Строгое доказательство 1-го замечательного предела

[mishafromusa]

g______d в сообщении #871284 писал(а):

Тогда получится типичная "прикладная математика для инженеров". Я думал, мы об обучении математике говорим.

Вот именно ей и нужно учить инженеров, а не грубо навязывать им свои интересы. То, что прприкладная математика для инженеров -- не математика -- грубейшее заблуждение.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #871291 писал(а):

Вот именно ей и нужно учить инженеров

Не в университетах. Ну или повесить табличку "applied mathematics" на дверь.

[mishafromusa]

Математикам тоже полезно познакомиться с приложениями и научиться не только жонглированию абстракциями, откуда у Вас такое высокомерное презрение ко всему, кроме "возвышенной" формалистики?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #871297 писал(а):

Математикам тоже полезно познакомиться с приложениями

Большинство приложений, которым учат на таких курсах, абсолютно тривиальны в математической части. Познакомиться с ними полезно разве что ради общего развития.

mishafromusa в сообщении #871297 писал(а):

научиться не только жонглированию абстракциями

У меня есть некоторое отвращение к подмене одного другим. Когда студенту говорят "Вот, смотрите, Leontief model, это настоящая математика, а все ваши абстракции никому не нужны", он может случайно и поверить. Особенно если перед ним будут две двери с одинаковыми табличками "Mathematics".

mishafromusa в сообщении #871297 писал(а):

Вас такое высокомерное презрение ко всему, кроме "возвышенной" формалистики?

"Возвышенная формалистика" – это скорее некоммутативная геометрия, этальные когомологии, мотивы, потоки Риччи и другие вещи, которых я не знаю (хотя все они имеют приложения в том числе и в физике). А нежелание давать определение длины гладкой кривой – это капризы на уровне детского сада.

-- Вт, 03 июн 2014 01:13:10 --

mishafromusa в сообщении #871291 писал(а):

То, что прприкладная математика для инженеров -- не математика -- грубейшее заблуждение.

В математике, насколько мне известно, принято формулировать и доказывать теоремы. Если Вы учите этому инженеров, то это математика. Если Вы учите их вбивать данные в maple, учить наизусть формулу длины кривой и находить в справочнике табличные интегралы, то как бы не очень.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #871316 писал(а):

В математике, насколько мне известно, принято формулировать и доказывать теоремы. Если Вы учите этому инженеров, то это математика.

Инженерам нужно научиться применять математику, и если их учат формулировать и доказывать теоремы, то учат явно не тому, что им нужно.

[Xaositect]

mishafromusa в сообщении #871258 писал(а):

Теорема, которая со сверх-строгой точки зрения неверна, вполне может быть верной на более разумном уровне строгости.

Мне вот нравится, что у Манина по этому поводу написано:

Цитата:

In 1998, our congress met in Berlin, and Hans Magnus Enzensberger, the renowned poet and essayist, deeply interested in mathematics, spoke about “Zugbrücke außer Betrieb: Die Mathematik im Jenseits der Kultur”: the drawbridge to the castle of mathematics is out of service. The main concern of his talk was a deplorable lack of mathematical culture and communication between the general public and mathematicians, leading to alienation and mutual mistrust.
At the end of his talk Enzensberger quotes an imaginary dialogue, where a mathematician is chatting with a fictitional layman “Seamus Android” (see I. Stewart. The Problems of Mathematics. Oxford Univ. Press, 1987).

Mathematician: It’s one of the most important discoveries of the last decade!
Android: Can you explain it in words ordinary mortals can understand?
Mathematician: Look, buster, if ordinary mortals could understand it, you wouldn’t need mathematicians to do the job for you, right? You can’t get a feeling for what’s going on without understanding the technical details. How can I talk about manifolds without mentioning that the theorems only work if the manifolds are finite-dimensional paracompact Hausdorff with empty boundary?
Android: Lie a bit.
Mathematician: Oh, but I couldn’t do that!
Android: Why not? Everybody else does.

And here I must play God and say to both Android and Mathematician: “Oh, no! Don’t lie—because everybody else does.”

[Munin]

mishafromusa в сообщении #871242 писал(а):

В этом списке много преувеличений. Например, УЧП в университете и в школьном курсе физики -- совсем не одно и то же.

