А что значит "доказать существование?" Что Вы под этим понимаемаете в случае длины дуги окружности, для начала? Нужно с этим разобраться.
Уступаю вам место как профессионалу.
Дело тут в том, что смысл понятий часто проясняется именно в доказателствах, и именно доказательства часто объясняют, почему тот или иной факт верен, и могут быть очень поучительны. Более того, идей, применяемых в доказателсвах, гораздо меньше, чем теорем и фактов, поэтому, понимание доказателств облегчает и запоминание теорем и фактов, не говоря об их понимании.
То, что вы говорите - верно. Но к сожалению, это верно не в полной степени. И к ещё большему сожалению, это верно для "глубинной" математики, какой она является сама по себе, и которую студент начинает видеть где-то не раньше чем к старшим курсам. А математика школьная и первокурсническая полна, наоборот, безыдейных технических доказательств, которые вообще ценности не представляют, а могут быть восстановлены на уровне "заполните пробелы".
Простейший пример - теорема Пифагора. Здесь факт бесконечно важнее доказательства.
Идейные доказательства, по моему ощущению, начинаются где-то с теоремы Стокса (во всех её воплощениях, начиная с Ньютона-Лейбница).
А что, смысл обучения математике в том, чтобы ублажать математиков? :-)
Видимо, да :-) По крайней мере, многие математики, как я вижу, стоят на такой позиции :-)
А хуже потому, что вместо помоечного Calculusa людей можно научить пониманию предмета, не жертвуя навыками решения задач.
Вот я этого "не жертвуя" не видел.
Нужно просто объяснить по-человечески, вместо того, чтобы механичесли натаскивать студентов и долбить формулировки и теоремы из классического анализа без доказательств.
Это выпад, возможно, и справедливый, но против чего-то, мне не знакомого.
Если что, я Calculus в американских университетах не слушал, и что это такое, могу догадываться только косвенно. И не особо прилагал к этому усилия.
И ещё потому, что плохо, когда всех кормят одними и теми же стандартными помоями.
Вы же только что, вроде бы, выяснили, что не всех одними и теми же.