Строгое доказательство 1-го замечательного предела

[Munin]

sergei1961 в сообщении #871804 писал(а):

Ну да, Вы правы, процитировал предыдущий пост. Надо было оформить?

Стоило бы. Но я этого не подразумевал. Вы спросили, что вы процитировали - я ответил, вот и всё.

sergei1961 в сообщении #871804 писал(а):

Кстати до кучи. Ни разу не встречал ни одного математика всех рангов, который бы не то что серьёзно, а просто для разговоров сказал, что он может читать физику лучше физиков.

Ну так я так понял, что mishafromusa и не высказывался как физик. А кроме него, такого никто и не говорил.

mishafromusa в сообщении #871812 писал(а):

Вот я отдохну немножко, и попробую объяснить.

Хорошо.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #871705 писал(а):

Туфта, в Гарварде и МИТ Calculusа пруд пруди, и в Принстоне тоже, бедные дети... Погуглите princeton harvard mit calculus.

Мне почему-то казалось, что там можно сразу пойти на нормальный курс, с доказательствами, при желании. Но спорить не буду.

mishafromusa в сообщении #871662 писал(а):

Хочу отметить, что это совсем не значит, что математика, которая появилась из приложений, -- обязятельно второсортная и заслуживает презрения.

Нет, я этого не утверждал. Более того, я считаю, что практически вся математика появилась из приложений, только многие из этих приложений – к математике.

mishafromusa в сообщении #871662 писал(а):

Ну почему же, многое из математики, которая им нужна, физики знают гораздо лучше математиков, и могут объяснить гораздо понятнее, зачем уж так прибедняться?

Munin в сообщении #871758 писал(а):

Я допускаю, что математики есть с разной специализацией. Но всё-таки думаю, что найдутся такие математики, которые эту математику знают лучше физиков.

Для профессиональных занятий теоретической физикой нужно иметь какое-то представление о математических понятиях из достаточно большого диапазона. В отличие от математики, где можно находиться в окрестности своей области и чувствовать себя комфортно.

Но то, что физик может прочитать соответствующий курс (не знаю, утверждал ли здесь это кто-то), – это большое преувеличение. Я могу, в принципе, представить физика читающим курс по представлениям алгебр Ли (и даже слышал несколько лекций) или по базовым вещам из гладких многообразий (тоже, кажется, слышал), но по теории операторов, например, не могу представить.

[Munin]

g______d в сообщении #871863 писал(а):

Для профессиональных занятий теоретической физикой нужно иметь какое-то представление о математических понятиях из достаточно большого диапазона. В отличие от математики, где можно находиться в окрестности своей области и чувствовать себя комфортно.

Но преподавать этот большой диапазон можно кусочно, так что проблем быть математиком и преподавать "прикладную математику" нет.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #871863 писал(а):

Мне почему-то казалось, что там можно сразу пойти на нормальный курс, с доказательствами, при желании.

Конечно можно, но там есть и стандартные помои тоже, которые заставляют брать чуть ли не всех.

-- 04.06.2014, 22:53 --

g______d в сообщении #871509 писал(а):

Про Calculus. Во многих (ну хорошо, как минимум в некоторых; не Принстон, Гарвард, MIT) западных университетах есть курсы Calculus,

-- не совсем верно, то есть в Принстоне, Гарварде и МИТ помоечный Calculus тоже цветёт.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #871962 писал(а):

-- не совсем верно, то есть в Принстоне, Гарварде и МИТ помоечный Calculus тоже цветёт.

Ок. Тем хуже, собственно говоря.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #871964 писал(а):

mishafromusa в сообщении #871962 писал(а):

-- не совсем верно, то есть в Принстоне, Гарварде и МИТ помоечный Calculus тоже цветёт.

Ок. Тем хуже, собственно говоря.

Вообще-то, как задачники, эти многокиллограммовые за $200 тома -- не такие уж и плохие, хотя "теория" в них не лезет ни в какие ворота. В результате студентов и школьников просто натаскивают на решение задач, не особенно заботясь об объяснениях. В приличных университетах более или менее понимающие предмет преподаватели несколько смягчают ситуацию, но в школе, при повальной безграмотности учителей -- просто ужас.

