Тригонометрия и числа

[STilda]

Рассмотрим тригонометриию как систему алгебраических тождеств тригонометрических функций. Получается что такой системе числа и не нужны? Просто набор взаимозависимостей функций.
Кто что скажет?

[conviso]

А зависимость кто устанавливал: между чем и чем, и зачем, кому эта связь-то нужна?
А Функция - это что такое? Это связь чего с чем?
Простите!

[AGu]

STilda в сообщении #231199 писал(а):

Рассмотрим тригонометриию как систему алгебраических тождеств тригонометрических функций. Получается что такой системе числа и не нужны? Просто набор взаимозависимостей функций.
Кто что скажет?

А что, формулы вида $\sin2x=2\sin x\cos x$ в эту «недотригонометрию» не входят? А если входят, то $2$ -- это разве не число?

[STilda]

Цитата:

А зависимость кто устанавливал: между чем и чем

зависимость между функциями

Цитата:

А Функция - это что такое? Это связь чего с чем?

А какая разница? Это некоторый объект удовлетворяющий некоторым соотношениям. Например sin(-x)=-sin(x).

-- Пн июл 27, 2009 11:45:16 --

На вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_функции[/url] есть пункт "Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений".
Он покрывает вопрос AGu. А так же следующие размышления.
Сложно четко оттенить, но возможно есть два аспекта.
1. Числа используются для задания самой функции, как правила отображения одного числа в другое.
2. Числа используются для установления взаимосвязи между функциями.
Второй случай отличается тем, что не нужно вычислять значения функций. Тоесть не нужно знать формулу для функции, по которой можно получить числовое значение, а так же не нужно значть числовое значение аргумента.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #231303 писал(а):

А что, формулы вида $\sin2x=2\sin x\cos x$ в эту «недотригонометрию» не входят? А если входят, то $2$ -- это разве не число?

Предлагается заменить эту формулу на формулу

$$ \sin \big( (\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x) \cdot x \big) = \ldots $$

Ну и всё остальное в том же духе

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #231339 писал(а):

AGu в сообщении #231303 писал(а):

А что, формулы вида $\sin2x=2\sin x\cos x$ в эту «недотригонометрию» не входят? А если входят, то $2$ -- это разве не число?

Предлагается заменить эту формулу на формулу

$$ \sin \big( (\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x) \cdot x \big) = \ldots $$

Ну и всё остальное в том же духе

А, понял. Ну пусть тогда «без чисел» живет. Хотя с таким же успехом можно сказать, что арифметике тоже «числа не нужны»: ведь вместо, скажем, $2$ можно (а в исходном языке -- даже нужно) писать $S\bigl(S(0)\bigr)$ и т.п. Впрочем, любая теория -- это по сути дела «набор взаимозависимостей», а ее «содержательность» -- штука либо неформальная, либо метатеоретическая. Так что в этом смысле я готов согласиться с топикстартером.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #231351 писал(а):

...вместо, скажем, $2$ можно (а в исходном языке -- даже нужно) писать $S\bigl(S(0)\bigr)$ и т.п.

Нельзя. Ноль --- это тоже число

Вместо $x = 0$ человек будет писать $\sin x = x$, а вместо $x=2$ --- формулу

$$ x = \sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x $$

Но вообще всё нормально Если все константные символы определимы в модели формулами без констант, то можно эти константные символы из сигнатуры выкинуть и получится теория той же сложности.

Мне вот другое интересно. С рациональными числами человек, положим, справится. А с другими действительными? Или с комплексными?

С числом $\pi$ проблем вроде не возникает, на то она и тригонометрия Хотя надо ещё хорошенько подумать, как записать $\pi$ тождеством без кванторов. А остальное?

[мат-ламер]

А можно ли поставить вопрос, что тригонометрии не нужна и геометрия? Т.е. определить функции синуса и косинуса чисто аксиоматически, т.е. в виде непрерывных функций, удовлетворяющим некоторым функциональным уравнениям? Доказать их существование, единственность. Для эстетов где-нибудь в примечании мелким почерком сказать пару слов о геометрической интерпретации.

[Профессор Снэйп]

мат-ламер в сообщении #231403 писал(а):

А можно ли поставить вопрос, что тригонометрии не нужна и геометрия? Т.е. определить функции синуса и косинуса чисто аксиоматически, т.е. в виде непрерывных функций, удовлетворяющим некоторым функциональным уравнениям?

