Строгое доказательство 1-го замечательного предела

[mishafromusa]

g______d в сообщении #870712 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870703 писал(а):

Ну зачем к словам цепляться, ведь ясно, о чём речь.

Фраза "её же можно вычислить с любой точностью, это и значит, что она существует " как раз и означает, что полноту мы считаем аксиомой.

Да при чём тут аксиомы? Можно же по-человечески объяснить школьникам как вычислять с приближениями, тем более, что это полезно и для других предметов.

-- 01.06.2014, 14:49 --

Munin в сообщении #870721 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870703
писал(а):
Ну зачем к словам цепляться, ведь ясно, о чём речь.
Вам потом правильно сказали про полноту. Это не "ясно, о чём речь", это "ясно, в чём жульничество".

В чём жульничество то? В том, чтоб людям не вешать высоко-научную лапшу на уши?

[Xaositect]

mishafromusa в сообщении #870724 писал(а):

Да при чём тут аксиомы? Можно же по-человечески объяснить школьникам как вычислять с приближениями, тем более, что это полезно и для других предметов.

А можно по-человечески объяснить и сказать, что это называется полнотой действительной прямой. И это будет полезно и для других предметов, и для математики.

[ewert]

Munin в сообщении #870700 писал(а):

тоже может не существовать. Например, вы доказали единственность?

Неединственность вовсе не означает несуществования. Скажем, людей на свете много (и даже кошек). Означает ли это, что никто из них не существует?...

[g______d]

Если полнота считается чем-то очевидным, то в понятии длины окружности нет вообще никаких проблем: периметр любого вписанного многоугольника меньше периода любого описанного, это факт из школьной геометрии, достаточно несложный. Кроме того, разность между периметрами вписанного и описанного можно сделать сколь угодно малой. Применяя эквивалентную формулировку полноты, или просто считая факт очевидным, получаем единственное вещественное число.

Здесь, видимо, гладкость окружности не нужна, а нужна только выпуклость круга.

[mishafromusa]

Xaositect в сообщении #870736 писал(а):

А можно по-человечески объяснить и сказать, что это называется полнотой действительной прямой.

У нас здесь вполне конкретный пример, а полнота -- это про все вообразимые и невообразимые такого сорта примеры. И зачем доказывать существование длины, когда нам нужны лишь её грубые оценки?

[ewert]

g______d в сообщении #870746 писал(а):

Здесь, видимо, гладкость окружности не нужна, а нужна только выпуклость круга.

Гладкость не нужна, а вот с достаточностью выпуклости -- некоторые проблемы. Как минимум потому, что не вполне понятно (на элементарном уровне), что бы в точности это могло означать для неокружности.

-- Вс июн 01, 2014 23:14:54 --

mishafromusa в сообщении #870749 писал(а):

И зачем доказывать существование длины, когда нам нужны лишь её грубые оценки?

Затем, что невозможно оценивать ни грубо, ни даже тонко, пока не раскроешь страшную тайну -- что же, собственно, оцениваешь.

У-ф-ф.

[Oleg Zubelevich]

мне думается, что там где строгость недостижима на уровне имеющихся знаний, за ней не надо гнаться. Сказать " а вот эту теорему мы доказывать не будем" гораздо честнее, чем приводить какие-то извращенские соображения да еще и перегруженные историческим баластом. Первый замечательный предел равен единице, все точка. Производная синуса -- косинус. Все! А доказательства потом и только тем, кому они действительно нужны.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #870746 писал(а):

Если полнота считается чем-то очевидным, то в понятии длины окружности нет вообще никаких проблем

И в понятии длины дуги тоже, о чем я и толкую. И вообще, зачем школьникам весь этот скушный педантизм?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #870754 писал(а):

Сказать " а вот эту теорему мы доказывать не будем" гораздо честнее, чем приводить какие-то извращенские соображения да еще и перегруженные историческим баластом. Первый замечательный предел равен единице, все точка.

Во многих случаях ровно так и надо, но конкретно этот пример неудачен. Это в школе можно отмахнуться от таблицы производных словами типа "дети, вам потом всё объяснят; ну а может и нет". Если же дело доходит до т.наз. высшей математики, приходится хоть какие-то ключевые моменты объяснять хоть сколько-то, да честно. Иначе курс рассыпается в пыль.

-- Вс июн 01, 2014 23:23:50 --

mishafromusa в сообщении #870757 писал(а):

И вообще, зачем школьникам весь этот скушный педантизм?

Смотря каким школьникам. Физмат -- нужен.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #870754 писал(а):

мне думается, что там где строгость недостижима на уровне имеющихся знаний, за ней не надо гнаться.

Но можно же объяснить и без строгости, или на более низком уровне строгости, чтобы понятно было, без педантизма.

-- 01.06.2014, 15:28 --

ewert в сообщении #870759 писал(а):

mishafromusa в сообщении #870757
писал(а):
И вообще, зачем школьникам весь этот скушный педантизм?
Смотря каким школьникам. Физмат -- нужен.

Лучше бы детей задачи решать учили, а не крючкотворству и софистике.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870761 писал(а):

Лучше бы детей задачи решать учили,

Смотря каких детей.

И, на всякий случай: одни и те же дети в последнем классе и на первом курсе -- это совсем разные дети. Принципиально разные.

[Xaositect]

mishafromusa в сообщении #870757 писал(а):

И в понятии длины дуги тоже, о чем я и толкую. И вообще, зачем школьникам весь этот скушный педантизм?

Можно же нескучно объяснять, мне нравилось. И на решение задач тоже оставалось.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #870759 писал(а):

Иначе курс рассыпается в пыль.

Ничего не рассыпется, надо учить студентов решать задачи, а не заниматься софистикой.

-- 01.06.2014, 15:39 --

ewert в сообщении #870764 писал(а):

в последнем классе и на первом курсе -- это совсем разные дети.

Да, понятно, на первом курсе они уже так отупели, что только на софистику мозгов и хватает.

[g______d]

Xaositect в сообщении #870765 писал(а):

Можно же нескучно объяснять, мне нравилось. И на решение задач тоже оставалось.

+1

Для меня в школе, кстати, очень важным моментом было понимание того, что я умею доказывать строго, а чего не умею. Длин кривых я остерегался до 1 курса, хотя знал другие более продвинутые вещи.

mishafromusa в сообщении #870766 писал(а):

Ничего не рассыпется, надо учить студентов решать задачи, а не заниматься софистикой.

Бывают задачи на "доказать", там довольно сложно без СОФИСТИКИ.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870766 писал(а):

надо учить студентов решать задачи, а не заниматься софистикой.

Без софистики научить решать задачи невозможно, можно лишь надрессировать. Но тогда шаг вправо/шаг влево -- и расстрел.