Строгое доказательство 1-го замечательного предела

[Munin]

mishafromusa в сообщении #872148 писал(а):

Так я же уже объяснил, что, задавая аппроксимации, я задаю конкретное вещественное число

Видимо, вот этого момента я как-то не заметил. Нет, доказывать существование вещественных чисел - избыточно. Достаточно обсудить, что такое бесконечная десятичная дробь.

g______d в сообщении #872157 писал(а):

Тем хуже для математиков, у которых базовый курс анализа откладывается до 2-3 курса.

А в американских вузах вообще всё откладывается до 2-3 курса, что у нас читают на 1. Фейнмановские лекции по физике - для какого курса, вы знаете? Для выпускников! А у нас это уровень первокурсников.

Так что это, видимо, по всем специальностям так. Кроме, возможно, humanities.

g______d в сообщении #872157 писал(а):

Представляете – (потенциальный) математик, только на 2 курсе начавший что-то доказывать.

Я не математик, меня это не пугает. И я снова повторю, что работа математика - это не только доказывать.

Я тут копнул, и вспомнил такую раскладку: математика состоит из решения задач и доказательства теорем. Причём, доказательство по своему происхождению вторично: вот, задачу решили, а теперь надо доказать, что решили правильно.

g______d в сообщении #872157 писал(а):

Так же как и равенство $2+2=4$.

Ну тут, скорее, наоборот. Доказательство важнее факта, потому что оно же однотипно позволяет доказать и все равенства $k+m=n,$ верные в натуральных числах. Но эти факты вообще в школьной математике не рассматриваются как теоремы.

mishafromusa в сообщении #872158 писал(а):

Я помню, когда я там учился в институте, в начале 70-х, почти никто из студентов ничего не понимал.

Ну, у нас это принято списывать не на нелепость курсов, а на леность студентов :-) Хотя немотивированность - очевидно в том числе провал и со стороны преподавателей.

mishafromusa в сообщении #872165 писал(а):

Просто потому, что этого никто не пробовал.

Я предвижу, что всё-таки времени и на то, и на то - нехватает.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #872165 писал(а):

Кстати, точек на окружности с рациональной длиной дуги вполне достаточно для всех практических применений, так что вопрос вовсе не в том, рациональна длина дуги или нет, а в том, как её посчитать с данной точностью.

Есть довольно важные дуги, длины которых иррациональны. Кроме того, одновременно координаты точек и длину дуги сделать рациональными сложнее.

mishafromusa в сообщении #872165 писал(а):

последовательности Коши, которые образуют локальное кольцо, а чтоб сделать поле из локального кольца, надо профакторизовать его по максимальному идеалу, который всего один.

Не образуют.

Munin в сообщении #872187 писал(а):

Достаточно обсудить, что такое бесконечная десятичная дробь.

Для курса Calculus достаточно. Работать же с бесконечными дробями довольно противно. Там достаточно неприятное отношение эквивалентности. Кроме того, для фундаментальных последовательностей арифметические операции определяются просто и естественно, а две бесконечные дроби попробуй сложи; придется все равно переходить либо к аппроксимациям, либо к каким-то аналогам фундаментальных последовательностей.

Munin в сообщении #872187 писал(а):

Фейнмановские лекции по физике - для какого курса, вы знаете? Для выпускников!

Подозреваю, что в оригинале было "graduates" в значении "graduate students".

[Munin]

g______d в сообщении #872202 писал(а):

Для курса Calculus достаточно. Работать же с бесконечными дробями довольно противно.

Ну, понятно, что обсудив, что такое бесконечная десятичная дробь, их можно сопоставить, скажем, с точками на координатной прямой. Это уже не так противно?

g______d в сообщении #872202 писал(а):

Подозреваю, что в оригинале было "graduates" в значении "graduate students".

Ну, выпуской курс. Или несколько, с учётом того, что это три толстых тома.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #872202 писал(а):

mishafromusa в сообщении #872165 писал(а):

последовательности Коши, которые образуют локальное кольцо, а чтоб сделать поле из локального кольца, надо профакторизовать его по максимальному идеалу, который всего один.

Не образуют.

Хорошо, вот доказательство: последовательности Коши, не стремящиеся к нулю, обратимы, а стремящиеся к нулю образуют идеал. Где ошибка?

[g______d]

Munin в сообщении #872211 писал(а):

Ну, выпуской курс.

Цитата:

These three volumes are a self-contained pedagogical treatise. They are also a historical record of Feynman's 1961–64 undergraduate physics lectures, a course required of all Caltech freshmen and sophomores regardless of their majors.

freshmen — первый курс, sophomores — второй. Так что я тоже был неправ.

-- Чт, 05 июн 2014 12:40:20 --

Munin в сообщении #872211 писал(а):

Ну, понятно, что обсудив, что такое бесконечная десятичная дробь, их можно сопоставить, скажем, с точками на координатной прямой. Это уже не так противно?

Тогда, может быть, сразу с точками работать?

