2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение30.03.2014, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #842901 писал(а):
Бывает еще функция, сосредоточенная на гиперповерхности.

Я имел в виду одномерный случай. В многомерном - нужны все $k<n$-мерные варианты, но суть от этого не меняется. У нас в задаче бывает не более счётного количества гладких гиперповерхностей.

Nirowulf в сообщении #842906 писал(а):
Основная прелесть нашей любимой КТП в том, что нужно определять произведение сингулярных обобщённых функций в одной точке. Так что некоторым физикам-теоретикам, надо хорошо разбираться и в обобщённых функциях и в функане.

Чтобы понимать, почему незаконно то, что они делают? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение30.03.2014, 00:22 


30/05/13
253
СПб
Munin писал(а):
Чтобы понимать, почему незаконно то, что они делают? :-)

Чтобы прочувствовать, какие болевые ощущения испытывают математики, когда они пытаются окунуться в теорфизику :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение30.03.2014, 03:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #842914 писал(а):
Я имел в виду одномерный случай. В многомерном - нужны все $k<n$-мерные варианты, но суть от этого не меняется. У нас в задаче бывает не более счётного количества гладких гиперповерхностей.


Если Вы имеете в виду ответ на вопрос, что такое "конкретные обобщенные функции", то тут у меня никаких претензий нет. $\delta$-функция – совершенно понятно, что за функционал, а какая там у него область определения, – это уже детали. Но я думал, что Вы строите какую-то "общую теорию плотностей"; мое утверждение в том, что если от нее потребовать некоторый минимум свойств, то получится теория меры. Но ладно, это не так важно.

В целом по разделам матфизики, не связанным с КТП (т. е. одно- и многочастичная квантовая механика, мат. стат. физика и т. д.) все чаще появляются математически точные результаты. По-видимому, теор-физики начинают понимать, что выучить что такое самосопряженный оператор не так сложно, а возможностей открывается очень много; можно консультироваться с математиками, и последние не будет плеваться, и можно писать намного более хорошие программы, если есть точная математическая модель. Т. е. да, это некоторая жертва в пользу времени, потраченного на строгость, но часто она окупается. Так же было с теорией групп, когда физики ее выучили. Мне кажется, что это общая тенденция, начавшаяся в тот момент, когда математику вообще стали использовать для описания физики.

По поводу КТП да, сейчас есть некоторый затык, и относительно мало людей понимает, какие именно математические сложности там существенны; про перемножение обобщенных функций – одна из них (кажется, про то, как выбрать правильную регуляризацию). Не знаю, в чем причины. Наверное, нет критической массы мотивированных математиков. У меня есть некоторая надежда на некоммутативную геометрию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение30.03.2014, 05:43 


30/05/13
253
СПб
g______d в сообщении #842963 писал(а):
По поводу КТП да, сейчас есть некоторый затык, и относительно мало людей понимает, какие именно математические сложности там существенны; про перемножение обобщенных функций – одна из них (кажется, про то, как выбрать правильную регуляризацию).

Ещё одна существенная, думаю, вещь это математическое обоснование функционального интеграла.

g______d в сообщении #842963 писал(а):
Наверное, нет критической массы мотивированных математиков.

Не в обиду топикстартеру будет сказано, но на его примере ярко видно, как разбиваются попытки замотивировать математиков :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение30.03.2014, 14:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #842963 писал(а):
Но я думал, что Вы строите какую-то "общую теорию плотностей"

Ни в коем случае!!! Я строю какую-то "конкретную теорию встречающихся в физике плотностей"! Математические стремления обобщить предмет до его полной бессмысленности (и неприменимости, кстати) мне чужды.
(Так и тянет сказать: matematician-ские...)

g______d в сообщении #842963 писал(а):
В целом по разделам матфизики, не связанным с КТП (т. е. одно- и многочастичная квантовая механика, мат. стат. физика и т. д.) все чаще появляются математически точные результаты.

Дык и по связанным тоже. И не "всё чаще", а всегда это было, ещё с 18 века, если не с 17. Просто процесс небыстрый: сначала физики начинают пользоваться некоторым аппаратом в хвост и в гриву, а потом математики находят в нём математически точные результаты. Хорошо ещё, если физически полезные :-)

И разумеется, я не хочу сказать, что такое происходит всегда, но частенько.

g______d в сообщении #842963 писал(а):
По-видимому, теор-физики начинают понимать, что выучить что такое самосопряженный оператор не так сложно

Да это никогда сложно не было. Сложно другое: выучить всё то, что математики автоматически вспоминают при слове "самосопряжённый оператор".

