Физика для «математиков»

[Nirowulf]

Munin писал(а):

например, матфизики жалуются, что математики их считают физиками, а физики математиками, и никто не считает "своим".

Матфизика, как морская свинка, которая ни к морю, ни к свиньям отношения не имеет Простите, не удержался, никому не в обиду из здешних матфизиков!

g______d писал(а):

В классическом понимании матфизики – это чистые математики, занимающиеся PDE и смежными вопросами, и математическое сообщество это полностью признает.

Всякие тру-чистые математики, да бурбакисты, вообще, PDE за приличную науку не считают. Типа никакого central core of mathematics, одна "второкультурщина".

[g______d]

Nirowulf в сообщении #842630 писал(а):

Всякие тру-чистые математики, да бурбакисты, вообще, PDE за приличную науку не считают.

Половина филдсовских лауреатов сейчас побежит сдавать медали обратно.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #842559 писал(а):

Безусловно, Д'Аламбер и Д'Артаньян.

Л'Опиталь? л'Опиталь? Лопиталь? l'Hôpital!

-- Сб мар 29, 2014 14:14:35 --

Munin в сообщении #842559 писал(а):

Заметьте, насколько эта конструкция проще мер!

Кстати, что это?

[Nirowulf]

g______d в сообщении #842641 писал(а):

Nirowulf в сообщении #842630 писал(а):

Всякие тру-чистые математики, да бурбакисты, вообще, PDE за приличную науку не считают.

Половина филдсовских лауреатов сейчас побежит сдавать медали обратно.

К счастью, взгляды бурбаки разделяют не 100% математического сообщества, иначе нам бы совсем туго жилось=)

(Оффтоп)

Что-то топикстартер куда-то пропал. А мне хотелось новых вестей с полей физики на мехмате/примате.

[Munin]

g______d в сообщении #842560 писал(а):

В классическом понимании матфизики – это чистые математики, занимающиеся PDE и смежными вопросами, и математическое сообщество это полностью признает.

Сейчас, правда, этот термин несколько расширился.

Я заметил, по крайней мере, на уровне учебников, некоторое разделение на "уравнения математической физики" и "методы математической физики".

УМФ - это, действительно, PDE, причём даже у́же, в основном скалярные линейные PDE второго порядка. Могут иметь место небольшие отступления в сторону по любой из координат. В такой формулировке, математикам там вообще уже делать нечего, основные результаты были получены в начале 20 века, и пожелания физиков (Update 2: в первом приближении) удовлетворены.

(Update: предмет УМФ ещё более узок, с учётом некоторых неуказанных мной выше ограничений. Слова "в такой формулировке" относятся не буквально к написанной формулировке, а к УМФ в том виде, в котором они в основном нужны физикам. Никакого желания обидеть математиков, которые могут найти предмет для исследования там, где пожелания физиков удовлетворены, у меня не было.)

(Update 2: Я был не в курсе о некоторых ярких и существенных достижениях второй половины и даже конца 20 века. Спасибо g______d за некоторое развеивание моего невежества.)

ММФ - это гораздо более широкое понятие. Я знаю полторы две хороших книжки на эту тему, Рид-Саймон и Рихтмайер (в какой-то степени ещё Морс-Фешбах). По их оглавлению можно судить о диапазоне предмета. Ещё "Энциклопедия матфизики" Фаддеева. Она замахивается уже на охват всей теорфизики вообще.

g______d в сообщении #842560 писал(а):

Мера – это функционал на пространстве непрерывных функций. Обобщенная функция – функционал на пространстве гладких. Теория меры проще, т. к. использует меньше структур, и топология в пространстве непрерывных функций значительно проще, чем в пространстве гладких; поэтому проще объяснить, что такое непрерывный функционал.

Вот в той самой эпичной теме, которую я не без удовольствия перечитал, я высказывался на тему, что "простота и понятность математическая" - это совсем не то же самое, что "простота и понятность физическая". Первая связана с тем, насколько сложно и долго предмет строго ввести, вторая - насколько сложно и долго дать образ для работы с ним. Где-то в районе post375443.html#p375443 и post377133.html#p377133 (кстати, далеко не только я, там и nestoklon и Alex-Yu участвовали в разговоре, и не возражали против моих формулировок).

В частности, думать о функциях, непрерывных, но всюду негладких, сложнее, чем о гладких.

-- 29.03.2014 21:53:02 --

Nemiroff в сообщении #842650 писал(а):

Кстати, что это?

Я как-то arseniiv объяснял на пальцах. Он мог прикопать ссылочку, у него не спросите?