"Теория" в этих книжках, конечно, основана на классическом анализе, но изложена очень невнятно, с кучей пробелов, ошибок и в основном без доказательств, в результате понять ничего невозможно, и студенты эту муру просто игнорируют. Было бы полезно написать короткий учебник, где теория была бы более доступной. Начать с многочленов, потом разобтаься с локально липшицевым случаем, где доказательства очень просты, и их можно представить в виде задач. Да для решения задач больше ничего и не надо. В результате у студентов будет хоть какое-то понимание предмета, и тем, кто потом захочет познакомиться с классическим анализом, будет легче это сделать.

[Munin]

g______d в сообщении #871964 писал(а):

Ок. Тем хуже, собственно говоря.

Почему "тем хуже"? Университет - это место для подготовки не только математиков. Там и физиков, и инженеров готовят, и даже искусствоведов.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #870786 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870724 писал(а):

Можно же по-человечески объяснить школьникам как вычислять с приближениями

Можно. Но нельзя говорить, что вы при этом доказали существование чего-то, или даже просто обосновали.
.

А что значит "доказать существование?" Что Вы под этим понимаемаете в случае длины дуги окружности, для начала? Нужно с этим разобраться.

-- 05.06.2014, 06:53 --

Munin в сообщении #871358 писал(а):

Понятие может существовать и без доказательств!

Я согласен.

-- 05.06.2014, 07:13 --

Munin в сообщении #871358 писал(а):

И для изучения физики, например, владение математическими понятиями нужно, а доказательствами - нет. Владение теоремами и фактами нужно на уровне формулировки.

Здесь, правда, есть небольщая заковыка. Можно ли владеть математическими понятиями, не уделяя внимания доказательствам, и реалистично ли владение фактами лишь на уровне формулировок? Дело тут в том, что смысл понятий часто проясняется именно в доказателствах, и именно доказательства часто объясняют, почему тот или иной факт верен, и могут быть очень поучительны. Более того, идей, применяемых в доказателсвах, гораздо меньше, чем теорем и фактов, поэтому, понимание доказателств облегчает и запоминание теорем и фактов, не говоря об их понимании.

-- 05.06.2014, 07:20 --

Munin в сообщении #871358 писал(а):

"Прикладная математика для инженеров" - это тоже математика. Это не что-то другое. И её рассказывать должны именно математики.

Хотя бы потому, что это не работа физиков. И потому, что если этого не будут делать математики, то математики результатом будут недовольны.

А что, смысл обучения математике в том, чтобы ублажать математиков?

-- 05.06.2014, 07:24 --

g______d в сообщении #871863 писал(а):

но по теории операторов, например, не могу представить.

А по теории рассеяния?

-- 05.06.2014, 07:38 --

Munin в сообщении #872007 писал(а):

g______d в сообщении #871964 писал(а):

Ок. Тем хуже, собственно говоря.

Почему "тем хуже"? Университет - это место для подготовки не только математиков. Там и физиков, и инженеров готовят, и даже искусствоведов.

А хуже потому, что вместо помоечного Calculusa людей можно научить пониманию предмета, не жертвуя навыками решения задач. Нужно просто объяснить по-человечески, вместо того, чтобы механичесли натаскивать студентов и долбить формулировки и теоремы из классического анализа без доказательств.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #872007 писал(а):

Почему "тем хуже"?

И ещё потому, что плохо, когда всех кормят одними и теми же стандартными помоями.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

А что значит "доказать существование?" Что Вы под этим понимаемаете в случае длины дуги окружности, для начала? Нужно с этим разобраться.

Уступаю вам место как профессионалу.

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

Дело тут в том, что смысл понятий часто проясняется именно в доказателствах, и именно доказательства часто объясняют, почему тот или иной факт верен, и могут быть очень поучительны. Более того, идей, применяемых в доказателсвах, гораздо меньше, чем теорем и фактов, поэтому, понимание доказателств облегчает и запоминание теорем и фактов, не говоря об их понимании.

