Вопрос про обобщённые функции!

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV, мне кажется, что это уже область физики. Спишемся лично и поговорим =)

[Котофеич]

Someone писал(а):

ψυ& писал(а):

Извините, а разве произведение двух обобщённых функций вообще имеет смысл? По Колмогорову "Функциональный анализ" (стр.207) такое произведение невозможно, если операция непрерывна. а для регулярных обобщённых функций совпадала бы с обычным умножением!

Вот, стоит только неаккуратно выразиться - и пожалуйста. Разумеется, я имел в виду именно это. А "вообще" произведение двух обобщённых функций при определённых условиях определить можно. Только не для всех пар, а для некоторых. Например, если одна из них регулярна, и в некоторых других случаях.
Посмотрите в "Математической энциклопедии" статью "Обобщённых функций произведение".

Произведение двух обобщённых функций можно также всегда определить, только
результат не будет элементом стандартного универсума ZFC-множеств.

[Someone]

Котофеич писал(а):

Произведение двух обобщённых функций можно также всегда определить, только результат не будет элементом стандартного универсума ZFC-множеств.

Флаг Вам в руки. Определяйте. Прямо здесь. А мы все посмотрим. Поскольку многим будет интересно.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

Произведение двух обобщённых функций можно также всегда определить, только результат не будет элементом стандартного универсума ZFC-множеств.

Флаг Вам в руки. Определяйте. Прямо здесь. А мы все посмотрим. Поскольку многим будет интересно.

Зачем здесь. Есть специальные книжки там все это написано.
С.Альбеверио с соавторами "Нестандартные методы в стохастическом
анализе и мат. физике". Если что то будет непонятно, пишите.

[Someone]

Котофеич писал(а):

Зачем здесь. Есть специальные книжки там все это написано.
С.Альбеверио с соавторами "Нестандартные методы в стохастическом
анализе и мат. физике". Если что то будет непонятно, пишите.

Речь идёт о так называемом "нестандартном анализе" (неархимедовом)?

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич писал(а):

Зачем здесь. Есть специальные книжки там все это написано.
С.Альбеверио с соавторами "Нестандартные методы в стохастическом
анализе и мат. физике". Если что то будет непонятно, пишите.

Речь идёт о так называемом "нестандартном анализе" (неархимедовом)?

Да в частности о нем. Произведение двух обобщенных функций можно всегда определить,
но в общем случае результат принадлежит т.н. нестандартному универсуму. Этот, на первый
взгляд тривиальный факт, является ключевым моментом в решении ряда очень трудных
проблем классического анализа. Если Вас это интересует я могу объяснить, что там есть
интересного. Однако это очень длинная тема.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Да в частности о нем. Произведение двух обобщенных функций можно всегда определить,
но в общем случае результат принадлежит т.н. нестандартному универсуму. Этот, на первый
взгляд тривиальный факт, является ключевым моментом в решении ряда очень трудных
проблем классического анализа. Если Вас это интересует я могу объяснить, что там есть
интересного. Однако это очень длинная тема.

Давно интересует. Объясните. Если можно определить коммутативное умножение
для любых 2-х обобщённых функций, то какая обобщённая функция по Вашему в произведении с $|\vec{x}|^{-1}$, где $\vec{x} \in \mathbb{R}^3$ Даёт 3-х мерную $\delta$-функцию? Т.е. является решением уравнения $V|\vec{x}|^{-1}=\delta(\vec{x})$

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

Да в частности о нем. Произведение двух обобщенных функций можно всегда определить,
но в общем случае результат принадлежит т.н. нестандартному универсуму. Этот, на первый
взгляд тривиальный факт, является ключевым моментом в решении ряда очень трудных
проблем классического анализа. Если Вас это интересует я могу объяснить, что там есть
интересного. Однако это очень длинная тема.

