Здравствуйте.
В настоящее время существует теория, описывающая все правильные многогранники в пространствах
![$\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/8/8a86f4a11e2fbfc03de61d587ba826de82.png)
. В частности, в трёхмерном пространстве пять правильных многогранников, в четырёхмерном шесть, в пространствах высшей размерности их три, и это аналоги тетраэдра, куба и октаэдра.
Интересный вопрос. Известно ли что-нибудь такое для бесконечномерных пространств, например, для гильбертова пространства
![$l_2$ $l_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/5/7252ad06a4944da2b6628a58281cb88782.png)
? Можно ли там как-либо определить правильный многогранник, и сколько таких многогранников существует?
Вообще многогранник в
![$l_2$ $l_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/5/7252ad06a4944da2b6628a58281cb88782.png)
(не обязательно правильный), наверное, можно определить как выпуклую оболочку бесконечной последовательности точек, не принадлежащую конечномерному линейному подмногообразию.
Например, возьмём выпуклую оболочку базисных точек
![$e_1=(1,0,0,0,\dots)$ $e_1=(1,0,0,0,\dots)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/4/4143670ddd13a59e12a5bfb3b3d8a76682.png)
,
![$e_2=(0,1,0,0,\dots)$ $e_2=(0,1,0,0,\dots)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/3/8e3abf5e20c40493eda3228f486bf47382.png)
,
![$e_3=(0,0,1,0,\dots)$ $e_3=(0,0,1,0,\dots)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/4/474e420ce9d3e33a868f762cb354320982.png)
,
![$\dots$ $\dots$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/a/76aacde399706233c450f7a48e28adb482.png)
. То есть, множество точек
![$x=(x_1,x_2,x_3,\dots)$ $x=(x_1,x_2,x_3,\dots)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/a/c8a2a247f3136d86bef40abfaa38650882.png)
таких, что все координаты
![$x_1$ $x_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277fbbae7d4bc65b6aa601ea481bebcc82.png)
,
![$x_2$ $x_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d239357c7dfa2e8d1fd21ff6ed5c7b82.png)
,
![$x_3$ $x_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/5/2c52641cc5fa73cbbdf887c89d82f0de82.png)
,
![$\dots$ $\dots$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/a/76aacde399706233c450f7a48e28adb482.png)
принадлежат
![$(0,1)$ $(0,1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/5/1e5ba49ae6981862f61b4d510dcf29af82.png)
и составленный из них бесконечный ряд
![$\sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i$ $\sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/4/cd44a1243af31b6fbd7668731674af4082.png)
сходится и равен
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
. Нетрудно понять, что это множество точек действительно принадлежит
![$l_2$ $l_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/5/7252ad06a4944da2b6628a58281cb88782.png)
. Можно ожидать, что это будет что-то вроде "гильбертова симплекса", аналога тетраэдра.
Выпуклая оболочка
![$e_1$ $e_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/d/add566ef276cab0dc7347620a837761282.png)
,
![$-e_1$ $-e_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/1/ed18551cdf31929fcf88ebf1c69ad5db82.png)
,
![$e_2$ $e_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/1/8d134381c046e045eaf1f19f4130696382.png)
,
![$-e_2$ $-e_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/e/fee17b54570f9fa1551c98057e110c3a82.png)
,
![$e_3$ $e_3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/2/0725d829d60b64225b0a6d7a5528228682.png)
,
![$-e_3$ $-e_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/9/e7946b38644ba77f054d132039ffdd6982.png)
,
![$\dots$ $\dots$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/a/76aacde399706233c450f7a48e28adb482.png)
, по идее, должна дать аналог октаэдра.
Можно ли в гильбертовом пространстве построить что-то похожее на куб - неясно.
Существует ли какая-нибудь теория, развивающая эти мои фантазии?