Первый замечательный предел - так ли замечателен?

[olenellus]

Во всех книгах по мат. анализу, до которых у меня дошли руки, первый замечательный предел доказывают нечестно: с использованием школьной геометрии. Да и сами тригонометрические функции там выпадают из неоткуда.

Как это делается корректно? Насколько я представляю, надо вводить тригонометрические функции через аналитическое продолжение $e^x$ на $\mathbb{C}$ (ну, на мнимую ось, по крайней мере). Но тогда первый замечательный предел получается бесплатным приложением. Что же в нём тогда такого замечетельного, если для его доказательства приходится лезть в $\mathbb{C}$?

Добавил:
Скорее всего, тему создал не в том разделе. Может, её надо куда-нибудь в "Преподавание"?

[Sonic86]

olenellus в сообщении #472817 писал(а):

Во всех книгах по мат. анализу, до которых у меня дошли руки, первый замечательный предел доказывают нечестно: с использованием школьной геометрии. Да и сами тригонометрические функции там выпадают из неоткуда.

Наверное все сводится к тому, откуда в вещественном анализе берется синус. Он вроде бы там геометрически и определятся. Отсюда и использование школьной геометрии . В конце концов синус нужен, его нужно вводить, можно ли ввести его более естественно?

[olenellus]

Так-то оно так, но ведь это жульничество! Чтобы честно воспользоваться доказательством через школьную геометрию, надо использовать жорданову меру и интегралы первого рода по кривым, а это предполагает умение работы с пределами сумм типа суммы Дарбу. Плюс, до этого надо вводить эвклидову ("пифагорову") метрику и порождаемое ей скалярное произведение. Не естественнее ли через ряды Тейлора?

А вообще, наверно, самое естественное - это через векторное представление двумерной группы вращений (как сохраняющей эвклидов интервал). Но это уже не совсем мат. анализ. И там уже надо знать про аналитическое продолжение экспоненты.

[Sonic86]

В общем - бедные школьники С позиций формализма конечно так (т.е. если отвлечься от специфики тех, кто ее изучает), но поскольку вещь, которая утверждается в теореме довольно хорошо ощущаемая физически, было бы хорошо ее показать в простом и ясном виде. Потом уже для спецов можно все честно сделать...

[_hum_]

Да, тут скорее надо отталкиваться от того, что такое сама функция $\sin x$. Наверное можно относится так: это некая абстрактная функция, значения которой совпадают с отношением длины катета к гипотенузе при соответствующем выборе угла в геометрии. Все. Поскольку значения функции $\sin$ теперь допускают геометрическую интерпретацию, то и свойства функции теперь можно на полном основании (строго) выводить из теорем и аксиом геометрии.
Грубо говоря, определяем функцию $\sin$ как абстрактную функцию, обладающую всеми теми же свойствами, что и зависимость отношения противоположного катета к гипотенузе от угла; тем самым позволяем себе легально пользоваться при доказательствах геометрическими соображениями.

[Gortaur]

Кстати, непрерывность геометрического синуса вроде бы тоже не на раз выводится.

[olenellus]

Проблема в том, что, когда Вы будете мне строго выводить синусы и косинусы, а так же первый замечательный предел из теорем и аксиом геометрии, я Вас спрошу: "А что такое длина отрезка? а что такое длина дуги? а что такое угол? а что такое площадь треугольника? а что такое, площадь сектора?" И Вам придётся погрузиться во второй семестр мат. анализа. А первый замечательный предел изучается в первом семестре. Анахронизм, однако.

Кстати, если идти через экспоненту (а в любом случае через неё придётся идти, даже если через группы подходить к вопросу), то получается, что вывод первого замечетальеного предела требует знание второго замечательного предела. Ещё один анахронизм.

[Joker_vD]

Бурбаки вводят синус как вещественную часть некоего не то гомеоморфизма, не то еще чего из $\mathbb C$ во что-то страшное. И никаких экспонент.

[olenellus]

Вы, наверно, хотели сказать "И никаких рядов". Скорее всего, тот гомеоморфизм (не то ещё чего) и есть экспонента.

[_hum_]

olenellus в сообщении #472889 писал(а):

Проблема в том, что, когда Вы будете мне строго выводить синусы и косинусы, а так же первый замечательный предел из теорем и аксиом геометрии, я Вас спрошу: "А что такое длина отрезка? а что такое длина дуги? а что такое угол? а что такое площадь треугольника? а что такое, площадь сектора?" И Вам придётся погрузиться во второй семестр мат. анализа. А первый замечательный предел изучается в первом семестре. Анахронизм, однако.