То, что вы говорите - верно. Но к сожалению, это верно не в полной степени. И к ещё большему сожалению, это верно для "глубинной" математики, какой она является сама по себе, и которую студент начинает видеть где-то не раньше чем к старшим курсам. А математика школьная и первокурсническая полна, наоборот, безыдейных технических доказательств, которые вообще ценности не представляют, а могут быть восстановлены на уровне "заполните пробелы".

Простейший пример - теорема Пифагора. Здесь факт бесконечно важнее доказательства.

Идейные доказательства, по моему ощущению, начинаются где-то с теоремы Стокса (во всех её воплощениях, начиная с Ньютона-Лейбница).

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

А что, смысл обучения математике в том, чтобы ублажать математиков? :-)

Видимо, да :-) По крайней мере, многие математики, как я вижу, стоят на такой позиции :-)

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

А хуже потому, что вместо помоечного Calculusa людей можно научить пониманию предмета, не жертвуя навыками решения задач.

Вот я этого "не жертвуя" не видел.

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

Нужно просто объяснить по-человечески, вместо того, чтобы механичесли натаскивать студентов и долбить формулировки и теоремы из классического анализа без доказательств.

Это выпад, возможно, и справедливый, но против чего-то, мне не знакомого.

Если что, я Calculus в американских университетах не слушал, и что это такое, могу догадываться только косвенно. И не особо прилагал к этому усилия.

mishafromusa в сообщении #872047 писал(а):

И ещё потому, что плохо, когда всех кормят одними и теми же стандартными помоями.

Вы же только что, вроде бы, выяснили, что не всех одними и теми же.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #872051 писал(а):

mishafromusa в сообщении #872047 писал(а):

И ещё потому, что плохо, когда всех кормят одними и теми же стандартными помоями.

Вы же только что, вроде бы, выяснили, что не всех одними и теми же.

Ну хорошо, почти всех, потому что серьёзно математикой почти никто не занимается, т.е. выбор такой: учи классический анализ или ешь помои.

-- 05.06.2014, 12:27 --

Munin в сообщении #872051 писал(а):

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

А что значит "доказать существование?" Что Вы под этим понимаемаете в случае длины дуги окружности, для начала? Нужно с этим разобраться.

Уступаю вам место как профессионалу.

Так я же уже объяснил, что, задавая аппроксимации, я задаю конкретное вещественное число, а на меня все накинулись, что я не имею права о нём говорить, пока я не определил что такое вещественные числа. Ewert даже предложил ввести их аскиоматически, но штука-то в том, что если мы это сделаем, то нам придётся доказывать, что множество вещественных чисел существует, т.е. всё равно аппроксимации вылезают, т.е. разницы никакой нет, кроме той, что я начинаю с примера и оставляю общую теорию на потом, а Ewert хочет сначала определения, а потом примеры, как у Бурбаки. Дело, однако, в том, что определиние понять проще, когда мы знакомы с примерами, как и пишет Арнольд в цитате красного цвета.

[g______d]

Munin в сообщении #872007 писал(а):

Почему "тем хуже"? Университет - это место для подготовки не только математиков. Там и физиков, и инженеров готовят, и даже искусствоведов.

Тем хуже для математиков, у которых базовый курс анализа откладывается до 2-3 курса. В особо запущенных случаях туда же идёт вообще первый из курсов, в котором учат что-то доказывать. Представляете – (потенциальный) математик, только на 2 курсе начавший что-то доказывать.

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

А по теории рассеяния?

По математической теории рассеяния – нет, конечно. По квантовой теории рассеяная для оператора Шрёдингера – вполне; есть куча книжек, написанных именно теоретическими физиками. Т. е. посчитать какие-то амплитуды физик сможет научить (и этого часто достаточно), а доказывать асимптотическую полноту или существование оператора рассеяния – вряд ли.

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

А хуже потому, что вместо помоечного Calculusa людей можно научить пониманию предмета, не жертвуя навыками решения задач. Нужно просто объяснить по-человечески, вместо того, чтобы механичесли натаскивать студентов и долбить формулировки и теоремы из классического анализа без доказательств.

Нормальный преподаватель Calculus'а в любом случае постарается объяснить, почему та или иная теорема верна, покажет на примере, нарисует картинку, привлечёт физические соображения. Он просто не будет врать, что это доказательство, а скажет, что настоящее доказательство основано на этих идеях и, возможно, даст ссылку.

