2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14  След.
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
mishafromusa в сообщении #872148 писал(а):
Так я же уже объяснил, что, задавая аппроксимации, я задаю конкретное вещественное число

Видимо, вот этого момента я как-то не заметил. Нет, доказывать существование вещественных чисел - избыточно. Достаточно обсудить, что такое бесконечная десятичная дробь.

g______d в сообщении #872157 писал(а):
Тем хуже для математиков, у которых базовый курс анализа откладывается до 2-3 курса.

А в американских вузах вообще всё откладывается до 2-3 курса, что у нас читают на 1. Фейнмановские лекции по физике - для какого курса, вы знаете? Для выпускников! А у нас это уровень первокурсников.

Так что это, видимо, по всем специальностям так. Кроме, возможно, humanities.

g______d в сообщении #872157 писал(а):
Представляете – (потенциальный) математик, только на 2 курсе начавший что-то доказывать.

Я не математик, меня это не пугает. И я снова повторю, что работа математика - это не только доказывать.

Я тут копнул, и вспомнил такую раскладку: математика состоит из решения задач и доказательства теорем. Причём, доказательство по своему происхождению вторично: вот, задачу решили, а теперь надо доказать, что решили правильно.

g______d в сообщении #872157 писал(а):
Так же как и равенство $2+2=4$.

Ну тут, скорее, наоборот. Доказательство важнее факта, потому что оно же однотипно позволяет доказать и все равенства $k+m=n,$ верные в натуральных числах. Но эти факты вообще в школьной математике не рассматриваются как теоремы.

mishafromusa в сообщении #872158 писал(а):
Я помню, когда я там учился в институте, в начале 70-х, почти никто из студентов ничего не понимал.

Ну, у нас это принято списывать не на нелепость курсов, а на леность студентов :-) Хотя немотивированность - очевидно в том числе провал и со стороны преподавателей.

mishafromusa в сообщении #872165 писал(а):
Просто потому, что этого никто не пробовал.

Я предвижу, что всё-таки времени и на то, и на то - нехватает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #872165 писал(а):
Кстати, точек на окружности с рациональной длиной дуги вполне достаточно для всех практических применений, так что вопрос вовсе не в том, рациональна длина дуги или нет, а в том, как её посчитать с данной точностью.


Есть довольно важные дуги, длины которых иррациональны. Кроме того, одновременно координаты точек и длину дуги сделать рациональными сложнее.

mishafromusa в сообщении #872165 писал(а):
последовательности Коши, которые образуют локальное кольцо, а чтоб сделать поле из локального кольца, надо профакторизовать его по максимальному идеалу, который всего один.


Не образуют.

Munin в сообщении #872187 писал(а):
Достаточно обсудить, что такое бесконечная десятичная дробь.


Для курса Calculus достаточно. Работать же с бесконечными дробями довольно противно. Там достаточно неприятное отношение эквивалентности. Кроме того, для фундаментальных последовательностей арифметические операции определяются просто и естественно, а две бесконечные дроби попробуй сложи; придется все равно переходить либо к аппроксимациям, либо к каким-то аналогам фундаментальных последовательностей.

Munin в сообщении #872187 писал(а):
Фейнмановские лекции по физике - для какого курса, вы знаете? Для выпускников!


Подозреваю, что в оригинале было "graduates" в значении "graduate students".

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #872202 писал(а):
Для курса Calculus достаточно. Работать же с бесконечными дробями довольно противно.

Ну, понятно, что обсудив, что такое бесконечная десятичная дробь, их можно сопоставить, скажем, с точками на координатной прямой. Это уже не так противно?

g______d в сообщении #872202 писал(а):
Подозреваю, что в оригинале было "graduates" в значении "graduate students".

Ну, выпуской курс. Или несколько, с учётом того, что это три толстых тома.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 22:36 


12/02/14
808
g______d в сообщении #872202 писал(а):
mishafromusa в сообщении #872165 писал(а):
последовательности Коши, которые образуют локальное кольцо, а чтоб сделать поле из локального кольца, надо профакторизовать его по максимальному идеалу, который всего один.

Не образуют.

Хорошо, вот доказательство: последовательности Коши, не стремящиеся к нулю, обратимы, а стремящиеся к нулю образуют идеал. Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #872211 писал(а):
Ну, выпуской курс.


Цитата:
These three volumes are a self-contained pedagogical treatise. They are also a historical record of Feynman's 1961–64 undergraduate physics lectures, a course required of all Caltech freshmen and sophomores regardless of their majors.


freshmen — первый курс, sophomores — второй. Так что я тоже был неправ.

-- Чт, 05 июн 2014 12:40:20 --

Munin в сообщении #872211 писал(а):
Ну, понятно, что обсудив, что такое бесконечная десятичная дробь, их можно сопоставить, скажем, с точками на координатной прямой. Это уже не так противно?


Тогда, может быть, сразу с точками работать?

-- Чт, 05 июн 2014 12:42:35 --

mishafromusa в сообщении #872212 писал(а):
Хорошо, вот доказательство: последовательности Коши, не стремящиеся к нулю, обратимы, а стремящиеся к нулю образуют идеал. Где ошибка?