Нет. В школьном курсе физики по сути рассказывается именно то, что рассказывается в УЧП в университете. Свойства волн. Допустим, это только один тип УЧП (гиперболический), но тем не менее.

Не используется математическая символика. Из-за негласного запрета использовать её, если не читается "доказательный математический курс", который дают в университете. Не используется и математическая терминология. И разумеется, нет доказательств.

Однако, рассказанного достаточно, чтобы школьник (с навыками программирования), например, сел и запрограммировал описанные механизмы в численную модель.

mishafromusa в сообщении #871242 писал(а):

Может это и неплохо, что школьники сталкиваются со многими математическими понятиями на более элементарном и интуитивном уровне, изучая физику.

Ну разумеется, как неплохо, что учителям математики можно поплёвывать в потолок, а не заниматься своей работой: рассказывать математику. Ну разумеется, как неплохо, что учителя физики просто не имеют возможности отвлекаться на свою непосредственную работу - рассказывать физику, - потому что вынуждены всё время посвящать чужой работе - объяснению математики.

g______d в сообщении #871261 писал(а):

Обманывать детей нехорошо; вдруг кто-то захочет стать настоящим математиком?

А между тем, в другую сторону у вас это замечательно работает: обманывать детей хорошо, и наплевать, вдруг кто-то захочет стать настоящим физиком.

Вы не понимаете, что то, что творится в физике (как предмете преподавания) - самый настоящий обман, огромный и бесстыдный, и ответственны за него математики.

g______d в сообщении #871261 писал(а):

В школьной геометрии не встречается фигур, не имеющих площади.

Как насчёт $[0,1]\times([0,1]\setminus\mathbb{Q})$ или $[0,1]\times([0,1]\cap\mathbb{Q})$?

g______d в сообщении #871277 писал(а):

Толк в том, что если им что-то доказать (не обязательно всё, но так, чтобы было понятно, что именно доказано), то понятие, может быть, и появится, а если нет, – то точно нет.

Вот это крайняя ошибка математиков, и притом совершенно неизлечимая.

Понятие может существовать и без доказательств!
Я на этом настаиваю.

И для изучения физики, например, владение математическими понятиями нужно, а доказательствами - нет. Владение теоремами и фактами нужно на уровне формулировки. На уровне применения этой формулировки к практическим задачам.

g______d в сообщении #871284 писал(а):

Тогда получится типичная "прикладная математика для инженеров". Я думал, мы об обучении математике говорим.

"Прикладная математика для инженеров" - это тоже математика. Это не что-то другое. И её рассказывать должны именно математики.

Хотя бы потому, что это не работа физиков. И потому, что если этого не будут делать математики, то математики результатом будут недовольны.

-- 03.06.2014 15:49:49 --

g______d в сообщении #871292 писал(а):

Не в университетах.

И в университетах тоже. Не надо думать, что любой университет - чисто математический. Как раз наоборот, нематематиков в нём учат больше.

g______d в сообщении #871316 писал(а):

Большинство приложений, которым учат на таких курсах, абсолютно тривиальны в математической части.

Это проблема составления курсов, а не приложений per se.

g______d в сообщении #871316 писал(а):

А нежелание давать определение длины гладкой кривой – это капризы на уровне детского сада.

Можно и дать. Если не топтаться потом на этом определении полгода, а потратить на него полчаса максимум, и дальше работать с тем, что на нём основано.

"Капризы" тут не в том, что "этого хочу, этого не хочу", а в банальном распределении времени и сил. Не получается дать определение кривой за пол-лекции - не надо. Нафиг. Обойдутся интуитивным представлением, благо в детском саду все с длинами кривых уже ознакомились.

g______d в сообщении #871316 писал(а):

В математике, насколько мне известно, принято формулировать и доказывать теоремы.

Вот это - неправда!!!

Если посмотреть на великих математиков прошлого, от Ферма до Гаусса и Гильберта, то легко заметить, что "формулировать и доказывать теоремы" - только часть их деяний, и часто не основная. Основная - это открывать факты.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #871358 писал(а):

g______d в сообщении #871261
писал(а):
В школьной геометрии не встречается фигур, не имеющих площади.
Как насчёт $[0,1]\times([0,1]\setminus\mathbb{Q})$ или $[0,1]\times([0,1]\cap\mathbb{Q})$?

