Строгое доказательство 1-го замечательного предела

[Munin]

mishafromusa в сообщении #870724 писал(а):

Можно же по-человечески объяснить школьникам как вычислять с приближениями

Можно. Но нельзя говорить, что вы при этом доказали существование чего-то, или даже просто обосновали.

Путём вычисления вы всего лишь навсего получили результат вычисления. Ровным счётом. Ну не обязан он быть приближением чего-то ещё. Ну посмотрите на расходящиеся ряды, да окститесь.

mishafromusa в сообщении #870749 писал(а):

У нас здесь вполне конкретный пример, а полнота -- это про все вообразимые и невообразимые такого сорта примеры.

Это если её полностью давать, извините за тавтологию.

Извините, по-моему, вы мечетесь между собственными желаниями дать что-то попроще, и собственной математической привычкой дать что-то абсолютно полноценно, надёжно и без дырок. И у вас не получается сидеть на двух стульях. Вы видите путь к упрощению, который сами же усложняете до того, что он получается сложнее исходного. Вам надо или перестать быть математиком, или перестать мечтать о лаврах педагогических.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870751 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870749
писал(а):
И зачем доказывать существование длины, когда нам нужны лишь её грубые оценки?
Затем, что невозможно оценивать ни грубо, ни даже тонко, пока не раскроешь страшную тайну -- что же, собственно, оцениваешь.

Очень даже возможно, физики это делают всё время.

[Munin]

ewert в сообщении #870759 писал(а):

Смотря каким школьникам. Физмат -- нужен.

Не приравнивайте физмат и мат.

Есть на свете ещё и физики. О которых вы упорно забываете, и которых постоянно презираете до невидения, при том, что им же и читаете математику.

-- 02.06.2014 00:16:43 --

mishafromusa в сообщении #870787 писал(а):

Очень даже возможно, физики это делают всё время.

Физики делают немножко другое, и с учётом того, насколько вы это "понимаете", лучше высказывайтесь за математиков, а не за физиков.

[ewert]

Munin в сообщении #870788 писал(а):

им же и читаете математику.

Ни разу.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #870786 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870724
писал(а):
Можно же по-человечески объяснить школьникам как вычислять с приближениями
Можно. Но нельзя говорить, что вы при этом доказали существование чего-то, или даже просто обосновали.

Очень даже можно, если проверить, что приближения можно взять сколь угодно точными.

-- 01.06.2014, 20:43 --

mishafromusa в сообщении #870787 писал(а):

Извините, по-моему, вы мечетесь между собственными желаниями дать что-то попроще, и собственной математической привычкой дать что-то абсолютно полноценно, надёжно и без дырок. И у вас не получается сидеть на двух стульях. Вы видите путь к упрощению, который сами же усложняете до того, что он получается сложнее исходного. Вам надо или перестать быть математиком, или перестать мечтать о лаврах педагогических.

Статья писалась для математиков, это не учебник, и ни о каких лаврах я не мечтаю, просто хотел поделиться. Вы можете взять то, что понравилось и применить так, как понимаете. Я личто считаю, что математиков нужно просто отстранить от преподавания матана нематематикам. желаю удачи в обучении матану физиков Питер Лакс, помню сокрушался, как много соверщенно ненужного хлама в Calculus, хотя здесь и правда это чистые помои. Неплохо было бы вообще его упразднить, как отдельный предмет и включить в курс программирования

-- 01.06.2014, 20:46 --

ewert в сообщении #870798 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870787
писал(а):
Очень даже возможно, физики это делают всё время.
Физики делают немножко другое, и с учётом того, насколько вы это "понимаете", лучше высказывайтесь за математиков, а не за физиков.

Я же пошутил, и высказался исключительно за себя.

-- 01.06.2014, 21:01 --

ewert в сообщении #870779 писал(а):

Без софистики научить решать задачи невозможно, можно лишь надрессировать. Но тогда шаг вправо/шаг влево -- и расстрел.

О боже, какой Вы ортодокс! Смысл -- это не математическое, остаётся одна софистика.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #870788 писал(а):

Есть на свете ещё и физики. О которых вы упорно забываете, и которых постоянно презираете до невидения, при том, что им же и читаете математику.

Я лично очень уважаю физиков, и мне их очень жалко, как и биологов, химиков, инженеров и других жертв математического буквоедства. Что можно посоветовать? Переходите на самообслуживание, на Западе уже переходят.

