Эфиристы

[epros]

Воспользуйтесь теоремой Гаусса для потока ускорения свободного падения через прилегающую к сфере поверхность. Можете убедиться, что в ОТО для статического решения она тоже работает. Единственный момент, который надо учесть: Масса сферы $M$, которую Вы получите по этой формуле, это результат интегрирования ТЭИ, а не тот параметр, через который выражается гравитационный радиус решения Шварцшильда. Но это как раз то, что нужно, поскольку именно эта масса уменьшается на величину массы поднятых камней. Таким образом, можете выразить $\Delta m$ через $\Delta g$. Далее остаётся только проинтегрировать затраченную на поднятие камней энергию по $g$.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #866389 писал(а):

Воспользуйтесь теоремой Гаусса для потока ускорения свободного падения через прилегающую к сфере поверхность. Можете убедиться, что в ОТО для статического решения она тоже работает. Единственный момент, который надо учесть: Масса сферы $M$, которую Вы получите по этой формуле, это результат интегрирования ТЭИ, а не тот параметр, через который выражается гравитационный радиус решения Шварцшильда. Но это как раз то, что нужно, поскольку именно эта масса уменьшается на величину массы поднятых камней. Таким образом, можете выразить $\Delta m$ через $\Delta g$. Далее остаётся только проинтегрировать затраченную на поднятие камней энергию по $g$.

У меня какой-то ступор, из этого описания я всё равно ещё не понимаю что же надо сделать. Если Вас не затруднит, пожалуйста напишите формулы.

[epros]

$M = \frac{g S}{4 \pi G}$
$S$ — площадь сферы, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса сферы. Если эта формула вызывает сомнения, то можно подробнее.
Отсюда: $\Delta m = -\frac{\Delta g S}{4 \pi G}$ ($\Delta m$ — масса поднятых камней).
Поскольку энергия, затраченная на поднятие камней:
$\Delta E = \Delta m g \Delta l$ ($\Delta l$ — высота поднятия камней),
получаем: $ \Delta E = -\frac{g \Delta g S \Delta l}{4 \pi G}$
Отсюда изменения плотности гравитационной энергии:
$ \Delta \rho = -\frac{g \Delta g}{4 \pi G}$
Проинтегрировав по $g$:
$ \rho = -\frac{g^2}{8 \pi G}$.

Все эти формулки хороши тем, что применимы как в ньютоновской механике, так и в ОТО. Я так понимаю, что вопросы на этом не закончились?

[Munin]

epros в сообщении #866440 писал(а):

Отсюда изменения плотности гравитационной энергии

Вот это место можно подробнее?

И перепишите ваши формулы более прозрачно. $\Delta$ у вас оператор или приставка к букве? В первом случае, расставьте скобочки, во втором - пробелы, пожалуйста (скобочки тоже можно).

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #866440 писал(а):

$M = \frac{g S}{4 \pi G}$
$S$ — площадь сферы, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса сферы. Если эта формула вызывает сомнения, то можно подробнее.

Точно $M$ масса сферы? Может планеты? Но если планеты, то формула не такая. Так что лучше по-подробнее. Остальные формулы какие-то э-э-э не строгие. Нельзя ли как-то более строже?


Пока что строго выведена только работа домкратов при очень медленном подъёме камней с высоты $r_1$ до $r_2$:

$$ A = - m c^2 \int\limits_{r_1}^{r_2} g_{\mu \nu} w^{\mu} dx^{\nu} = + \int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{k M m}{r^2} \frac{dr}{1 - \frac{2 k M}{c^2 r}} = \frac{m c^2}{2} \log \left( \frac{1 - \frac{2 k M}{c^2 r_2}}{1 - \frac{2 k M}{c^2 r_1}} \right) $$

$$A \approx \frac{k M m}{r_1} - \frac{k M m}{r_2}$$

здесь $w^{\mu}$ - четырёхускорение, $M$ - масса планеты, $m$ - масса камней.

[Nirowulf]

epros в сообщении #866440 писал(а):

Проинтегрировав по $g$:
$ \rho = -\frac{g^2}{8 \pi G}$.

А я вот тут просто мысленно ткнул пальцем в небо: закон Кулона и закон тяготения имеют один и тот же вид. Поэтому думалось мне, что плотность энергии гравитационного поля должна быть аналогична плотности энергии электрического поля $\frac{E^2}{8\pi}.$ Похоже, что правильно ткнул, приятно, однако=)

[epros]

Munin в сообщении #866478 писал(а):

epros в сообщении #866440 писал(а):

Отсюда изменения плотности гравитационной энергии

Вот это место можно подробнее?

Плотность энергии есть энергия, делённая на объём.

SergeyGubanov в сообщении #866492 писал(а):

epros в сообщении #866440 писал(а):

$M = \frac{g S}{4 \pi G}$
$S$ — площадь сферы, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса сферы. Если эта формула вызывает сомнения, то можно подробнее.

Точно $M$ масса сферы? Может планеты? Но если планеты, то формула не такая. Так что лучше по-подробнее. Остальные формулы какие-то э-э-э не строгие. Нельзя ли как-то более строже?

Формулы вполне строгие. Планета у нас в форме сферы: чтобы все камни можно было достать прямо с поверхности, а не тащить половину из них из ядра.

[warlock66613]

epros в сообщении #866613 писал(а):

Плотность энергии есть энергия, делённая на объём.

Простите, на объём чего? (В данном случае я имею в виду.)

[Munin]

epros в сообщении #866613 писал(а):

Плотность энергии есть энергия, делённая на объём.

Ну, допустим. А объём откуда взять?

[epros]

Munin в сообщении #866619 писал(а):

Ну, допустим. А объём откуда взять?

Площадь сферы, умножить на высоту поднятия слоя камней: С учётом того, что высота поднятия камней мала (сравнительно с радиусом сферы).

-- Чт май 22, 2014 22:13:33 --

warlock66613 в сообщении #866616 писал(а):

Простите, на объём чего? (В данном случае я имею в виду.)

Объём той области пространства, где находится то поле, чью энергию мы считаем.

[warlock66613]

epros в сообщении #866632 писал(а):

Объём той области пространства, где находится то поле, чью энергию мы считаем.

Я не могу понять на каком основании вы берёте объём некоего ничем не выделенного то ли слоя то ли шара в качестве такового.

[epros]

warlock66613 в сообщении #866639 писал(а):

Я не могу понять на каком основании вы берёте объём некоего ничем не выделенного то ли слоя то ли шара в качестве такового.

Тонкого сферического слоя над поверхностью планеты. Это единственное место, где поле изменяется (как результат поднимания камней). Остальные места нас пока не интересуют, ибо там ничего не меняется.

[warlock66613]

epros в сообщении #866652 писал(а):

Это единственное место, где поле изменяется

А, ну да.

[мат-ламер]

Nirowulf в сообщении #866575 писал(а):

А я вот тут просто мысленно ткнул пальцем в небо: закон Кулона и закон тяготения имеют один и тот же вид. Поэтому думалось мне, что плотность энергии гравитационного поля должна быть аналогична плотности энергии электрического поля $\frac{E^2}{8\pi}.$ Похоже, что правильно ткнул, приятно, однако=)

Повидимому в первом приближении энергия в ОТО (в обсуждаемом смысле) должна совпадать с энергией ньютоновского тяготения.

[Munin]

epros в сообщении #866632 писал(а):

Площадь сферы, умножить на высоту поднятия слоя камней

А почему именно этот?

epros в сообщении #866652 писал(а):

Это единственное место, где поле изменяется

Не аргумент. Вы рассчитали, сколько энергии уходит на бесконечность?