-- Чт, 05 июн 2014 12:42:35 --

mishafromusa в сообщении #872212 писал(а):

Хорошо, вот доказательство: последовательности Коши, не стремящиеся к нулю, обратимы, а стремящиеся к нулю образуют идеал. Где ошибка?

Локальное кольцо здесь причем? Максимальных идеалов в кольце последовательностей Коши полно.

[Munin]

g______d в сообщении #872213 писал(а):

Тогда, может быть, сразу с точками работать?

Можно.

Вот Древние Греки пробовали. И в результате, так и не научились не то, что решать уравнения $x^2+x=\ldots$ - даже составлять их было выше разумения, потому что к площади нельзя прибавить длину.

[g______d]

Munin в сообщении #872217 писал(а):

Можно.

Вот Древние Греки пробовали. И в результате, так и не научились не то, что решать уравнения $x^2+x=\ldots$ - даже составлять их было выше разумения, потому что к площади нельзя прибавить длину.

Я к тому, что самый простой способ построения непротиворечивой конструкции — это фундаментальные последовательности. Для получения начального понятия, возможно, лучше всего подходят точки на прямой+бесконечные дроби. Но доказывать что-то с их помощью проблематично.

[mishafromusa]

В книжке Брудно всё сделано с десятичными дробями: http://www.twirpx.com/file/217512/

[Munin]

g______d в сообщении #872218 писал(а):

Я к тому, что самый простой способ построения непротиворечивой конструкции — это фундаментальные последовательности.

А я - к тому, что слушателей "Прикладной математики" не колышет построение непротиворечивой конструкции.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #872217 писал(а):

потому что к площади нельзя прибавить длину.

Можно, нужно только сначала длину умножить на единицу, т.е. построить соответствующий прямоугольник, не додумались они, а может и додумались, да нам не рассказали.

-- 05.06.2014, 15:58 --

Munin в сообщении #872222 писал(а):

А я - к тому, что слушателей "Прикладной математики" не колышет построение непротиворечивой конструкции.

Ай-яй-яй! Нехорошо обманывать детишек!

-- 05.06.2014, 16:00 --

g______d в сообщении #872213 писал(а):

Локальное кольцо здесь причем? Максимальных идеалов в кольце последовательностей Коши полно.

Не полно, а только один, ч.т.д.

-- 05.06.2014, 16:06 --

Munin в сообщении #872051 писал(а):

mishafromusa в сообщении #872031 писал(а):

А что, смысл обучения математике в том, чтобы ублажать математиков?

Видимо, да По крайней мере, многие математики, как я вижу, стоят на такой позиции

Поэтому надежда только на самообслуживание.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #872226 писал(а):

Ай-яй-яй! Нехорошо обманывать детишек!

И я про то же. А не объяснять им действительных чисел под предлогом того, что это ужас-сложно, или затягивать объяснение, или тратить на него полсеместра, вместо других полезных вещей - это всё разновидности обмана.

mishafromusa в сообщении #872226 писал(а):

Поэтому надежда только на самообслуживание. :D

Нет, я пока надеюсь найти математиков-единомышленников. Или хотя бы с совестью.

[Xaositect]

mishafromusa в сообщении #872212 писал(а):

Хорошо, вот доказательство: последовательности Коши, не стремящиеся к нулю, обратимы, а стремящиеся к нулю образуют идеал. Где ошибка?

Первая половина неверна, любая последовательность, содержащая 0, необратима.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #872211 писал(а):

Ну, понятно, что обсудив, что такое бесконечная десятичная дробь, их можно сопоставить, скажем, с точками на координатной прямой. Это уже не так противно?

А зачем? Нужно просто научиться их округлять и считать с ними правильно, Я когда-то написал про это пару страничек, кончив доказательством полноты, да где-то завалялись они, надо поискать.

-- 05.06.2014, 16:27 --

Xaositect в сообщении #872236 писал(а):

Первая половина неверна, любая последовательность, содержащая 0, необратима.

Ну так у неё есть хвост без нулей, если она к нему не стремится, и всё получается, если считать 2 последовательности с одинаковыми хвостами одинаковыми.

[Xaositect]

mishafromusa в сообщении #872239 писал(а):

Ну так у неё есть хвост без нулей, если она к нему не стремится, и всё получается.

Это Вы уже профакторизовали по идеалу последовательностей, содержащих конечное количество нулей.

-- Пт июн 06, 2014 00:41:27 --

По вопросу идеалов кольца последовательностей Коши: http://mathoverflow.net/questions/12072 ... eries-ring

[mishafromusa]

Xaositect в сообщении #872250 писал(а):

Это Вы уже профакторизовали по идеалу последовательностей, содержащих конечное количество нулей.

Скорее по идеалу последовательностей равных нулю, начиная с некоторого места, и получилось локальное кольцо, так что всё в порядке.

-- 05.06.2014, 16:49 --

Munin в сообщении #872235 писал(а):

Нет, я пока надеюсь найти математиков-единомышленников. Или хотя бы с совестью.

Их слишком мало, не справятся. Но они могут написать учебники для физиков.