(Оффтоп)
Энциклопедию ЛД я особо не смотрел; на нее была разгромная рецензия Арнольда. Само по себе это не является аргументом против, но вносит некоторую спорность.
С учётом того, какой мушкетёр Арнольд, это ещё посмотреть :-) Ну я бы не сказал, что Арнольд матфизик, например. Фаддеев на этом фронте поизвестнее, наверное.
Сам я об этой энциклопедии знаю то, что некоторые статьи там вчистую скатаны из Физической Энциклопедии под. ред. Прохорова, то есть попросту дополнительной информации не несут. Но с учётом того, что любая энциклопедия огромный труд, сбрасывать её со счётов бы не стал.
Если Вы дадите Ваше определение плотности, то скорее всего из него можно будет выкинуть все лишнее и получить определение меры.
Скорее всего, это будет далеко не полноценное определение меры, как его определяют математики. Просто оно будет достаточно для физики.
Вспомните Фейнмана:
Цитата:
Математики любят придавать своим рассуждениям воз-
можно более общую форму. Если я скажу им: «Я хочу поговорить об обычном трехмерном пространстве», — они ответят: «Вот вам все теоремы о пространстве
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
измерений». — «Но у меня только три измерения». — «Хорошо, подставьте
![$n=3$ $n=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/6/aa6905d780872f0007f642420d7a2d9c82.png)
!» Оказывается, что многие сложные теоремы выглядят гораздо проще, если их применить к частному случаю. А физика интересуют только частные случаи; он никогда не интересуется общим случаем. Он говорит о чем-то конкретном; ему не безразлично, о чем говорить. Он хочет обсуждать закон тяготения в трехмерном пространстве; ему не нужны произвольные силы в пространстве
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
измерений. Он стремится к сокращениям, потому что математики готовят свои выводы для более широкого круга проблем. И поступают предусмотрительно, ибо в конце концов бедный физик всегда вынужден возвращаться и говорить: «Простите, но в прошлый раз вы хотели мне что-то сказать о четырех измерениях».
(Вообще вся эта лекция сильно в тему, её можно целиком цитировать...)
Все. Что может быть проще?
"Проще по количеству слов" - может быть. Но не проще по тому, как понять, как с ней обращаться. Например, плотность, о которой я говорю, довольно проста для физика: если мы имеем непрерывную среду, то плотность - есть то-то, то-то и то-то (отнюдь не "шумная тусовка дельта-функций"). Если мы имеем материальную точку, то мы имеем другое (дельта-функцию, например). Если мы имеем тонкий слой или оболочку, то третье. Если имеем нить, то четвёртое. И ты ды.
Как, чёрт возьми, физику проверять "непрерывность по функциональному аргументу"
экспериментально? :-D
Функции, негладкие в отдельных точках, встречаются в физике только так.
Да. После того, как физики привыкли к тому, что в математике так можно. До этого, до рубежа 18-19 веков, физики таких функций избегали. Как раз тогда, если вы помните, было сформулировано понятие аналитичности, дифференцируемости, и функции в современном виде. Впрочем, и после этого, очень часто в физике считалось и считается, что "любая ступенька - это просто слишком быстрое плавное изменение".
Всякие стыки наклонных плоскостей с землей мы видим с детства.
А ещё мы знаем, что если их рассмотреть под микроскопом - это не стыки. Впрочем, вот тут как раз начинаются отличия мышления физика от мышления математика. Математик видит стык, воспринимает его как стык, и дальше имеет дело со своим воображаемым стыком в голове. Физик видит стык, воспринимает его как стык, но никогда не забывает сверяться с тем, что он видит, что бы он дальше ни думал. Поэтому математик свободно масштабирует (в смысле
![$g(x)=a\,f(x/a)$ $g(x)=a\,f(x/a)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/8/d1802085bb3d1dac2f2a65dde4390afd82.png)
) функцию
![$|x|$ $|x|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/2/b82b509cf285024a5fac5c7a7b0c3e4882.png)
с коэффициентом
![$\forall a\in\mathbb{R}^+,$ $\forall a\in\mathbb{R}^+,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/61710c8e1082c33500cb67f131ad7f9282.png)
а физик готов сделать это, только посмотрев в микроскоп с соответствующим увеличением.
(Оффтоп)
а Вы, если я правильно помню, еще недавно их путали.
Я и буду продолжать их путать, потому что то, что мне рассказали в детстве, и показали в паре учебников, пока не было перевешено тем, что мне сказали несколько уважаемых джентльменов на форуме, и не показали ни в одном учебнике.
Ну и вообще, бесконечно гладкую функцию с компактным носителем не каждый первокурсник умеет строить.
Ему достаточно показать один раз, и он будет уметь. Делов-то. То же и с разнообразными "патологическими" примерами и контрпримерами, которыми математики так кичатся.
-- 30.03.2014 00:10:07 --Просто иногда можно потребовать лишнего, и множество окажется пустым.
А вот это, кстати, занятный момент. Физику при этом наплевать, что множество окажется пустым. Он может продолжать вычислять ответы, как и раньше. Собственно, в КТП такое полвека происходит :-)
Ну просто всё идёт по кругу, как в той "эпической теме". Там это тоже произносилось. Может быть, чтобы мне не цитировать всё большими кусками, вы её попросту прочитаете? И Фейнмана, безусловно.