А так-то чего там: матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, комплексно сопряжены. Преобразование пространства, не поворачивающее его.

g______d в сообщении #842963 писал(а):
можно писать намного более хорошие программы, если есть точная математическая модель.

Вот не надо. Программы как раз можно писать хорошие всегда. Наличие "точной математической модели" (что вы под этим подразумеваете), и не-плевание математиков, для этого не обязательны совершенно.

Как раз программы - это отдушина для физиков, в том смысле, что всё то, что физик может посчитать на бумажке (не показывая её математику, а для себя), он точно так же может посчитать и программой. "Точная математическая модель" ему не критична, а достаточно всего лишь умения считать - вот это умение он в программу и закладывает. А с "точными математическими моделями" программы как раз не дружат...

g______d в сообщении #842963 писал(а):
Не знаю, в чем причины. Наверное, нет критической массы мотивированных математиков.

Ну это смешно. Полвека нет.

Впрочем, на самом деле там есть и прогресс, и результаты. Хотя я в них не разбираюсь, а только слышал краем уха.

Nirowulf в сообщении #842973 писал(а):
Ещё одна существенная, думаю, вещь это математическое обоснование функционального интеграла.

А это в каком-то смысле та же самая вещь, вид сбоку. Если мы всё регуляризуем и дискретизуем, то и функциональный интеграл становится очевидным, "точным" (в смысле g______d) и рассчитывабельным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение30.03.2014, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #843088 писал(а):
Да это никогда сложно не было. Сложно другое: выучить всё то, что математики автоматически вспоминают при слове "самосопряжённый оператор".


Я имел в виду оператор в бесконечномерном пространстве, спектральную теорему и т. д.

Munin в сообщении #843088 писал(а):
Вот не надо. Программы как раз можно писать хорошие всегда. Наличие "точной математической модели" (что вы под этим подразумеваете), и не-плевание математиков, для этого не обязательны совершенно.

Как раз программы - это отдушина для физиков, в том смысле, что всё то, что физик может посчитать на бумажке (не показывая её математику, а для себя), он точно так же может посчитать и программой. "Точная математическая модель" ему не критична, а достаточно всего лишь умения считать - вот это умение он в программу и закладывает. А с "точными математическими моделями" программы как раз не дружат...


Я дам Вам ограниченную область в пространстве (заданной формы) и 100-частичный оператор Шредингера в ней. Как будете считать энергию основного состояния? Или, например, следующую энергию после основной?

Или дам неограниченную область и попрошу выяснить, с какого места начинается непрерывный спектр? По-моему, довольно наивно предполагать, что такое можно посчитать без математического понимания того, что это вообще такое.

Munin в сообщении #843088 писал(а):
Впрочем, на самом деле там есть и прогресс, и результаты. Хотя я в них не разбираюсь, а только слышал краем уха.


Ну есть, закончились в 80-е, с тех пор забросили. Почему не знаю. Субъективно – потому что аппарат теории операторов оказался для этого слишком "грубым", сложно одновременно иметь гильбертово пространство и обобщенные функции. Некая надежда есть сейчас на некоммутативную геометрию.

Munin в сообщении #843088 писал(а):
А это в каком-то смысле та же самая вещь, вид сбоку. Если мы всё регуляризуем и дискретизуем, то и функциональный интеграл становится очевидным, "точным" (в смысле g______d) и рассчитывабельным.


Ага, пишем сумму Римана и ответ зависит от того, считаем мы методом левых прямоугольников, правых или где-то посередине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение30.03.2014, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #843106 писал(а):
Я имел в виду оператор в бесконечномерном пространстве, спектральную теорему и т. д.

Вот и я про то же, что вы имели в виду нечто совершенно другое. Произнося те же слова.

g______d в сообщении #843106 писал(а):
Я дам Вам ограниченную область в пространстве (заданной формы) и 100-частичный оператор Шредингера в ней. Как будете считать энергию основного состояния? Или, например, следующую энергию после основной?

Приближённо, естественно :-)

Для 100 частиц можно уже даже статистику использовать.

g______d в сообщении #843106 писал(а):
По-моему, довольно наивно предполагать, что такое можно посчитать без математического понимания того, что это вообще такое.

Нет, вы знаете, физики просто в качестве упражнения такое считают и считают, пачками, причём именно что без математического понимания того, что это такое. Им вполне достаточно физического понимания, что это такое, плюс правил вычислений.

g______d в сообщении #843106 писал(а):
Ну есть, закончились в 80-е, с тех пор забросили. Почему не знаю.