Локальное кольцо здесь причем? Максимальных идеалов в кольце последовательностей Коши полно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #872213 писал(а):
Тогда, может быть, сразу с точками работать?

Можно.

Вот Древние Греки пробовали. И в результате, так и не научились не то, что решать уравнения $x^2+x=\ldots$ - даже составлять их было выше разумения, потому что к площади нельзя прибавить длину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #872217 писал(а):
Можно.

Вот Древние Греки пробовали. И в результате, так и не научились не то, что решать уравнения $x^2+x=\ldots$ - даже составлять их было выше разумения, потому что к площади нельзя прибавить длину.


Я к тому, что самый простой способ построения непротиворечивой конструкции — это фундаментальные последовательности. Для получения начального понятия, возможно, лучше всего подходят точки на прямой+бесконечные дроби. Но доказывать что-то с их помощью проблематично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 22:48 


12/02/14
808
В книжке Брудно всё сделано с десятичными дробями: http://www.twirpx.com/file/217512/

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #872218 писал(а):
Я к тому, что самый простой способ построения непротиворечивой конструкции — это фундаментальные последовательности.

А я - к тому, что слушателей "Прикладной математики" не колышет построение непротиворечивой конструкции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 22:56 


12/02/14
808
Munin в сообщении #872217 писал(а):
потому что к площади нельзя прибавить длину.
Можно, нужно только сначала длину умножить на единицу, т.е. построить соответствующий прямоугольник, не додумались они, а может и додумались, да нам не рассказали.

-- 05.06.2014, 15:58 --

Munin в сообщении #872222 писал(а):
А я - к тому, что слушателей "Прикладной математики" не колышет построение непротиворечивой конструкции.
Ай-яй-яй! Нехорошо обманывать детишек!

-- 05.06.2014, 16:00 --

g______d в сообщении #872213 писал(а):
Локальное кольцо здесь причем? Максимальных идеалов в кольце последовательностей Коши полно.
Не полно, а только один, ч.т.д.

-- 05.06.2014, 16:06 --

Munin в сообщении #872051 писал(а):

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):
А что, смысл обучения математике в том, чтобы ублажать математиков? :-)

Видимо, да :-) По крайней мере, многие математики, как я вижу, стоят на такой позиции :-)

Поэтому надежда только на самообслуживание. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
mishafromusa в сообщении #872226 писал(а):
Ай-яй-яй! Нехорошо обманывать детишек!

И я про то же. А не объяснять им действительных чисел под предлогом того, что это ужас-сложно, или затягивать объяснение, или тратить на него полсеместра, вместо других полезных вещей - это всё разновидности обмана.

mishafromusa в сообщении #872226 писал(а):
Поэтому надежда только на самообслуживание. :D

Нет, я пока надеюсь найти математиков-единомышленников. Или хотя бы с совестью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
mishafromusa в сообщении #872212 писал(а):
Хорошо, вот доказательство: последовательности Коши, не стремящиеся к нулю, обратимы, а стремящиеся к нулю образуют идеал. Где ошибка?
Первая половина неверна, любая последовательность, содержащая 0, необратима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 23:23 


12/02/14
808
Munin в сообщении #872211 писал(а):
Ну, понятно, что обсудив, что такое бесконечная десятичная дробь, их можно сопоставить, скажем, с точками на координатной прямой. Это уже не так противно?

А зачем? Нужно просто научиться их округлять и считать с ними правильно, Я когда-то написал про это пару страничек, кончив доказательством полноты, да где-то завалялись они, надо поискать. :-(

-- 05.06.2014, 16:27 --

Xaositect в сообщении #872236 писал(а):
Первая половина неверна, любая последовательность, содержащая 0, необратима.

Ну так у неё есть хвост без нулей, если она к нему не стремится, и всё получается, если считать 2 последовательности с одинаковыми хвостами одинаковыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
mishafromusa в сообщении #872239 писал(а):
Ну так у неё есть хвост без нулей, если она к нему не стремится, и всё получается.
Это Вы уже профакторизовали по идеалу последовательностей, содержащих конечное количество нулей.

-- Пт июн 06, 2014 00:41:27 --

По вопросу идеалов кольца последовательностей Коши: http://mathoverflow.net/questions/12072 ... eries-ring

 Профиль  
                  
 
 Re: Строгое доказательство 1-го замечательного предела
Сообщение05.06.2014, 23:44 


12/02/14
808
Xaositect в сообщении #872250 писал(а):
Это Вы уже профакторизовали по идеалу последовательностей, содержащих конечное количество нулей.
Скорее по идеалу последовательностей равных нулю, начиная с некоторого места, и получилось локальное кольцо, так что всё в порядке.

-- 05.06.2014, 16:49 --

Munin в сообщении #872235 писал(а):
Нет, я пока надеюсь найти математиков-единомышленников. Или хотя бы с совестью.
Их слишком мало, не справятся. :-( Но они могут написать учебники для физиков. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 207 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group