Это совсем не школьное, совершенно искусственное и плохо определённое. За редким исключением вообще неизвестно, рационально ли данное число.

-- 03.06.2014, 08:35 --

mishafromusa в сообщении #871375 писал(а):

g______d в сообщении #871316
писал(а):
А нежелание давать определение длины гладкой кривой – это капризы на уровне детского сада.
Munin: Можно и дать.

Но не до того, как мы научились дифференцировать синус.


-- 03.06.2014, 08:49 --

Munin в сообщении #871358 писал(а):

Ну разумеется, как неплохо, что учителям математики можно поплёвывать в потолок, а не заниматься своей работой: рассказывать математику. Ну разумеется, как неплохо, что учителя физики просто не имеют возможности отвлекаться на свою непосредственную работу - рассказывать физику, - потому что вынуждены всё время посвящать чужой работе - объяснению математики.

Соверщенно согласен, но математики не могут этого делать, т.к. они скованны своими представлениями о строгости, и упрощать ничего не хотят, или не могут, не в последнюю очередь из-за снобизма, лени, и невежества. Ктому же у них достаточно проблем с тем, чтоб научить школьников хоть школьной математике. Чтоб школьные учителя могли достаточно просто и грамотно рассказать об УЧП, вероятности, статистике, ОДУ, матане, да ещё и без хороших учебников... где вы видели таких учителей? Это утопия. И в ВУЗах ненамного лучше.

[Deggial]

mishafromusa в сообщении #871375 писал(а):

mishafromusa в сообщении #871375
писал(а):
g______d в сообщении #871316
писал(а):
А нежелание давать определение длины гладкой кривой – это капризы на уровне детского сада.
Munin: Можно и дать.
Но не до того, как мы научились дифференцировать синус.

mishafromusa, обращайте внимание на цитирование.
Чтобы автор цитаты был верный, надо нажимать на кнопку "Цитата" в цитируемом (а не в левом) сообщении.
Кроме того, автора цитаты совершенно легко и доступно отредактировать ручками.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #871375 писал(а):

Это совсем не школьное, совершенно искусственное и плохо определённое.

Школьное. Я в школе про такие вещи знал и спрашивал.

mishafromusa в сообщении #871375 писал(а):

Ктому же у них достаточно проблем с тем, чтоб научить школьников хоть школьной математике.

Я уже предлагал: можно им дать больше времени. Хоть вдвое. Зато сильно увеличится свободное время у физиков. Которое, наконец-то, можно будет занять физикой.

Можно и предметы по-разному назвать. Главное, чтобы этот новый предмет ("прикладная математика", так, g______d?) читали всё же математики. Чтобы претензий не было.

mishafromusa в сообщении #871375 писал(а):

Чтоб школьные учителя могли достаточно просто и грамотно рассказать об УЧП, вероятности, статистике, ОДУ, матане, да ещё и без хороших учебников... где вы видели таких учителей? Это утопия.

Это не утопия. Это реальность - просто это делают учителя физики. Занимаясь тем, что к их области ответственности совершенно не относится.

Не закрывайте на это глаза. Речь идёт не о чём-то возможном и несвершившемся. Речь идёт о повседневной практике, уже существующей, по 5 лет школьного образования, на протяжении по крайней мере 40 последних лет.

[mishafromusa]

Давайте ещё раз вспомним Арнольда. Он считал математику частью физики, в которой эксперименты дешёвые. Так что лучше дать побольше часов физикам, чтоб у них было время поговорить и о собственно физике. А математики пускай себе доказывают гипотезу Римана и другие важные теоремы.

-- 03.06.2014, 13:19 --

Munin в сообщении #871449 писал(а):

mishafromusa в сообщении #871375 писал(а):

Это совсем не школьное, совершенно искусственное и плохо определённое.

Школьное. Я в школе про такие вещи знал и спрашивал.

Ну и что? Учитель рассказал про меру Лебега?