То есть, вы хотите сказать, что в евклидовой геометрии понятия длины нет? А как же теорема Пифагора?


еще раз:
определяем функцию $\sin$ как абстрактную функцию, обладающую всеми теми же свойствами, что и зависимость отношения противоположного катета к гипотенузе от угла в математической дисциплине евклидова геометрия.

[Padawan]

Joker_vD в сообщении #472890 писал(а):

Бурбаки вводят синус как вещественную часть некоего не то гомеоморфизма, не то еще чего из $\mathbb C$ во что-то страшное. И никаких экспонент.

Да, да, да... Они рассматривают непрерывный гомоморфизм вещественной прямой в мультипликативную группу комплексных чисел, равных по модулю единице. По-моему это в томе про топологические группы (он у меня есть в бумажном варианте) .
Потом еще мелким шрифтом пишут, что $\varphi(1)$ обычно подбирают так, чтобы был выполнен этот самый первый замечательный предел, что соответствует выбору радианной мере угла.

[olenellus]

_hum_ в сообщении #472898 писал(а):

То есть, вы хотите сказать, что в евклидовой геометрии понятия длины нет? А как же теорема Пифагора?

Я, конечно, забыл уже, что было в школе, но, как мне кажется, корректно теорема Пифагора появляется не как теорема, а как опредление некой метрики на $\mathbb{R}^2$. А школьные длины и углы никак корректными не кажутся, так как опираются на интуитивные представления о длинах и поворотах в пространстве. А это уже скорее физика, чем математика. И вообще, в школьной геометрии уже во-всю неявно фигурирует непрерывность и пределы, а мы к этому всему только собрались подходить и всё это доказывать.

[_hum_]

olenellus в сообщении #472900 писал(а):

_hum_ в сообщении #472898 писал(а):

То есть, вы хотите сказать, что в евклидовой геометрии понятия длины нет? А как же теорема Пифагора?

Я, конечно, забыл уже, что было в школе, но, как мне кажется, корректно теорема Пифагора появляется не как теорема, а как опредление некой метрики на $\mathbb{R}^2$. А школьные длины и углы никак корректными не кажутся, так как опираются на интуитивные представления о длинах и поворотах в пространстве. А это уже скорее физика, чем математика. И вообще, в школьной геометрии уже во-всю неявно фигурирует непрерывность и пределы, а мы к этому всему только собрались подходить и всё это доказывать.

Хм.. Вообще-то под евклидовой геометрией я понимал строгую, построенную на аксиомах математическую теорию (элементы которой в более неформальном виде проходят в школе). В рамках этой теории вводится понятие длины и в ней же доказывается теорема Пифагора.

[olenellus]

Padawan в сообщении #472899 писал(а):

Да, да, да... Они рассматривают непрерывный гомоморфизм вещественной прямой в мультипликативную группу комплексных чисел, равных по модулю единице.

(Оффтоп)

А $e^x$ они вводят как непрерывный гомоморфизм из аддетивной $\mathbb{R}$ в мультипликативную $\mathbb{R}^+\backslash\{0\}$? А $e^z$, надо полагать, как непрерывный гомоморфизм из аддетивной $\mathbb{C}$ в мультипликативную $\mathbb{C}\backslash\{0\}$?

-- Вт авг 02, 2011 18:13:41 --

_hum_ в сообщении #472902 писал(а):

Хм.. Вообще-то под евклидовой геометрией я понимал строгую, построенную на аксиомах математическую теорию (элементы которой в более неформальном виде проходят в школе). В рамках этой теории вводится понятие длины и в ней же доказывается теорема Пифагора.

Дайте, пожалуйста, если не трудно, список аксиом, а так же определения длин и углов, из этой теории. А то я невежда... У меня есть с собой только "Начала" Эвклида дореволюционного времени, но там строгостью даже не пахнет.

[MaximVD]

Можно строго определить $\sin$ и без экспонент и рядов. Правда этот способ ну очень некрасивый и неестественный, да к тому же требует знание несобственных интегралов, но всё же. Для любого $x \in \mathbb{R}$ определим арктангенс по следующей формуле:

$$ \arctg(x) = \int_0^x \frac{dt}{t^2 + 1}, $$

а за одно определим и число $\pi$:

$$ \pi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + 1}. $$

После этого немного повозившись можно определить тангенс, а на основе тангенса ещё повозившись можно корректно определить синус.