Замечательный предел и нечестное доказательство

[Ales]

Услышал в интернете на одном очень хорошем ресурсе:

На 1-ом курсе мехмата студентам доказывают, что $$\lim_{x\to 0} \frac {\sin x} x=1$.

Доказательство как-бы строгое и опирается на хорошо известную формулу,
что площадь круга равна половине произведения радиуса на длину окружности.

Но на самом деле:
1. формула для площади круга не доказывается, и по сути эквивалентна замечательному пределу,
2. длина окружности может быть строго определена только через интеграл,
3. синус, как функция от длины дуги окружности, тоже может быть строго определен только через интеграл,
4. площадь круга тоже может быть определена только через интеграл.

Но интегралы (и длину кривой) определяют и изучают только в следующем семестре.

Правильно ли использовать в курсе анализа такие нечестные доказательства?

[Doil-byle]

topic48223.html

[Евгений Машеров]

Формула для площади круга, вообще-то, была разными греками выводима до введения понятия интеграла, притом строго. И после курса средней школы полагается известной. Так что никакой нечестности.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #564415 писал(а):

Формула для площади круга, вообще-то, была разными греками выводима до введения понятия интеграла, притом строго.

Греками строго она не могла быть выведена -- у них не было вещественных чисел.

[vicvolf]

Ales в сообщении #564345 писал(а):

Правильно ли использовать в курсе анализа такие нечестные доказательства?

Слово нечестное к доказательству не подходит. Доказательство может быть нестрогим.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Ну да, ну да... Греки не могли строго считать объёмы и площади из-за отсутствия вещественных чисел, а царь Соломон не мог судить справедливо из-за того, что УК РФ ещё не был написан...

[ewert]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #564508 писал(а):

Греки не могли строго считать объёмы и площади из-за отсутствия вещественных чисел,

Нет, не могли. Т.е. считать-то они могли, но что в точности считали -- строго говоря, не знали.

Это очень распространённое в математике явление -- "опережающее знание". Тарталья лихо манипулировал комплексными числами, не зная, что это такое. Эйлер -- рядами, опять же не имея представления об их точном смысле. И т.д.

Кстати, для доказательства 1-го замечательного предела площадь не нужна и не естественна. Достаточно длины.

[hurtsy]

(Оффтоп)

В учебнике для средней школы Киселева площадь круга вычислялась через вписанные и описанные выпуклые многоугольники, так что древние вполне могли обходиться без теории вещественных чисел.

[ewert]

hurtsy в сообщении #564515 писал(а):

В учебнике для средней школы Киселева площадь круга вычислялась через вписанные и описанные выпуклые многоугольники,

Вычислить-то можно. Но это не значит, что вычисляемый объект определён.

[Евгений Машеров]

Ну, я имею в виду то, что работали они с геометрическими объектами. И в этих рамках были вполне строги.

[g______d]

Я думаю, что строгость доказательства соответствует строгости определения функции $\sin x$. Без длины дуги надо постараться, чтобы это сделать.

[Mopnex]

post231701.html#p231701

[ewert]

Mopnex в сообщении #564576 писал(а):

http://dxdy.ru/post231701.html#p231701

Цитата:

1. Для любых вещественных чисел $x$, $y$ , $z$ выполняются соотношения

$S(x+y) = S(x)C(y)+C(x)S(y)$
$C(x+y) = C(x)C(y)-S(x)S(y)$

Ну и кому эти таинственные соотношения сами по себе интересны?...

Кроме того, древние пластические греки ими и не интересовались.

Не в тему.

[shwedka]

Ales в сообщении #564345 писал(а):

Но shwedka: на самом деле:
На самом деле Вы привели несколько утверждений, которые не доказали

1. формула для площади круга не доказывается, и по сути эквивалентна замечательному пределу,

shwedka: Что означают слова 'по сути'? Что эквивалентна-- тогда докажите эту эквивалентность. Если не эквивалентна, то утверждение отбрасывается. А доказательств формулы для площади круга в различных источниках хватает.
2. длина окружности может быть строго определена только через интеграл,

Докажите, что 'только'

3. синус, как функция от длины дуги окружности, тоже может быть строго определен только через интеграл,


Докажите, что 'только'
4. площадь круга тоже может быть определена только через интеграл.

Докажите, что 'только'


Правильно ли использовать в курсе анализа такие нечестные доказательства?

Итак, ни одно из утверждений заявления ТС не доказано. Рекомендуется автору темы почитать учебники, и вопросы сами собой снимутся/

[Mopnex]

ewert в ]сообщении #564579 писал(а):

$S(x+y) = S(x)C(y)+C(x)S(y)$
$C(x+y) = C(x)C(y)-S(x)S(y)$
Ну и кому эти таинственные соотношения сами по себе интересны?...

Так можно определить синус без дуг, площадей и окружностей.

ewert в сообщении #564579 писал(а):

Кроме того, древние пластические греки ими и не интересовались.

Причём тут греки?

ewert в сообщении #564579 писал(а):

Не в тему.

Это - вряд ли (с)