[Munin]

mishafromusa в сообщении #871467 писал(а):

Ну и что? Учитель рассказал про меру Лебега? :-)

Нет, не рассказал.

mishafromusa в сообщении #871467 писал(а):

Давайте ещё раз вспомним Арнольда. Он считал математику частью физики

Давайте не будем передёргивать.

mishafromusa в сообщении #871467 писал(а):

Так что лучше дать побольше часов физикам, чтоб у них было время поговорить и о собственно физике.

Может, всё-таки вы обратите внимание на то, что рассказывать о математике - это не занятие для физиков? Оно им не свойственно, они с ним хорошо не справляются, это вообще чужая работа!

[ewert]

statistonline в сообщении #871063 писал(а):

Он, по-сути, скрыто пользуется эквивалентностями?

Нет, он, по сути, пользуется выпуклостями. Которых, естественно, нет, но на принятом в его время уровне строгости это действительно можно счесть за очевидность.

(Оффтоп)

(наверное, гармошка, но читать следующие две странички мне лень)

[g______d]

Munin в сообщении #871358 писал(а):

Как насчёт $[0,1]\times([0,1]\setminus\mathbb{Q})$ или $[0,1]\times([0,1]\cap\mathbb{Q})$?

Это просто можно не считать фигурой. Сначала можно считать фигурами только многоугольники, потом добавить дуги окружностей, например, а если кто-то спросит, можно ли взять произвольную кривую, то легко ответить "можно, если она достаточно хорошая".

Теория площадей многоугольников, кстати говоря, является прекрасным разделом школьной геометрии (теорема Бойяи-Гервина).

Munin в сообщении #871358 писал(а):

Вы не понимаете, что то, что творится в физике (как предмете преподавания) - самый настоящий обман, огромный и бесстыдный, и ответственны за него математики.

Вы хотите один обман заменить другим. Я, в целом, не против; более того, так сейчас часто и происходит, см. ниже про Calculus.

Munin в сообщении #871358 писал(а):

Вот это крайняя ошибка математиков, и притом совершенно неизлечимая.

Понятие может существовать и без доказательств!
Я на этом настаиваю.

И для изучения физики, например, владение математическими понятиями нужно, а доказательствами - нет. Владение теоремами и фактами нужно на уровне формулировки. На уровне применения этой формулировки к практическим задачам.

Владение предполагает:
1) Знание границ применимости (можно ли возводить $\delta(x)$ в квадрат?).
2) Понимание того, что где-то существует строгое изложение, и необходимости такого изложения. Разумеется, физик не обязан перепроверять каждый чужой эксперимент, если результат опубликован. И уж тем более не обязан перепроверять доказательство теоремы, если она есть в учебнике или в статье. Даже точной формулировки не обязан знать, если у него есть правильная интуиция о том, для каких функций она должна работать. Но он должен признавать существование самой теоремы.

Munin в сообщении #871358 писал(а):

"Прикладная математика для инженеров" - это тоже математика. Это не что-то другое. И её рассказывать должны именно математики.

Должны. Именно с целью не врать. "Не врать" абсолютно не означает "всё доказывать".

Munin в сообщении #871358 писал(а):

Можно и дать. Если не топтаться потом на этом определении полгода, а потратить на него полчаса максимум, и дальше работать с тем, что на нём основано.

Я больше получаса и не предполагал на него тратить.

Munin в сообщении #871358 писал(а):

Вот это - неправда!!!

Если посмотреть на великих математиков прошлого, от Ферма до Гаусса и Гильберта, то легко заметить, что "формулировать и доказывать теоремы" - только часть их деяний, и часто не основная. Основная - это открывать факты.

Открывают факты все учёные. Математики отличаются тем, что открывают точные факты. Развитие математики в 19 и 20 веках было обязано в том числе и тому, что появились стандарты строгости доказательств, и каждому новому математику не приходилось доказывать всё для себя заново.

Литтлвуд, кажется, приводил пример: доказательство основной теоремы алгебры в конце 19 века занимало 150 страниц, а сейчас умещается в полстраницы, а то и меньше. Человеческие знания о математике растут в том числе и за счёт того, что строгие доказательства упрощаются. Глупо этим не пользоваться.

mishafromusa в сообщении #871467 писал(а):

Давайте ещё раз вспомним Арнольда. Он считал математику частью физики, в которой эксперименты дешёвые.