Давно интересует. Объясните. Если можно определить коммутативное умножение
для любых 2-х обобщённых функций, то какая обобщённая функция по Вашему в произведении с $|\vec{x}|^{-1}$, где $\vec{x} \in \mathbb{R}^3$ Даёт 3-х мерную $\delta$-функцию? Т.е. является решением уравнения $V|\vec{x}|^{-1}=\delta(\vec{x})$

Ну ответ здесь нельзя представить в терминах теории обобщенных
функций. Ответ записывается в терминах т.н. нестандартного расширения *R
поля R. Вам нужно прочитать в математической энциклопедии главу "нестандартный
анализ". Это не займет много времени. Тогда сможем продолжить.

[незваный гость]

В библиотеки есть по нестандартному анализу книги Дэвиса и Успенского. Хотя Успенский -- это скорее брошура для школьников, чем книга по математике.

[dm]

Есть еще Хренников А.Ю. — Неархимедов анализ и его приложения.

[Someone]

dm писал(а):

Есть еще Хренников А.Ю. — Неархимедов анализ и его приложения.

Но эта книга посвящена не тому, что называется "нестандартным анализом", а приложениям полей p-адических чисел и их расширений.

[dm]

Someone писал(а):

Но эта книга посвящена не тому, что называется "нестандартным анализом", а приложениям полей p-адических чисел и их расширений.

Да, Вы правы. (Еще у того же автора есть книга "Суперанализ", где одна из глав (6-я) посвящена неархимедовому суперанализу.)

[Котофеич]

незванный гость писал(а):

:evil:
В библиотеки есть по нестандартному анализу книги Дэвиса и Успенского. Хотя Успенский -- это скорее брошура для школьников, чем книга по математике.

Ну для того чтобы определить произведение обобщенных функций книги Успенского
вполне достаточно. А вообще основоположником современного нестандартного анализа является Леонард Эйлер. Все теоремы Эйлера, доказаны с применением методов нестандартного анализа. Эйлер вообще не признавал понятие предела и оперировал
только такими понятиями как бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Это доказывает, что Эйлер был действительно величайшим математиком всех времен,
и видел как минимум на 300 лет вперед. Ну на самом деле он видел гораздо дальше,
но пока строго доказано, только что на 300. После работ Коши, идеи Эйлера
были объявлены некорректными и даже наивными и надолго забыты. Долгое время
считалось, что Коши как бы поправил Эйлера. Однако в определенных математических кругах всегда была иная точка зрения. Все теоремы Эйлера были передоказаны методами
строгого анализа и оказались верными. Последняя из его теорем была передоказана
уже почти в наше время. Это наводит на мысль, что методы Эйлера, хотя и были не строгими
по современным представлениям, но в то же время его идеи носят фундаментальный характер. В то же время хорошо известно, что у Коши были ошибочные результаты, на что
Абель указал в свое время. Во второй половине прошлого столетия эти идеи Эйлера снова возродились и получили достаточно широкое распространение.

Отредактировал цитирование и убрал двойной пост. Кстати, вы и сами могли бы это сделать.
Dan_Te

[незваный гость]

Котофеич писал(а):

А вообще основоположником современного нестандартного анализа является Леонард Эйлер. Все теоремы Эйлера, доказаны с применением методов нестандартного анализа. [...]
Во второй половине прошлого столетия эти идеи Эйлера снова возродились и получили достаточно широкое распространение.

Как интересно по разному воспринимают люди одни и те же факты. Я, например, не склонен считать Архимеда автором интегрирования. Идеи Эйлера были формализованны в нестандартном анализе, но для меня он -- предтеча, а не автор.

Котофеич писал(а):

Последняя из его теорем была передоказана уже почти в наше время.

Мне любопытно, что Вы имеете в виду. Какая именно теорема? Неужели какая-то из теорем XVIII века (с сохранившимся доказательством Эйлера) не поддавалась формализации так долго?

~~~
Мне очень нравиться фраза -- "пока строго доказано, только что на 300"

[Котофеич]

незванный гость писал(а):

:evil:
В библиотеки есть по нестандартному анализу книги Дэвиса и Успенского. Хотя Успенский -- это скорее брошура для школьников, чем книга по математике.

Вот здесь в энциклопедии еще более кратко чем в книге Успенского.
Там даже на меня ссылки имеются. Но меня читать не нужно.
http://en.wikipedia.org/wiki/Nonstandard_analysis
Вот замечательная книжка. Это специалист с мировым именем.
http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html