Многогранники в гильбертовом пространстве

[Mikhail_K]

Здравствуйте.

В настоящее время существует теория, описывающая все правильные многогранники в пространствах $\mathbb{R}^n$. В частности, в трёхмерном пространстве пять правильных многогранников, в четырёхмерном шесть, в пространствах высшей размерности их три, и это аналоги тетраэдра, куба и октаэдра.

Интересный вопрос. Известно ли что-нибудь такое для бесконечномерных пространств, например, для гильбертова пространства $l_2$? Можно ли там как-либо определить правильный многогранник, и сколько таких многогранников существует?

Вообще многогранник в $l_2$ (не обязательно правильный), наверное, можно определить как выпуклую оболочку бесконечной последовательности точек, не принадлежащую конечномерному линейному подмногообразию.

Например, возьмём выпуклую оболочку базисных точек $e_1=(1,0,0,0,\dots)$, $e_2=(0,1,0,0,\dots)$, $e_3=(0,0,1,0,\dots)$, $\dots$ . То есть, множество точек $x=(x_1,x_2,x_3,\dots)$ таких, что все координаты $x_1$, $x_2$, $x_3$, $\dots$ принадлежат $(0,1)$ и составленный из них бесконечный ряд $\sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i$ сходится и равен $1$. Нетрудно понять, что это множество точек действительно принадлежит $l_2$. Можно ожидать, что это будет что-то вроде "гильбертова симплекса", аналога тетраэдра.

Выпуклая оболочка $e_1$, $-e_1$, $e_2$, $-e_2$, $e_3$, $-e_3$, $\dots$ , по идее, должна дать аналог октаэдра.

Можно ли в гильбертовом пространстве построить что-то похожее на куб - неясно.

Существует ли какая-нибудь теория, развивающая эти мои фантазии?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".


После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #857097 писал(а):

Можно ожидать, что это будет что-то вроде "гильбертова симплекса", аналога тетраэдра.

Можно; только он ни разу не правильный.

[Mikhail_K]

Объясните?
Например, если соединить точки $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ в трёхмерном пространстве, получим ПРАВИЛЬНЫЙ треугольник. Если в четырёхмерном - получим правильный трёхмерный тетраэдр.
Если в гильбертовом - получим некоторое бесконечномерное тело, лежащее в гиперплоскости. Почему оно неправильное? И как бы Вы определили правильный многогранник в бесконечномерном пространстве?

-- 30.04.2014, 11:30 --

Т.е. я предлагал брать выпуклую оболочку именно ТОЧЕК $e_1$, $e_2$ и так далее. В частности, начало координат не будет принадлежать этому телу.

В случае аналога октаэдра - будет.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #857142 писал(а):

Если в гильбертовом - получим некоторое бесконечномерное тело, лежащее в гиперплоскости.

Вот именно что в гиперплоскости. Но не во всём пространстве.

[Munin]

Не правильный он потому, что точки $e_1,e_2$ и так далее - находятся на разном расстоянии от центра координат (и между собой). По крайней мере, в выбранном вами базисе.

[ewert]

Он же сказал, что он в подпространстве правильный. Это-то верно.

[Mikhail_K]

ewert в сообщении #857146 писал(а):

Вот именно что в гиперплоскости. Но не во всём пространстве.

Ну всё равно же это бесконечномерное тело, т.е. представляет интерес. Интересно, если это бесконечномерный правильный многогранник.

К тому же подозреваю, что в гиперплоскости, понимаемой как другое гильбертово пространство, можно выбрать ортонормированный базис, записать координаты вершин этого тела в данном базисе, затем взять в исходном гильбертовом пространстве точки с теми же координатами (но в стандартном базисе), и получим такое же тело, только во всём пространстве.

Впрочем, если не нравится "тетраэдр", что скажете про "октаэдр"? Он-то во всём пространстве.

Меня здесь больше всего интересуют сведения о том, развивалась ли кем-нибудь такая теория.

Цитата:

Не правильный он потому, что точки $e_1,e_2$ и так далее - находятся на разном расстоянии от центра координат (и между собой). По крайней мере, в выбранном вами базисе.