Давайте вспомним. Мне кажется, что цитата выдрана из контекста; под экспериментом Арнольд понимал цепочку гипотеза-теорема, а не размахивание руками.

Кроме того, Арнольд же писал, что прикладной математики не бывает, бывают приложения математики.

------------------------------------------

Про Calculus. Во многих (ну хорошо, как минимум в некоторых; не Принстон, Гарвард, MIT) западных университетах есть курсы Calculus, их штук 6-7, по разным разделам математики. На них именно учат "понятиям", без доказательств, и с примерами использования в реальном мире. Читают их математики. Разумеется, это можно делать по-разному, но вполне реально обойтись без прямого вранья; достаточно уметь правильно делать оговорки и давать ссылки на точные утверждения.

В результате студент, даже математик, после первых двух курсов умеет работать даже с поверхностными интегралами и применять теорему Стокса (грамотно и более чем достаточно для физика). Но если он решает стать математиком, у него начинаются проблемы. Есть продвинутые курсы, в которых всё доказывается, их можно брать, только прослушав Calculus. В результате первый раз о понятии доказательства он узнаёт на 2-3 курсе. Какой из него после этого получится математик, думаю, понятно.

Возможный выход состоит в том, чтобы брать эти Calculus, пока учишься в школе, так некоторые делают.

[Munin]

g______d в сообщении #871509 писал(а):

Это просто можно не считать фигурой.

Можно. Правда, это потребует определения, что такое фигура, а также доказательств, что Г. М. Т. - фигура, во всех задачах, в которых находится Г. М. Т.

В любом случае, в школе так не делают. Так что, я всего лишь отметил, что вы сказали нечто, не соответствующее текущему состоянию дел.

g______d в сообщении #871509 писал(а):

Вы хотите один обман заменить другим.

Нет.

Я не предлагаю подменять правильные доказательства неверными. Я, скорее, за то, чтобы давать факты без доказательств. Так что, в моём предложении обмана никакого нет.

Надеюсь, вы не смешиваете у себя в голове позиции ваших собеседников, только потому, что вы обоим оппонируете?

g______d в сообщении #871509 писал(а):

Владение предполагает:
1) Знание границ применимости (можно ли возводить $\delta(x)$ в квадрат?).
2) Понимание того, что где-то существует строгое изложение, и необходимости такого изложения. Разумеется, физик не обязан перепроверять каждый чужой эксперимент, если результат опубликован. И уж тем более не обязан перепроверять доказательство теоремы, если она есть в учебнике или в статье. Даже точной формулировки не обязан знать, если у него есть правильная интуиция о том, для каких функций она должна работать. Но он должен признавать существование самой теоремы.

Согласен с обоими пунктами. И что?

g______d в сообщении #871509 писал(а):

Должны. Именно с целью не врать. "Не врать" абсолютно не означает "всё доказывать".

g______d в сообщении #871509 писал(а):

Я больше получаса и не предполагал на него тратить.

Это хорошо. Запомним это как ваше согласие.

g______d в сообщении #871509 писал(а):

Открывают факты все учёные. Математики отличаются тем, что открывают точные факты.

Ой, не надо. Что точного в факте "можно построить теорию групп *), и она будет интересна, содержательна, и будет иметь много связей с другими областями математики"? А это факт, обессмертивший имя Галуа.

*) где "группа" = понятие, соответствующее аксиомам группы.

g______d в сообщении #871509 писал(а):

Литтлвуд, кажется, приводил пример: доказательство основной теоремы алгебры в конце 19 века занимало 150 страниц, а сейчас умещается в полстраницы, а то и меньше. Человеческие знания о математике растут в том числе и за счёт того, что строгие доказательства упрощаются. Глупо этим не пользоваться.

Вот я что-то не могу найти пример, где бы этим вообще можно было пользоваться outside математики.

В общем, формулировки фактов - это то, что математика даёт миру. А доказательства - это то, что она вырабатывает исключительно для собственного потребления.

g______d в сообщении #871509 писал(а):

Кроме того, Арнольд же писал, что прикладной математики не бывает, бывают приложения математики.

Если "прикладная математика" = "математика без доказательств", то тут всё логично: это не отдельный раздел математики, а всего лишь способ изложения математики per se.