Можно. bot где-то цитировал определение синуса через интеграл, причём несобственный. Не помню где.

А какие функциональные уравнения Вы хотите использовать в определение синуса? Если $f''(x) = -f(x)$, то это как-то плохо, поскольку дифференцирование требуется. Как-нибудь без дифференциально-интегрального исчисления можно синус определить?

[мат-ламер]

Если взять три аксиомы - синус удвоенного угла, косинус удвоенного угла, и единица, как сумма квадратов синуса и косинуса. Добавить непрерывность. И показать, что этим условиям удовлетворяет только синус и косинус. Но в функциональных уравнениях я очень слаб.

[AD]

STilda в сообщении #231305 писал(а):

Цитата:

А Функция - это что такое? Это связь чего с чем?

А какая разница? Это некоторый объект удовлетворяющий некоторым соотношениям. Например sin(-x)=-sin(x).

А я вот отличаю математиков от нематематиков как раз по этому признаку - знанию ныне действующего определения понятия "функция". Ну то есть признак, конечно, так себе (хотя бы потому, что меня объявляет математиком), то есть на самом деле только необходимое условие.

[STilda]

мат-ламер в сообщении #231403 писал(а):

А можно ли поставить вопрос, что тригонометрии не нужна и геометрия? Т.е. определить функции синуса и косинуса чисто аксиоматически, т.е. в виде непрерывных функций, удовлетворяющим некоторым функциональным уравнениям?

Да, я ж приводил ссылку. На вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_функции[/url] есть пункт "Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений".

А переход к геометрической интерпретации пока что видел только с использованием производной, и ее геометрической интерпретации. Тоесть, как бы "нет производных - можно ввести синус без геометрии". Только изначально же был геометрический вроде.

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #231405 писал(а):

Как-нибудь без дифференциально-интегрального исчисления можно синус определить?

Через ряд Маклорена. Можно почитать, например, в Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. — Курс современного анализа. Основные операции анализа (том 1) (приложение).
Или вопрос относился к определению через функц. ур-ия?

[AVM]

STilda в сообщении #231199 писал(а):

систему алгебраических тождеств тригонометрических функций. Получается что такой системе числа и не нужны?

Не получается: всякая тригонометрическая функция является числовой.

STilda в сообщении #231305 писал(а):

На вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_функции[/url] есть пункт "Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений".

Да, т.е. числа "нужны"?

STilda в сообщении #231305 писал(а):

2. Числа используются для установления взаимосвязи между функциями.
Второй случай отличается тем, что не нужно вычислять значения функций.

Нужно.

STilda в сообщении #231305 писал(а):

Тоесть не нужно знать формулу для функции

Бред: формула - это любая несущая информацию запись, как вы можете определить функцию ее не определяя?!?

STilda в сообщении #231305 писал(а):

а так же не нужно знать числовое значение аргумента.

А какое нужно?

Профессор Снэйп в сообщении #231339 писал(а):

Предлагается заменить эту формулу на формулу

$$ \sin \big( (\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x) \cdot x \big) = \ldots $$

Ну и всё остальное в том же духе

Это ничего не меняет: функции изначально числовые.

AGu в сообщении #231351 писал(а):

ведь вместо, скажем, $2$ можно (а в исходном языке -- даже нужно) писать $S\bigl(S(0)\bigr)$ и т.п.

Извините, что за "исходный язык"?

мат-ламер в сообщении #231403 писал(а):

определить функции синуса и косинуса чисто аксиоматически

А именно так и есть.

[STilda]

AVM в сообщении #231507 писал(а):

Бред: формула - это любая несущая информацию запись, как вы можете определить функцию ее не определяя?!?

Речь идет про набор функций, которые взаимоопределяют друг друга. И эту систему взаимоотношений можно взять за исход, откинув при этом числа, стоящие за функциями. Ответ на вопрос - определяю функцию не как правило отражения числа в число а как она выражается через другие функции.
Таким образом функция превращается в элемент, например элемент группы/алгебры. Тригонометрия станет некоторой группой. Вот такая идея.
Тригонометрия взята в рассмотрение, так как кажется мне довольно локализованной.