[g______d]

Munin в сообщении #842807 писал(а):

УМФ - это, действительно, PDE, причём даже у́же, в основном скалярные линейные PDE второго порядка. Могут иметь место небольшие отступления в сторону по любой из координат. В такой формулировке, математикам там вообще уже делать нечего, основные результаты были получены в начале 20 века, и пожелания физиков удовлетворены.

Кому как. Ваши, может быть, и удовлетворены. С начала 20 века было как минимум 2 революции в линейных PDE, это пространства Соболева (читать Ладыженскую-Уральцеву или Гилбарга-Трудингера) и псевдодифференциальные операторы/микролокальный анализ (четырехтомник Хермандера). Университетский курс УМФ с большим трудом затрагивает первую, и то далеко не везде.

Munin в сообщении #842807 писал(а):

ММФ - это гораздо более широкое понятие. Я знаю полторы две хороших книжки на эту тему, Рид-Саймон и Рихтмайер (в какой-то степени ещё Морс-Фешбах). По их оглавлению можно судить о диапазоне предмета. Ещё "Энциклопедия матфизики" Фаддеева. Она замахивается уже на охват всей теорфизики вообще.

Рид-Саймон намного более узкая книжка, чем даже УМФ. Фактически она практически полностью посвящена изучению одного уравнения (Шрёдингера) методами одной теории (спектральной). Я, собственно, ее в основном и имел в виду как математический источник по квантовой механике. Да, в 80-е это было самой популярной областью матфизики, да и сейчас более чем. Рид-Саймон – книга по чистой математике, там теоремы доказываются.

Рихтмайер неплохая книжка, но более в духе энциклопедии, там больше цель дать точные формулировки.

Энциклопедию ЛД я особо не смотрел; на нее была разгромная рецензия Арнольда. Само по себе это не является аргументом против, но вносит некоторую спорность.

-- Сб, 29 мар 2014 12:25:48 --

Munin в сообщении #842807 писал(а):

Вот в той самой эпичной теме, которую я не без удовольствия перечитал, я высказывался на тему, что "простота и понятность математическая" - это совсем не то же самое, что "простота и понятность физическая". Первая связана с тем, насколько сложно и долго предмет строго ввести, вторая - насколько сложно и долго дать образ для работы с ним. Где-то в районе post375443.html#p375443 и post377133.html#p377133 (кстати, далеко не только я, там и nestoklon и Alex-Yu участвовали в разговоре, и не возражали против моих формулировок).

Если Вы дадите Ваше определение плотности, то скорее всего из него можно будет выкинуть все лишнее и получить определение меры. Как я уже сказал, одно из определений меры – это отображение, которое каждой непрерывной функции сопоставляет число и является непрерывным по функциональному аргументу. Все. Что может быть проще?

Munin в сообщении #842807 писал(а):

В частности, думать о функциях, непрерывных, но всюду негладких, сложнее, чем о гладких.

Функции, негладкие в отдельных точках, встречаются в физике только так. Всякие стыки наклонных плоскостей с землей мы видим с детства. Довольно неочевидным предположением является то, что все функции в физике бесконечно гладкие. Кроме того, для теории обобщенных функций существенно, что они должны быть бесконечно гладкими, но не обязательно аналитическими, а Вы, если я правильно помню, еще недавно их путали. Ну и вообще, бесконечно гладкую функцию с компактным носителем не каждый первокурсник умеет строить.

[Nirowulf]

g______d
В физике обычно функции "достаточно хорошие". Насколько хорошие? Настолько, насколько нужно Ну это так, шутка юмора, конечно

[g______d]

Nirowulf в сообщении #842844 писал(а):

Насколько хорошие? Настолько, насколько нужно

Спасибо, я в курсе :) Просто иногда можно потребовать лишнего, и множество окажется пустым.

[Munin]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #842843 писал(а):

Энциклопедию ЛД я особо не смотрел; на нее была разгромная рецензия Арнольда. Само по себе это не является аргументом против, но вносит некоторую спорность.

С учётом того, какой мушкетёр Арнольд, это ещё посмотреть :-) Ну я бы не сказал, что Арнольд матфизик, например. Фаддеев на этом фронте поизвестнее, наверное.

Сам я об этой энциклопедии знаю то, что некоторые статьи там вчистую скатаны из Физической Энциклопедии под. ред. Прохорова, то есть попросту дополнительной информации не несут. Но с учётом того, что любая энциклопедия огромный труд, сбрасывать её со счётов бы не стал.

g______d в сообщении #842843 писал(а):

Если Вы дадите Ваше определение плотности, то скорее всего из него можно будет выкинуть все лишнее и получить определение меры.