[sergei1961]

Стали говорить про всё. Тогда тоже. Когда математику читают физики для физиков, геологи для геологов, экономисты для экономистов, юристы для юристов... Выгодно и материально, часы же. Так вот, то где я наблюдаю это своими глазами-получается полная профанация и бардак. При всём уважении к физикам, даже квалифицированный физик не может грамотно прочитать матан. Дело не только в этой погоне за строгостью. Просто квалификацию в математике профессионала и непрофессионала не сравнить, даже не сможете отобрать те разделы, которые для счёта нужны. Но физикам с этим как то труднее всех смириться.

При этом я встречал достаточно механиков (с физиками общался меньше), которые очень грамотно разбирались в математике, получше многих нас. Но они как раз никогда замещать математиков и не лезли.

Но это тоже наверное вопрос веры, тут главное в преподавателях конкретных, а не в идейном пафосе. Сам я некоторые разделы функана понял только при изучении квантов: с тем преподавателем не повезло, а с этим повезло. А то что физику кажется мусором, грамотному специалисту видны разделы той же прикладной науки, которые только появляются с использованием этого, как пока кажется большинству, мусора.

А результаты такого подхода очень видны. Я не работаю с физиками, слышу опосредованно от друзей, иногда показывают работы. Уровень математической безграмотности в работах, включая где в соавторах профессора, ужасает. Как и самомнения. На мой взгляд, он увеличивается на глазах. Все гордятся своими хиршами по работам с 8-10 соавторами, не понимают, что их надо на 50 делить для сравнения, физиков примерно в сообществах в 50 раз больше, чем математиков, как и рейтинги их журналов. Мне трудно системно судить, почему. Думаю одна из важнейших причин-разрушенная промышленность, как не гордились, но раньше цепочка в основном в производстве заканчивалась, даже для теоретиков, хотя они-мы не всегда понимаем, для чего учим. Без производства наука вообще не нужна, кроме энтузиастов и воров-проходимцев от псевдонауки, никому, что мы и наблюдаем.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #870855 писал(а):

Статья писалась для математиков

Вроде бы, как я понял, для преподавателей.

mishafromusa в сообщении #870855 писал(а):

Я же пошутил, и высказался исключительно за себя.

Окей.

mishafromusa в сообщении #870862 писал(а):

Я лично очень уважаю физиков, и мне их очень жалко, как и биологов, химиков, инженеров и других жертв математического буквоедства. Что можно посоветовать? Переходите на самообслуживание, на Западе уже переходят.

Физики от веку "на самообслуживании", и это как раз очень плохо. В каждом учебнике физики - огромное место отведено введению "по месту" необходимого матаппарата, а если посмотреть на содержание практических занятий и упражнений - то оно посвящено освоению новой математики почти полностью.

Я по этому поводу уже сокрушался в одной из тем, на которые давал вам ссылку. Темы длинные, и я допускаю, что вы не дочитали до этого места. В центре здесь два пункта:

1. Неужели вы думаете, что физикам было бы нечего рассказать ученикам и студентам, если бы перед ними не было необходимости излагать всю эту математику? Никакой другой предмет настолько не ущемлён: большинство преподавания геологии посвящено геологии, большинство преподавания химии - посвящено химии, и т. д. (С экономистами не уверен. Школьные предметы - все таковы.)

2. Математические инструменты вычислений - математика и продукт математики, и нет никакой логики в том, чтобы выбрасывать и "выдавливать" этот материал из курсов математики, и сваливать на физиков. Между тем, это фактически и происходит, часто в неявном виде - в виде совершенно неприличного затягивания материала по сравнению с тем, когда его было бы уместно использовать в физике - и когда он фактически в физике и вводится.

[Deggial]

mishafromusa в сообщении #870855 писал(а):

писал(а):

ewert писал(а):

mishafromusa в сообщении #870787
писал(а):
Очень даже возможно, физики это делают всё время.
Физики делают немножко другое, и с учётом того, насколько вы это "понимаете", лучше высказывайтесь за математиков, а не за физиков.

Я же пошутил, и высказался исключительно за себя.

mishafromusa, замечание за неправильное цитирование (неверен автор цитаты).

[Munin]

Чтобы не быть голословным.

Алгебра числовых величин. В физике в 7 классе - в математике 7 класс.
Алгебра векторов (сложение, скалярное произведение). В физике в 7 классе - в математике 8 класс - 1 год.
Интегрирование плотности (скаляра) по объёму. В физике в 7 классе - в математике 2 курс - 6 лет.
Интегрирование давления (вектора) по поверхности. В физике в 7 классе - в математике 2 курс - 6 лет.
Дифференцирование скалярной функции по времени (по 1 переменной). В физике в 7 классе - в математике 10 класс - 3 года.
Алгебра векторов (векторное произведение - 2-формы). В физике в 7 классе - в математике 1 курс - 5 лет.
Центр тяжести - интегрирование вектора по объёму. В физике в 7 классе - в математике 2 курс - 6 лет.
Экстремумы функций (хотя бы 1 переменной). В физике в 7 классе - в математике 10 класс - 3 года.

