Строгое доказательство 1-го замечательного предела

[sergei1961]

Мне не очевидно. Но я не Коши, конечно.

[mishafromusa]

Весь сыр-бор о "нестрогости" возникает из-за недостаточно аккуратного определения длины дуги. Всё можно исправить, если сделать разумное допущение о том, что длина хорды не больше длины дуги. После этого вce нужные оценки следуют из геометрии, а длина дуги обретает "существование," так как определяется этим допущением одноднозначно. Допущение наверное казалось Коши очевидным. Пуристы могут считать, что это аксиома. Возражение, что длина дуги -- это"на самом деле" интеграл, совершенно не оправдано, так как интеграл даёт те же числа.

[mishafromusa]

Проблема с использованием площади сектора усугубляется ещё и тем, что используется формула для площади сектора для оценки длины дуги. Но и в этом нет ничего страшного, так как и эту формулу можно обосновать независимо от общей теории. Для этого, правда, нужно принять, что площадь части фигуры не больше площади всей фигуры. Это допущение всё равно применяется при построении общей теории квадрируемых фигур.
Площадь сектора можно вообще не использовать, а просто заметить, что любой описанный многоугольник длиннее вписанного, и поэтому $x<\tg(x)$, как и делал Коши, не приводя подробных объяснений, т.к. считал этот факт достаточно очевидным.

-- 02.06.2014, 23:15 --

Munin в сообщении #870957 писал(а):

Физики от веку "на самообслуживании", и это как раз очень плохо. В каждом учебнике физики - огромное место отведено введению "по месту" необходимого матаппарата, а если посмотреть на содержание практических занятий и упражнений - то оно посвящено освоению новой математики почти полностью.

Ну что же делать, если математики не доросли до той математики, которая нужна физикам, или недостаточно её понимают, чтобы удовлетворительно её преподавать, а чаще просто слишком упирают на "строгость," которая физикам не нужна и только затрудняет понимание.

[mishafromusa]

sergei1961 в сообщении #870871 писал(а):

А то что физику кажется мусором, грамотному специалисту видны разделы той же прикладной науки, которые только появляются с использованием этого, как пока кажется большинству, мусора.

Питер Лакс совсем не физик, а один из ведущих математиков 20-го века.

-- 03.06.2014, 00:59 --

Munin в сообщении #870974 писал(а):

Чтобы не быть голословным.

В этом списке много преувеличений. Например, УЧП в университете и в школьном курсе физики -- совсем не одно и то же. То же относится к теории вероятности, статистике, матану и ОДУ. Может это и неплохо, что школьники сталкиваются со многими математическими понятиями на более элементарном и интуитивном уровне, изучая физику. Конечно, если не гнаться за излишними "строгостью" и общностью, многие вещи можно объяснить гораздо проще, и математически приемлемо, неплохо было бы написать соответствующие учебники, к сожалению этим мало кто занимается. Среди многих математиков к сожалению бытует мнение, что нужно либо всё делать строго, либо ничего не делать. Не так давно появилась книжка E. Hairer G. Wanner, Analysis by Its History, очень рекомендую первые 2 главы, да и остальные тоже. http://f3.tiera.ru/2/M_Mathematics/MC_C ... _MCet_.pdf

[g______d]

mishafromusa в сообщении #871242 писал(а):

Среди многих математиков к сожалению бытует мнение, что нужно либо всё делать строго, либо ничего не делать.

Можно не доказывать всё. Но неверные теоремы формулировать плохо, негодно.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #871252 писал(а):

mishafromusa в сообщении #871242
писал(а):
Среди многих математиков к сожалению бытует мнение, что нужно либо всё делать строго, либо ничего не делать.

Можно не доказывать всё. Но неверные теоремы формулировать плохо, негодно.

Теорема, которая со сверх-строгой точки зрения неверна, вполне может быть верной на более разумном уровне строгости. Ну зачем людям говорить, что некоторые фигуры не имеют плошади, пока они не спрашивают, и пока речь идёт об элементарной геометрии? А ведь именно так и обстоит дело при доказательстве этого самого замечательного предела. Зачем перегружать студентов излишней общностью, когда она неуместна и не нужна, а только затемняет суть дела? А ведь именно такая ситуация с матаном для нематематиков.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #871258 писал(а):

Теорема, которая со сверх-строгой точки зрения неверна, вполне может быть верной на более разумном уровне строгости.

По-моему, это иллюзия. Приведите пример.

mishafromusa в сообщении #871258 писал(а):

Ну зачем людям говорить, что некоторые фигуры не имеют плошади, пока они не спрашивают?

Можно сказать, что достаточно хорошие фигуры имеют. Или честно сказать, что строгую формулировку мы здесь приводить не будем. Обманывать детей нехорошо; вдруг кто-то захочет стать настоящим математиком?