Понятно. Я слышал об этом больше вашего. Как раз в 90-е произошли ключевые события. Перевод перенормировки на язык алгебр Хопфа. Ну и плюс результаты более ранние, вы, может быть, про них подразумеваете, но они как раз далеко не заброшены.

g______d в сообщении #843106 писал(а):
Ага, пишем сумму Римана и ответ зависит от того, считаем мы методом левых прямоугольников, правых или где-то посередине.

А плевать. См. ту самую "эпичную тему". Когда мы пишем интеграл, мы оглядываемся не на сумму Римана, а на его физический смысл. Там как раз про интеграл (элементарный, а не по траекториям) много было сказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение30.03.2014, 21:26 
Заслуженный участник


25/12/11
750
g______d в сообщении #842963 писал(а):
про перемножение обобщенных функций – одна из них (кажется, про то, как выбрать правильную регуляризацию).

Скорее наверное класса регуляризаций, потому что наоборот, вся мякотка в том, чтобы результат НЕ зависел от способа регуляризации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение30.03.2014, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #843134 писал(а):
Понятно. Я слышал об этом больше вашего. Как раз в 90-е произошли ключевые события. Перевод перенормировки на язык алгебр Хопфа. Ну и плюс результаты более ранние, вы, может быть, про них подразумеваете, но они как раз далеко не заброшены.


Про алгебры Хопфа я слышал здесь от Вас же. Мне казалось, что это "математизация" некоторой комбинаторной процедуры, которая и раньше была известна. Отношение этой процедуры к остальной части теории остается таким же непонятным; по-видимому, остальную часть тоже нужно на что-то заменить. Как раз остальная часть (аксиоматика Уайтмана) не поменялась с 80-х гг.

Хорошая книжка Folland, Quantum Field Theory: A Tourist Guide for Mathematicians.

Но я признаю, что Вы в этом должны лучше разбираться. Уговорили, сейчас прочитаю эпичную тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение31.03.2014, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #843314 писал(а):
Но я признаю, что Вы в этом должны лучше разбираться. Уговорили, сейчас прочитаю эпичную тему.

Вот про КТП там как раз речь не шла :-) Но "философские, мировоззренческие" позиции были изложены достаточно явно и не по одному разу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение31.03.2014, 19:10 
Аватара пользователя


29/01/09
397
EvilPhysicist в сообщении #841705 писал(а):
kote в сообщении #841688 писал(а):
Если вы считаете, что мое определение противоречит тому понятию плотности, которое используется в физике, приведите конкретный пример.

Плотность материальной точке. По определению она дельта функция. А вот она обобщенная функция и значит никакого отображения типа $A \to \mathbb R$ не производит. Еще, ваше определение ничего не говорит о том, что надо делать когда мы рассматриваем движение сплошной среды у которой меняется плотность.

SergeyGubanov в сообщении #842317 писал(а):
Мысль вслух... Чем сразу браться за трёхмерную плотность $\rho(x, y, z)$, для начала рассмотрите плотность $\rho(x)$ в одномерном пространстве. Может помочь.


Насколько я понимаю вопрос состоит в следующем. Пусть у нас имеется линейное расположение n материальных точек, между которыми имеется некоторое расстояние $\Delta x$. В этом случае плотность имеет вид
$\rho(x)=\sum\limits_{i=1}^n m_0\xi(i) \delta(x-i\Delta x)$ , i=1,2,...,n.

Какова в этом случае непрерывная плотность, которая применяется в классической механике?
Ответ, насколько я могу судить, следующий. Усреднённой непрерывной плотностью по определению назовём величину

$\rho(x)=m_0\xi(x)\frac{\psi(n)-\psi(0)}{\psi(n\Delta x)-\psi(0)}$, где
$\psi(m)=\int\xi(m)dm$, где $x\in R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение31.03.2014, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В. Войтик
У вас $\xi(\cdot)$ определена то на целых числах, то на действительных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение01.04.2014, 12:55 
Аватара пользователя


29/01/09
397
Ну да. А какие проблемы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение01.04.2014, 13:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
В. Войтик в сообщении #844073 писал(а):
Ну да. А какие проблемы?
Так а где она всё-таки определена? Если Вы задаёте функцию, её область определения Вы также должны определить однозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Физика для «математиков»
Сообщение01.04.2014, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В. Войтик в сообщении #844073 писал(а):
Ну да. А какие проблемы?

Неизвестен смысл второй из этих функций. Вами он никак не введён.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 165 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group