Теория вероятностей, случайный процесс, усреднение. В физике в 8 классе - в математике 3 курс - 6 лет.
Интегрирование скалярной функции по 1 переменной (по температуре). В физике в 8 классе - в математике 11 класс - 3 года.
Векторные поля. Линии поля. Бездивергентные поля. В физике в 8 классе - в математике 2 курс - 5 лет.
Сферическая геометрия: угловые размеры и площади. В физике в 8 классе - в математике 2 курс - 5 лет.
Тригонометрия (закон преломления). В физике в 8 классе - в математике 8 класс.
Эволюта (фокусы и каустики в оптике). В физике в 8 классе - в математике 1 курс - 4 года.

Координаты векторов. В физике в 9 классе - в математике 8-9-10 класс (по разным курсам).
Функции 1 переменной: вторая производная, анализ по графикам, векторные функции. В физике в 9 классе - в математике 11 класс - 2 года.
Замены переменных (относительность движения). В физике в 9 классе - в математике 1 курс - 3 года.
Дифференциальные уравнения (для векторов!). В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Разные задачи для дифференциальных уравнений, свойства решений. В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Дифференциальные уравнения в частных производных. В физике в 9 классе - в математике 3 курс - 5 лет.
Спектр Фурье функции 1 переменной. В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Интерференция волн (свойства решений ДУЧП). В физике в 9 классе - в математике 3 курс - 5 лет.
Векторные поля. Линии поля. Гармонические (Laplacian) поля. В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Интегрирование вектора по линии. В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Теорема Стокса. В физике в 9 классе - в математике 2 курс - 4 года.
Нелинейные преобразования сигналов (интегро-дифференциальные). В физике в 9 классе - в математике 3 курс - 5 лет.
Дисперсия волн. В физике в 9 классе - в математике 3 курс - 5 лет.

Группы (симметрия). В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Линейные преобразования координат. В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Потенциальное векторное поле и его потенциал. В физике в 10 классе - в математике 2 курс - 3 года.
Эллипс. В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Статистические распределения. В физике в 10 классе - в математике 3 курс - 4 года.
Частные производные. В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Минимальные поверхности. В физике в 10 классе - в математике 2 курс - 3 года.
Типы кристаллических решёток, кристаллографические плоскости. В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Экстремумы функций нескольких переменных. В физике в 10 классе - в математике 1 курс - 2 года.
Граничные условия векторных полей. Условия Дирихле. В физике в 10 классе - в математике 2 курс - 3 года.

Комплексные числа. В физике в 11 классе - в математике 10 класс / 1 курс.
Степенные асимптотики на бесконечности. В физике в 11 классе - в математике 2 курс - 2 года.
Принцип Гюйгенса (функция Грина в ДУЧП). В физике в 11 классе - в математике 3 курс - 3 года.
Собственные колебания (в ДУЧП). В физике в 11 классе - в математике 3 курс - 3 года.



Это только за школьный курс. За вузовский я даже не берусь, прежде всего потому, что нужную математику часто вообще не преподают тем нематематикам (физикам, инженерам), которым она нужна в курсах физики.

Цифры примерные, но взяты по популярным учебникам и программам, и не сильно колеблются в зависимости от конкретных программ.

(Честно говоря, пока я не проделал эту подборку, я не думал, что настолько всё плохо.)

[statistonline]

Пардон, что отвлекаю, но вот у Коши такой пассаж на тему 1-го замечательного предела :
$\frac{sin\alpha }{sin\alpha }>\frac{sin\alpha }{\alpha }>\frac{sin\alpha }{tg\alpha }=cos\alpha$, для малых углов, из которого он и выводит его.
Он, по-сути, скрыто пользуется эквивалентностями?

[sergei1961]

Используются неравенства, которые нужно доказать. Или Коши их не доказывает? Про это и речь, как их строго доказать, чтобы лемму о 2 полиционерах применить потом. Стандартные доказательства этих неравенств использует величину пи и формулы площади сектора. Есть мнение, что до интеграла это строго не изложить в разумном объёме. Как я понял, есть и другие мнения.

[statistonline]

Ну, он пишет, что это очевидно.

[sergei1961]

Это он в оригинале пишет-не похоже на него, или в изложении Буняковского?

[statistonline]

Коши, "Краткое изложение уроков...", но перевод Буняковского.