Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[g______d]

ewert в сообщении #872952 писал(а):

Ну это смотря от чего процентаж отсчитывать. В первом семестре, по-моему, этот класс вообще нигде никому не нужен.

А интеграл Римана и формула Тейлора считаются первым или вторым? У меня были в первом, если я правильно помню.

В любом случае, мне кажется, я должен был всех убедить в том, что класс "просто дифференцируемых" функций весьма некузяв.

[Toucan]

mishafromusa в сообщении #872923 писал(а):

Дедушка Арнольд говорил: "Каждая идея должна ..."

mishafromusa, замечание за использование красного цветовыделения: на форуме этот цвет зарезервирован для модераторов, о чем недвусмысленно сказано в Правилах.
Заменил на синий.

[ewert]

g______d в сообщении #872955 писал(а):

А интеграл Римана и формула Тейлора считаются первым или вторым? У меня были в первом, если я правильно помню.

Ни там, ни там непрерывность производных не нужна. Разве что в формуле Ньютона-Лейбница она полезна, да и то лишь как упрощение наглядности ради (там нужна не непрерывность, а лишь интегрируемость).

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872952 писал(а):

Увы. Теоремы Вейерштрасса ещё нет и ещё очень-очень долго не будет (жутко долго). Общее же понятие, вкупе с типичными особыми случаями -- нужно здесь и сейчас.

Да никто же и не собирается так делать! Я просто объяснил, почему правила дифференцирования и интегрирования не меняются. Липшиц работает для всех аналитических функций, Гёльдер для всех алгебраических, вполне достаточно для начала.

[ewert]

Насчёт семестров. Тейлор -- безусловно, в первом. Риман -- типично во втором, но в связи с прогрессивно прогрессирующей тенденцией к оптимизации рабочих программ имеет склонность смещаться тоже в первый (хотя мы пока ещё как-то держимся).

-- Вс июн 08, 2014 00:30:46 --

mishafromusa в сообщении #872958 писал(а):

Я просто объяснил, почему правила дифференцирования и интегрирования не меняются.

Это Вы мне объясняете?... Мне -- не надо. Лучше объясните студентам, с чего вдруг вы решили зациклиться именно на многочленах. Что это за цацы-то такие?...

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872954 писал(а):

Да с чего нам сдались эти несчастные многочлены-то?

Да потому что они самые простые, и те, кто не знают, что многочлен с корнем $a$ делится на $x-a$ должны это понять. В школе же учат разлагать на множители? А дифференцирование как раз и есть обобщение этого, и все грамотные люди должны это понимать. И вообще, какого дьявола учить анализу людей, которые с многочленами не разобрались? Их надо школьной алгебре сначала научить.

[ewert]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #872955 писал(а):

В любом случае, мне кажется, я должен был всех убедить в том, что класс "просто дифференцируемых" функций весьма некузяв.

Ну он некузяв, конечно, однако же и Оккама ещё никто не отменял. У меня лично регулярно встаёт такая дилемма в связи с погрешностью интерполяции. Требовать для соотв. теоремы непрерывности производной -- как-то неспортивно. Но, с другой стороны, если нет непрерывности (точнее, ограниченности, но с практической точки зрения это то же самое, что и непрерывность) -- то и толку с этой теоремы лишь чуть, т.е. абстрактненько выходит; да, дилемма.

-- Вс июн 08, 2014 00:46:15 --

mishafromusa в сообщении #872960 писал(а):

Да потому что они самые простые,

, и очень-очень частные. Т.е. мы предпочитаем искать под фонарём, я понял.

mishafromusa в сообщении #872960 писал(а):

А дифференцирование как раз и есть обобщение этого,

Увы, не выйдет. У немногочленов корни могут быть и дробной кратности, и это ещё очень мягко сказано, так что идеология не прокатывает.

[g______d]

ewert в сообщении #872964 писал(а):

У немногочленов корни могут быть и дробной кратности, и это ещё очень мягко сказано, так что идеология не прокатывает.

Кстати говоря, у $C^{\infty}$-функций – только целой, или бесконечной.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872964 писал(а):

Увы, не выйдет. У немногочленов корни могут быть и дробной кратности, и это ещё очень мягко сказано, так что идеология не прокатывает.

Нет прокатывает! И между прочим Вейерштрасс и определял дифференцирование скорее как разложение на множители. Дифференцируемсть как раз и означает, что из $f(x)-f(a)$ можно выделить множитель $x-a$. Вы просто так зациклились на своих эпсилонах и дельтах, что кроме них ничего не видите и не хотите видеть.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872967 писал(а):

Вейерштрасс и определял дифференцирование скорее как разложение на множители.

Я не знаю, как он лично определял, но в любом случае это -- его личное дело. Он и вещественные числа определял весьма своеобразно (даже не как буквально десятичные дроби, что ему простоты ради сегодня принято приписывать). Ну определил как-то -- за что ему и глубочайший поклон; но сегодня-то зачем нам наступать на когда-то уже наступленные грабли?...

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872964 писал(а):

Ну он некузяв, конечно, однако же и Оккама ещё никто не отменял. У меня лично регулярно встаёт такая дилемма в связи с погрешностью интерполяции. Требовать для соотв. теоремы непрерывности производной -- как-то неспортивно. Но, с другой стороны, если нет непрерывности (точнее, ограниченности, но с практической точки зрения это то же самое, что и непрерывность) -- то и толку с этой теоремы лишь чуть, т.е. абстрактненько выходит; да, дилемма.

Вот это как раз и показывает насколько неуклюже Ваше определение производной.

-- 07.06.2014, 17:11 --

mishafromusa в сообщении #872971 писал(а):

но сегодня-то зачем нам наступать на когда-то уже наступленные грабли?...

Дак все и наступают, держась за неуклюжие определения, может хаватит уже?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872971 писал(а):

Вот это как раз и показывает насколько неуклюже Ваше определение производной.

В точности наоборот. Лишь зная достаточно универсальное определение, мы способны осознать, какие подводные камни и где нас ожидают. Тогда мы способны с ними и бороться. Если же производная -- лишь алгебраическая абстракция, а не формализация типичных для практики вычислительных процессов как неких предельных переходов, то ничего разумного и не выйдет.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872969 писал(а):

Я не знаю, как он лично определял,

Посмотрите в книжке "Analysis by Its History" параграф III.6, просветитесь.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #872975 писал(а):

просветитесь.

Зачем? зачем мне шашечки, когда мне нужно ехать?...

[mishafromusa]

ewert в сообщении #872973 писал(а):

Если же производная -- лишь алгебраическая абстракция,

Да совсем не "лишь!" Из неё же оценки следуют, которые потом и берутся за определения. Разобрались бы сначала, прежде чем критиковать! И вообще, если сомножители считать непрерывными в точке, где вычисляется производная, то Ваше любимое определение и получится, ЛИШЬ как частный случай алгебраической абстракции.