Здравствуйте.
В настоящее время существует теория, описывающая все правильные многогранники в пространствах

. В частности, в трёхмерном пространстве пять правильных многогранников, в четырёхмерном шесть, в пространствах высшей размерности их три, и это аналоги тетраэдра, куба и октаэдра.
Интересный вопрос. Известно ли что-нибудь такое для бесконечномерных пространств, например, для гильбертова пространства

? Можно ли там как-либо определить правильный многогранник, и сколько таких многогранников существует?
Вообще многогранник в

(не обязательно правильный), наверное, можно определить как выпуклую оболочку бесконечной последовательности точек, не принадлежащую конечномерному линейному подмногообразию.
Например, возьмём выпуклую оболочку базисных точек

,

,

,

. То есть, множество точек

таких, что все координаты

,

,

,

принадлежат

и составленный из них бесконечный ряд

сходится и равен

. Нетрудно понять, что это множество точек действительно принадлежит

. Можно ожидать, что это будет что-то вроде "гильбертова симплекса", аналога тетраэдра.
Выпуклая оболочка

,

,

,

,

,

,

, по идее, должна дать аналог октаэдра.
Можно ли в гильбертовом пространстве построить что-то похожее на куб - неясно.
Существует ли какая-нибудь теория, развивающая эти мои фантазии?