Строгое доказательство 1-го замечательного предела

[Oleg Zubelevich]

определение можно вводить по-разному

[provincialka]

Oleg Zubelevich, А как вы определяете синус? Его производную?
Собственно, изначально речь шла о стандартном определении из стандартного учебника. Именно оно было примером недостаточной строгости.

[ewert]

Есть стандартное определение. А стандартное оно потому, что ещё школьное, а школьное потому, что в школе без синуса никак. Любое же альтернативное определение просто перенесёт трудности в другое место. Чудес не бывает.

[Oleg Zubelevich]

provincialka в сообщении #870176 писал(а):

Собственно, изначально речь шла о стандартном определении из стандартного учебника

нет, речь шла о формальном построении данной теории не содержащем пробелов. Поскольку sergei1961 стал уверять, что такового построения не существует.

Определение. Синусом ($x(t)=\sin t$) называется решение задачи Коши $\ddot x+x=0,\quad x(0)=0,\quad \dot x(0)=1$

Это один из вариантнов дать абсолютно формальное построение тригонометрии. Вариант, естественно, совершенно непедагогичный, но речь, еще раз повторю, не о педагогике.

[provincialka]

Прекрасное определение. Осталось только доказать, что именно этот синус задает отношение сторон к прямоугольном треугольнике.

[ewert]

provincialka в сообщении #870176 писал(а):

речь шла о стандартном определении из стандартного учебника. Именно оно было примером недостаточной строгости.

Оно само по себе вполне строго. Нестрогим (при стандартном изложении) является лишь предшествующее геометрическое понятие длины дуги (ну или площади сектора, по вкусу). Однако эта нестрогость вполне безобидна: интуитивно всё выглядит очевидным, и достаточно лишь знать, что этим правдоподобным рассуждениям можно придать точную форму.

[Oleg Zubelevich]

provincialka в сообщении #870179 писал(а):

Прекрасное определение. Осталось только доказать, что именно этот синус задает отношение сторон к прямоугольном треугольнике.

это совсем несложно

[ewert]

provincialka в сообщении #870179 писал(а):

Осталось только доказать, что именно этот синус задает отношение сторон к прямоугольном треугольнике.

Нет-нет, это чуть позже. Сперва надо ещё доказать теорему ну хотя бы Пикара.

[g______d]

Несколько боянов на тему ПЗП: например
topic57894.html
topic24259.html
topic48223.html

[provincialka]

Собственно, дело не только в первом замечательном. Мне кажется, в самом понятии "строгого доказательства" нельзя полностью уйти от субъективности. Ведь представления о строгости вырабатываются людьми (и меняются в процессе развития математики). Впрочем, это все оффтопик в теме про Арнольда.

[ewert]

provincialka в сообщении #870191 писал(а):

Впрочем, это все оффтопик в теме про Арнольда.

Почему? Я, правда, всю тему не читал; но, по-моему, в любой теме вообще (и в этой в частности), где затрагивается Арнольд, речь неизбежно заходит о его подходе к вопросам строгости и вообще к педагогике.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

вообще немного забавно, что введение синуса как спецфункции оказалось таким сюрпризом

[provincialka]

Ну, о его подходе. А о нем-то на последних страницах и забыли.

-- 01.06.2014, 11:24 --

Oleg Zubelevich, ну, не то чтобы сюрпризом, просто немного не в тему. Говорилось ведь о тех доказательствах, которые используются математиками. В реальных учебниках. Не заметила, чтобы кто-то отвергал саму возможность произвести описание более точно.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #870195 писал(а):

вообще немного забавно, что введение синуса как спецфункции оказалось таким сюрпризом

Это не сюрприз, это общеизвестный подход. Только ничем не мотивированный. В отличие, скажем, от экспоненты, для которой определение через дифур действительно достаточно идейно.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #870198 писал(а):

Это не сюрприз, это общеизвестный подход. Только ничем не мотивированный. В отличие, скажем, от экспоненты, для которой определение через дифур действительно достаточно идейно.

В общем-то, они для синуса и экспоненты мотивированы в равной степени. Если экспонента идейна, то и синус тоже; и наоборот.