Скорее всего, это будет далеко не полноценное определение меры, как его определяют математики. Просто оно будет достаточно для физики.

Вспомните Фейнмана:

Цитата:

Математики любят придавать своим рассуждениям воз-
можно более общую форму. Если я скажу им: «Я хочу поговорить об обычном трехмерном пространстве», — они ответят: «Вот вам все теоремы о пространстве $n$ измерений». — «Но у меня только три измерения». — «Хорошо, подставьте $n=3$!» Оказывается, что многие сложные теоремы выглядят гораздо проще, если их применить к частному случаю. А физика интересуют только частные случаи; он никогда не интересуется общим случаем. Он говорит о чем-то конкретном; ему не безразлично, о чем говорить. Он хочет обсуждать закон тяготения в трехмерном пространстве; ему не нужны произвольные силы в пространстве $n$ измерений. Он стремится к сокращениям, потому что математики готовят свои выводы для более широкого круга проблем. И поступают предусмотрительно, ибо в конце концов бедный физик всегда вынужден возвращаться и говорить: «Простите, но в прошлый раз вы хотели мне что-то сказать о четырех измерениях».

(Вообще вся эта лекция сильно в тему, её можно целиком цитировать...)

g______d в сообщении #842843 писал(а):

Все. Что может быть проще?

"Проще по количеству слов" - может быть. Но не проще по тому, как понять, как с ней обращаться. Например, плотность, о которой я говорю, довольно проста для физика: если мы имеем непрерывную среду, то плотность - есть то-то, то-то и то-то (отнюдь не "шумная тусовка дельта-функций"). Если мы имеем материальную точку, то мы имеем другое (дельта-функцию, например). Если мы имеем тонкий слой или оболочку, то третье. Если имеем нить, то четвёртое. И ты ды.

Как, чёрт возьми, физику проверять "непрерывность по функциональному аргументу" экспериментально? :-D

g______d в сообщении #842843 писал(а):

Функции, негладкие в отдельных точках, встречаются в физике только так.

Да. После того, как физики привыкли к тому, что в математике так можно. До этого, до рубежа 18-19 веков, физики таких функций избегали. Как раз тогда, если вы помните, было сформулировано понятие аналитичности, дифференцируемости, и функции в современном виде. Впрочем, и после этого, очень часто в физике считалось и считается, что "любая ступенька - это просто слишком быстрое плавное изменение".

g______d в сообщении #842843 писал(а):

Всякие стыки наклонных плоскостей с землей мы видим с детства.

А ещё мы знаем, что если их рассмотреть под микроскопом - это не стыки. Впрочем, вот тут как раз начинаются отличия мышления физика от мышления математика. Математик видит стык, воспринимает его как стык, и дальше имеет дело со своим воображаемым стыком в голове. Физик видит стык, воспринимает его как стык, но никогда не забывает сверяться с тем, что он видит, что бы он дальше ни думал. Поэтому математик свободно масштабирует (в смысле $g(x)=a\,f(x/a)$) функцию $|x|$ с коэффициентом $\forall a\in\mathbb{R}^+,$ а физик готов сделать это, только посмотрев в микроскоп с соответствующим увеличением.

(Оффтоп)

g______d в сообщении #842843 писал(а):

а Вы, если я правильно помню, еще недавно их путали.

Я и буду продолжать их путать, потому что то, что мне рассказали в детстве, и показали в паре учебников, пока не было перевешено тем, что мне сказали несколько уважаемых джентльменов на форуме, и не показали ни в одном учебнике.

g______d в сообщении #842843 писал(а):

Ну и вообще, бесконечно гладкую функцию с компактным носителем не каждый первокурсник умеет строить.

Ему достаточно показать один раз, и он будет уметь. Делов-то. То же и с разнообразными "патологическими" примерами и контрпримерами, которыми математики так кичатся.

-- 30.03.2014 00:10:07 --

g______d в сообщении #842856 писал(а):

Просто иногда можно потребовать лишнего, и множество окажется пустым.

А вот это, кстати, занятный момент. Физику при этом наплевать, что множество окажется пустым. Он может продолжать вычислять ответы, как и раньше. Собственно, в КТП такое полвека происходит :-)

Ну просто всё идёт по кругу, как в той "эпической теме". Там это тоже произносилось. Может быть, чтобы мне не цитировать всё большими кусками, вы её попросту прочитаете? И Фейнмана, безусловно.