Извините?? Эти точки в норме $l_2$ отстоят на единицу от начала координат и на $\sqrt{2}$ друг от друга. Все рёбра равны $\sqrt{2}$. Любые три точки составляют треугольную грань, любые четыре - тетраэдральную, и т.д., как положено симплексу.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #857155 писал(а):

Извините?? Эти точки в норме $l_2$ отстоят на единицу от начала координат и на $\sqrt{2}$ друг от друга. Все рёбра равны $\sqrt{2}$.

Пардон, вы правы. Я перепутал.

[Mikhail_K]

Давайте думать.

Пусть у нас есть правильный бесконечномерный многогранник. Рассмотрим его $n$-мерные грани, взяв $n$ побольше. Все они одинаковы, это либо симплексы, либо гиперкубы, либо гипероктаэдры. Последнее быть не может, так как тогда не могут существовать $(n+1)$-мерные грани.

Второй вариант тоже быть не может. Если $n$-мерные грани - гиперкубы, то $(n+1)$-мерные грани - тоже гиперкубы, и $(n+2)$-мерные тоже, и т.д. Очевидно, у всех у них равные рёбра. Расстояние между противоположными вершинами $n$-мерной грани равно $\sqrt{n}$. Получаем, что многогранник содержит вершины, сколь угодно далеко удалённые друг от друга. Многогранник неограничен, можно не считать его многогранником.

Итак, единственный вариант - все грани нашего тела любой размерности есть правильные симплексы этой размерности.

Остаётся вопрос: сколько существенно различных бесконечномерных многогранников можно построить из симплексов?

По-видимому, построенные мною выше "тетраэдр" и "октаэдр", во-первых, правильные, во-вторых, различные. Как понимать различие? Как несовмещаемость унитарным преобразованием?
Могут ли существовать другие бесконечномерные правильные многогранники?

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #857167 писал(а):

Многогранник неограничен, можно не считать его многогранником.

А почему, собственно? :-)

[Mikhail_K]

Не знаю почему.
У меня нет определения бесконечномерного многогранника.
Если бы я составлял это определение, я бы включил туда ограниченность.

Ну, к примеру, паркет из шестиугольников на плоскости не является многогранником, хотя многие признаки правильного многогранника у него есть.
Составляя определения, надо их составлять как-то так, чтобы совсем патологические случаи исключались.

Но пока никто не дал ссылку на имеющуюся теорию этого всего, каждый в этой теме может предлагать свои определения и высказывать мысли вслух.

-- 30.04.2014, 13:12 --

Например, требование одинаковости $n$-мерных граней для каждого конечного $n$ понятно.
Надо ли включать в определение бесконечномерного многогранника требование одинаковости всех бесконечномерных граней? (то же самое предыдущее требование при $n=\infty$)?
Если так, то, боюсь, только симплекс и останется, даже октаэдра не будет.

[svv]

Координаты вершин правильного симплекса, один из вариантов.
Пусть $i$ — номер координаты (нумерация с единицы).
Пусть $k$ — номер вершины (нумерация с нуля).
Тогда
$x^i_k=\begin{cases}-\frac 1 {\sqrt{i(i+1)}}\;,&k<i\\\sqrt{\frac i{i+1}}\;,&k=i\\0\;,&k>i\end{cases}$
Формулы годятся и для конечномерных $n$-симплексов, тогда $i=1..n,\; k=0..n$.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #857175 писал(а):

Если бы я составлял это определение, я бы включил туда ограниченность.

Ну, ограниченность в конечномерных пространствах связана с ограниченностью по координатам. Значит, в бесконечномерных есть выбор, как определение расширить. Можно и так и так.

В математике обычно выбирают такой вариант, который интереснее, содержательнее, даёт больше возможностей для формулировки свойств и теорем. Если интересны оба варианта - оба и формулируют, называя их разными словами. Например, компактный и некомпактный многогранник (компактность надо проверить, разумеется).

Mikhail_K в сообщении #857175 писал(а):

Составляя определения, надо их составлять как-то так, чтобы совсем патологические случаи исключались.

Вот только в бесконечномерии многие "патологические" случаи - на самом деле не патологические, а вполне нормальные. Иногда даже более нормальные. Интуиция ломается.