А вот что было бы плохо – это если он начнёт выдавать за доказательство то, что доказательством не является.

-- Чт, 05 июн 2014 10:15:37 --

Munin в сообщении #872051 писал(а):

Простейший пример - теорема Пифагора. Здесь факт бесконечно важнее доказательства.

Так же как и равенство $2+2=4$.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #872051 писал(а):

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

Нужно просто объяснить по-человечески, вместо того, чтобы механичесли натаскивать студентов и долбить формулировки и теоремы из классического анализа без доказательств.

Это выпад, возможно, и справедливый, но против чего-то, мне не знакомого.

Если что, я Calculus в американских университетах не слушал, и что это такое, могу догадываться только косвенно. И не особо прилагал к этому усилия.

В России, похоже, ситуация сейчас не намного лучше. Я помню, когда я там учился в институте, в начале 70-х, почти никто из студентов ничего не понимал. Calculus я тоже слава богу не слушал, а почитал Фиьхенгольца, когра мне было 15 лет, потом в мат-школе учился...

-- 05.06.2014, 13:21 --

Munin в сообщении #872051 писал(а):

Простейший пример - теорема Пифагора. Здесь факт бесконечно важнее доказательства.

Кстати, о теореме Пифагора: http://math.berkeley.edu/~giventh/papers/eu.pdf

[g______d]

mishafromusa в сообщении #872148 писал(а):

Так я же уже объяснил, что, задавая аппроксимации, я задаю конкретное вещественное число, а на меня все накинулись, что я не имею права о нём говорить, пока я не определил что такое вещественные числа. Ewert даже предложил ввести их аскиоматически, но штука-то в том, что если мы это сделаем, то нам придётся доказывать, что множество вещественных чисел существует, т.е. всё равно аппроксимации вылезают, т.е. разницы никакой нет, кроме той, что я начинаю с примера и оставляю общую теорию на потом, а Ewert хочет сначала определения, а потом примеры, как у Бурбаки. Дело, однако, в том, что определиние понять проще, когда мы знакомы с примерами, как и пишет Арнольд в цитате красного цвета.

Нет, здесь никакой проблемы нет. Сначала мы пытаемся строить объект, который интуитивно должен существовать (длина дуги или диагональ квадрата) и обламываемся, когда понимаем, что рациональных чисел для его построения недостаточно. Можем даже сформулировать препятствие: интуитивно любое ограниченное множество должно иметь точную верхнюю грань, а в рациональных числах такого не бывает.

После этого данное препятствие используется как мотивация к введению вещественных чисел. Именно в такой последовательности.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #872051 писал(а):

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

А хуже потому, что вместо помоечного Calculusa людей можно научить пониманию предмета, не жертвуя навыками решения задач.

Вот я этого "не жертвуя" не видел.

Просто потому, что этого никто не пробовал.

-- 05.06.2014, 13:43 --

g______d в сообщении #872164 писал(а):

Именно в такой последовательности.

Кстати, точек на окружности с рациональной длиной дуги вполне достаточно для всех практических применений, так что вопрос вовсе не в том, рациональна длина дуги или нет, а в том, как её посчитать с данной точностью.

Вещественные числа проще ввести по-рабоче-крестьянски, как бесконечные десятичные дроби, или как последовательности Коши, которые образуют локальное кольцо, а чтоб сделать поле из локального кольца, надо профакторизовать его по максимальному идеалу, который всего один.

-- 05.06.2014, 14:08 --

Munin в сообщении #872051 писал(а):

Идейные доказательства, по моему ощущению, начинаются где-то с теоремы Стокса (во всех её воплощениях, начиная с Ньютона-Лейбница).

Ааа, так сразу бы так и сказали, что всё до Ньютона-Лейбница -- абстрактная чепуха или куча тривиальностей, и я бы не спорил. В том-то и дело, что общность классического анализа почти никому из студентов не нужна, а математики за неё держатся, потому что не хотят ничего менять в своей идеологии, навязывают её всем, кто хочет выыучить предмет. Вот и вся история.