непрерывная функция на замкнутом отрезке равномерно непрерывна, например длля интеграла Римана> Тоже компактность.

Ну а чем Ваш подход это упростит? Вы что, будете интегрировать только липшицевы функции?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873499 писал(а):

mishafromusa в сообщении #873496 писал(а):

А ещё нужно доказать, что непрерывная функция на замкнутом отрезке равномерно непрерывна, например длля интеграла Римана. Тоже компактность.

Ну а чем Ваш подход это упросит? Вы что, будете интегрировать только липшицевы функции?

Вначале -- да. А зачем другие, пока все производные липшицевы? Зато всё получаетсв элементарно, быстро и без проблем, можно стразу начать решать интересные задачи. А где Вы вообще видели непрерывные функции, не подчиняющиеся какому-нибудь конкретному модулю непрерывности? А если говорить о модулях непрерывности вообще, так таких непрерывных функций и вовсе нет.

-- 08.06.2014, 18:10 --

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873500 писал(а):

Зато всё получаетсв элементарно, быстро и без проблем

Не убедили. Основная претензия, по-прежнему, – одно длинное определение вместо нескольких коротких. Ну и хотелось бы посмотреть на весь курс в целом, пока что есть только одна идея.

mishafromusa в сообщении #873500 писал(а):

А зачем другие, пока все производные липшицевы?

$\sqrt{x}$?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873502 писал(а):

$\sqrt{x}$?

Ну так она гёльдерова с показателем половина, и вся машина работает так же.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873500 писал(а):

А если говорить о модулях непрерывности вообще, так таких непрерывных функций и вовсе нет.

Понятие обычной непрерывности, без всяких модулей, абсолютно интуитивно: график не имеет разрывов. Не понимаю, зачем его выкидывать из курса анализа.

-- Вс, 08 июн 2014 15:15:50 --

mishafromusa в сообщении #873504 писал(а):

вся машина работает так же.

Именно потому, что для этой машины ни липшицевость, ни гёльдеровость не нужны.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873506 писал(а):

Не убедили. Основная претензия, по-прежнему, – одно длинное определение вместо нескольких коротких. Ну и хотелось бы посмотреть на весь курс в целом, пока что есть только одна идея.

Да никакое оно не длинное, в одном определении предела 2 неравенства и 3 квантора, и не понятно ещё, что предел существует. А здесь одно неравенство, иллюстрированное картинкой касания и очевидное для многочленов.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873510 писал(а):

Да никакое оно не длинное, в одном определении предела 2 неравенства и 3 квантора, и не понятно ещё, что предел существует.

После того, как студент освоит понятие предела, ему будет всё равно, сколько там кванторов. Важна не сложность опредения производной, "раскрытого" до оснований, а сложность перехода к следующему уровню.

-- Вс, 08 июн 2014 15:25:28 --

mishafromusa в сообщении #873510 писал(а):

А здесь одно неравенство, иллюстрированное картинкой касания и очевидное для многочленов.

Ну это смотря как посмотреть, одно неравенство на функцию двух переменных же.

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #873510 писал(а):

Понятие обычной непрерывности, без всяких модулей, абсолютно интуитивно: график не имеет разрывов. Не понимаю, зачем его выкидывать из курса анализа.

Да я и не предлагаю, со всей липшицевой теорией и конкретными модулями непрерывности можно разобраться за месяц максимум, порешать задачи, а потом занимайтесь непрерывностью хоть целый год, и она будет понятнее тоже, да студентам--нематематикам мало нужна.Формулы-то все те же, просто распространили их на более широкий контекст, оценки те же, или очень похожие, липшицевость очень похожа на непрерывность, итд. Поэтому классическую теорию легче будет понять, когда Липшиц понят.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873512 писал(а):

Да я и не предлагаю, со всей липшицевой теорией и конкретными модулями непрерывности можно разобраться за месяц максимум

Ой не верю.

mishafromusa в сообщении #873512 писал(а):

а потом занимайтесь непрерывностью хоть целый год

Зачем вводить 10 разных модулей непрерывности вместо одного понятия непрерывности? Это всё равно что доказывать по отдельности для каждой элементарной функции, что она интегрируема, 10 раз повторяя одни и те же рассуждения.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873514 писал(а):

10 раз повторяя одни и те же рассуждения.

Да какой же дурак повторяет 10 раз? Первый раз -- поподробнее, второй -- побыстрее, т.к. люди уже это видели, а потом и совсем очевидно, и оставляется читателю, как упражнение. Да и зачем 10? Липшиц с Гёльдером покрывают почти всё, а потом можно кратко объяснить про произвольный модуль непрерывности, с чем его едят. Да и доказателств-то в этом подходе кот наплакал, и все элементарные, можно сообразительным студентам на дом задать, как задачи.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873515 писал(а):

Д акакой же дурак повторяет 10 раз? Первый раз -- поподробнее, второй -- побыстрее, т.к. люди уже это видели, а потом и совсем очевидно, и оставляется читателю, как упражнение.

Всё равно. Не понимаю, зачем держать в тайне от студентов, что неразрывности графика достаточно.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #873517 писал(а):

Всё равно. Не понимаю, зачем держать в тайне от студентов, что неразрывности графика достаточно.

Да не надо держать в тайне, Липшицевы функции тоже имеют неразрывный график. Но доказательства-то в общей теории куда как сложнее. Вы же хотите всё доказывать, по крайней мере математикам.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #873518 писал(а):

Да не надо держать в тайне, Липшицевы функции тоже имеют неразрывный график.

Это не аргумент в пользу достаточности.