[g______d]

Munin в сообщении #842864 писал(а):

"Проще по количеству слов" - может быть. Но не проще по тому, как понять, как с ней обращаться. Например, плотность, о которой я говорю, довольно проста для физика: если мы имеем непрерывную среду, то плотность - есть то-то, то-то и то-то (отнюдь не "шумная тусовка дельта-функций"). Если мы имеем материальную точку, то мы имеем другое (дельта-функцию, например). Если мы имеем тонкий слой или оболочку, то третье. Если имеем нить, то четвёртое. И ты ды.

Ну так, все это частные случаи меры. Пока Вы не начинаете дифференцировать $\delta$-функцию, аппарат обобщенных функций является лишним.

Munin в сообщении #842864 писал(а):

Как, чёрт возьми, физику проверять "непрерывность по функциональному аргументу" экспериментально?

В теории обобщенных функций есть ровно та же проблема (но непрерывность сложнее устроена). Если Вы ее там собирались избежать, то здесь можно тем более.

[Munin]

g______d в сообщении #842871 писал(а):

Ну так, все это частные случаи меры.

Ну так физику плевать. Слишком общий случай слишком невозможно подставлять в конкретные расчёты.

g______d в сообщении #842871 писал(а):

Пока Вы не начинаете дифференцировать $\delta$-функцию, аппарат обобщенных функций является лишним.

А цимес коцепей в том, что даже и когда начинаю, остаётся лишним :-)

g______d в сообщении #842871 писал(а):

В теории обобщенных функций есть ровно та же проблема (но непрерывность сложнее устроена).

Спасиба, да? Жили мы без проблем, а потом пришли математики, заявили, что у нас проблема, да ещё и признались, что у них тоже такая же.

g______d в сообщении #842871 писал(а):

Если Вы ее там собирались избежать, то здесь можно тем более.

Я бы с радостью, да вот некоторые настаивают на таких формулировках, чтобы я её избежать не смог.

[g______d]

Munin в сообщении #842874 писал(а):

Ну так физику плевать. Слишком общий случай слишком невозможно подставлять в конкретные расчёты.

Так обобщенных функций больше, чем мер, а не меньше. Я стремился к минимальному классу, содержащему все "физические" плотности.

У меня просто есть впечатление, что физики про обобщенные функции знают, потому что про них пишут в учебниках по УМФ. А меры считают сложнее, потому что про них не пишут. На самом деле мера – "простейший" случай обобщенной функции.

Munin в сообщении #842874 писал(а):

А цимес коцепей в том, что даже и когда начинаю, остаётся лишним

Может быть, мы говорим о разных коцепях? В моем понимании это был объект на 2 уровня "выше", чем меры.

[Munin]

g______d в сообщении #842883 писал(а):

Так обобщенных функций больше, чем мер, а не меньше.

Так физикам все обобщённые функции и не нужны. Им достаточно счётных сумм дельта-функций, например.

g______d в сообщении #842883 писал(а):

Я стремился к минимальному классу, содержащему все "физические" плотности.

И всё равно отмахнули его с большим запасом.

g______d в сообщении #842883 писал(а):

У меня просто есть впечатление, что физики про обобщенные функции знают, потому что про них пишут в учебниках по УМФ.

Не-а. Физики про обобщённые функции знают, потому что в них пишут в учебниках по КМ. И пишут в них ровно вот что: "есть такая дельта-функция, так вот, когда вас спросят лампой в лицо, отвечайте, что это - обобщённая функция".

Утрирую, конечно, но слишком обобщённых функций физикам и не надо. Им нужны:
- дельта-функции, чтобы писать пропагаторы и функции Грина - просто чтобы решать УМФ;
- производные от разрывных функций, тоже чтобы решать УМФ, и чтобы математики отцепились, в каком это смысле они их решают :-)
Примерно всё. То есть, достаточно знания о дельте, и о её производной произвольного порядка. Иногда случайный физик забредёт в дифференцирование дробного порядка, вот и всё.

g______d в сообщении #842883 писал(а):

Может быть, мы говорим о разных коцепях? В моем понимании это был объект на 2 уровня "выше", чем меры.

Может, о разных. Я о тех, которые неважно в какой теории: де Рама, сингулярной или симплициальной, или какой-то ещё.

[g______d]

Munin в сообщении #842894 писал(а):

Так физикам все обобщённые функции и не нужны. Им достаточно счётных сумм дельта-функций, например.

Бывает еще функция, сосредоточенная на гиперповерхности.

[Nirowulf]

Основная прелесть нашей любимой КТП в том, что нужно определять произведение сингулярных обобщённых функций в одной точке. Так что некоторым физикам-теоретикам, надо хорошо разбираться и в обобщённых функциях и в функане.