Кроме того, из всяких кривых, не имеющих длины и т. п. родилась теория размерности по Хаусдорфу и прочие интересные вещи, важные и в приложениях.

-- Пн, 02 июн 2014 23:02:26 --

mishafromusa в сообщении #871258 писал(а):

пока речь идёт об элементарной геометрии?

В школьной геометрии не встречается фигур, не имеющих площади.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #871261 писал(а):

Можно сказать, что достаточно хорошие фигуры имеют. Или честно сказать, что строгую формулировку мы здесь приводить не будем. Обманывать детей нехорошо; вдруг кто-то захочет стать настоящим математиком?

Ну так он разберётся, когда подрастёт, лучше ему дать побольше интересных задачь, чем загружать ненужными деталями, к которым он ещё не готов.

-- 03.06.2014, 02:18 --

mishafromusa в сообщении #871264 писал(а):

mishafromusa в сообщении #871258
писал(а):
Теорема, которая со сверх-строгой точки зрения неверна, вполне может быть верной на более разумном уровне строгости.

По-моему, это иллюзия. Приведите пример.

Пример: объём тела равен сумме объёмов его частей.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #871264 писал(а):

Пример: объём тела равен сумме объёмов его частей.

Является ли обманом это утверждение – зависит от того, как мы определим "объём" и "часть".

Кроме того, в анализе фраза "$A=B$" часто для экономии места понимается несимметрично, как "если $B$ имеет смысл, то $A$ имеет смысл и $A=B$". В такой формулировке здесь даже всё честно, поскольку если части измеримы, то их объединение тоже.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #871261 писал(а):

Кроме того, из всяких кривых, не имеющих длины и т. п. родилась теория размерности по Хаусдорфу и прочие интересные вещи, важные и в приложениях.

Ну и замечательно, но сначала-то надо разобраться с кривыми, имеющими длину.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #871264 писал(а):

Ну так он разберётся, когда подрастёт, лучше ему дать побольше интересных задачь, чем загружать ненужными деталями, к которым он ещё не готов.

Это подходит для совсем младенческого возраста, класса до восьмого. А потом уже можно учить отличать доказательство от махания руками.

-- Пн, 02 июн 2014 23:36:54 --

mishafromusa в сообщении #871270 писал(а):

Ну и замечательно, но сначала-то надо разобраться с кривыми, имеющими длину.

Что значит разобраться? Понять, какие кривые имеют длину? Ну так тогда мы автоматически поймём, какие не имеют: все остальные :)

[mishafromusa]

g______d в сообщении #871252 писал(а):

Можно не доказывать всё.

Да зачем вообще доказывать людям, которые не имеют ещё никакого понятия о предмете? Какой с этого толк? У них только голова заболит.

-- 03.06.2014, 02:53 --

g______d в сообщении #871271 писал(а):

Что значит разобраться?

Научиться вычислять длину, познакомиться с кривизной, кручением, и.т.д.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #871275 писал(а):

Да зачем вообще доказывать людям, которые не имеют ещё никакого понятия о предмете? Какой с этого толк? У них только голова заболит.

Довольно странный ответ на фразу "можно не доказывать...".

mishafromusa в сообщении #871275 писал(а):

не имеют ещё никакого понятия о предмете? Какой с этого толк?

Толк в том, что если им что-то доказать (не обязательно всё, но так, чтобы было понятно, что именно доказано), то понятие, может быть, и появится, а если нет, – то точно нет.

-- Пн, 02 июн 2014 23:55:31 --

mishafromusa в сообщении #871275 писал(а):

Научиться вычислять длину.

Ну это всё равно что сказать, что разобраться в интеграле Римана означает научиться его вычислять. Например, с помощью Mathematica.

-- Пн, 02 июн 2014 23:58:29 --

mishafromusa в сообщении #871275 писал(а):

познакомиться с кривизной, кручением, и.т.д.

Если понятие гладкой кривой известно, то определить длину строго ничего не стоит.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #871277 писал(а):

Толк в том, что если им что-то доказать (не обязательно всё, но так, чтобы было понятно, что именно доказано), то понятие, может быть, и появится, а если нет, – то точно нет.

Важнее показать, как применяются понятия, не слишком копаясь в их определениях, это создаёт больше понимания, полезнее и интереснее для большинства студентов.

-- 03.06.2014, 03:08 --

g______d в сообщении #871277 писал(а):

Например, с помощью Mathematica.

Да даже и с помощью Mathematica нужно сообразить что в неё вводить.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #871283 писал(а):

Важнее показать, как применяются понятия, не слишком копаясь в их определениях, это создаёт больше понимания.

Тогда получится типичная "прикладная математика для инженеров". Я думал, мы об обучении математике говорим.