Координатные условия и единственность решения уравнений ОТО

[Munin]

Someone в сообщении #821167 писал(а):

Наверняка карта покрывает не всё многообразие. Например, только области IV и I.

Половину IV.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #821247 писал(а):

Хмм... значит вообще нет такого момента времени когда белая дыра превращается в чёрную. Их всегда две.

Интересно определить, что будет "видно" гипотетическому наблюдателю при полной диаграмме с двух дыр.

Медитируя какое-то время над диаграмме, пришел к следующим выводам (все только качественно, без учета допплеровских эффектов и пр).

Рассматриваем траекторию наблюдателя, которая выходит из-под горизонта белой дыры (обл. IV), переходит через область "обычного пространства" (обл. I) и потом падает под горизонт ЧД (обл. II).

В этой мировой траектории, включены все существенные "особенности" возможных этапов наблюдения.

Пока наблюдатель под горизонтом белой дыры (обл. IV) - все что он будет видеть, куда ни глянь - это только белая дыра "изнутри" - все что видно, находится под горизонтом БД.
Независимо от направления луча зрения, "на бесконечности" упираемся в "белую сингулярность" во всех направлений (ситуация напоминает наблюдаемое расширение вселенной, с "наблюдением большого взрыва" во всех направлений).
После того как наблюдатель выйдет из-под горизонта БД - на небосводе "откроется" для наблюдения круговая область "обычного пространства" (обл. I) которая будет расширяться, по мере удаления наблюдателя из БД.
Внутри этой области, и будет "видна" будущая ЧД ("видна" в смысле конечно не сама ЧД, а например пробное в-во падающее в ней - "видна" используется в том смысле в котором астрономы "видят" ЧД - закрывает звезд, падающее в-во и т.д.).

По мере выхода наблюдателя в область "обычного пространства" (обл. I), постепенно "окошко обычного пространства" будет занимать все бОльшую и бОльшую часть небосвода (и соответно ЧД в нем); а область небосвода занимаемая БД будет уменьшаться.

Примерно когда наблюдатель "по середине пути" (находясь в области I) - в его области "обычного пространства" (обл. I) на фоне звезд обычного пространства I будут "видны" две дыры - одна БД (откуда он вышел) и ЧД (где он выбрал далее войти согласно рассматриваемой мировой траектории).

Когда наблюдатель начнет погружаться в ЧД доближаясь к ее горизонтом, ЧД будет занимать все бОльшую и бОльшую часть небосвода, а окошко "обычного пространства" обл. I (и соответно БД в нем) будет уменьшаться.

Когда наблюдатель войдет под горизонт ЧД, область обычного пространства I все еще будет видна на небосводе - но сама БД, в нем уже видна не будет (в момент пересечения горизонта ЧД, БД в видимой области обычного пространства сожмется в точку; и далее на небосводе начнет "раскрываться" новая область "сопряженного обычного п-ва" IV - где именно она начнет появляться визуально, сходу не могу сообразить - кажется в противоположном направлении от окна обычного п-ва I; т.е. будут две круговые области в противоположных точек на небосводе - одна где видно I но уже без БД в нем, и другая где видно IV).

Как-то так.

Из этого выходит, что все же "в бытовом" смысле (в связи с того, что "наблюдается") - более уместно говорить про двух дыр (а не про одной, которая "превращается"/"трансглюкирует").

[Munin]

manul91
Покажите (на диаграмме Пенроуза), о каких именно направлениях луча зрения вы говорите, для наблюдателя в три разные момента времени: внутри белой дыры, снаружи, и внутри чёрной дыры.

[manul91]

Munin в сообщении #821323 писал(а):

Покажите (на диаграмме Пенроуза), о каких именно направлениях луча зрения вы говорите, для наблюдателя в три разные момента времени: внутри белой дыры, снаружи, и внутри чёрной дыры.

Хотя рисовать ненавижу но сделал т.к интересно ; ) - но не знаю как добавить картинку к сообщении, вроде опция отсутствует (смотрел в FAQ, похоже какое-то специальные права нужны).

Я говорю про грань прошлого причинного конуса с вершине в соответном событии на мировой (они и есть направления наблюдаемого с помощи света, в данном событии на линии наблюдателя).

Где именно должна появляться визуально область IV, по прежнему не совсем понятно (вроде нужно соображать на все пространственные направления, не только на одно как на диаграмме или даже две); все что пока очевидно это только то, что на небосводе будет более менее "круговая" (осевая) симметрия, по мере продвижения по мировой траектории.

[Munin]

Добавить картинку к сообщению можно при помощи "хостингов картинок" (или "изображений").

[manul91]

Ок - диаграмма Пенроуза, красная линия мировая наблюдателя; желтые линии - изотропные конуса прошлого которые и определяют что "видит" (путем света) наблюдатель в данном событии
.


Так как диаграмма одномерна - то в чем "упираются" желтые изотропные прямые - с точки зрения локального наблюдателя - это две точки на небосводе, в двух противоположных направлений ("к" и "от" БД).

Я мысленно добавил еще одно измерение (осевая ротация данной картинки вокруг вертикальной оси симметрии).
При этом желтые линии - превращаются в поверхности прошлых конусов; а то в чем они "упираются" (на измерение меньше) - окружность наблюдаемого через световых лучей.
На "небосводе наблюдателя", это будет большая окружность через двух противоположных точек симметрии (описанной выше).

[Someone]

manul91 в сообщении #821346 писал(а):

Я мысленно добавил еще одно измерение (осевая ротация данной картинки вокруг вертикальной оси симметрии).

Нет, это неправильно. Области I и III должны быть связаны только через горизонты событий, а в результате такого вращения они оказываются сечениями одной и той же внешней области.
Правильно было бы умножить эту картинку на двумерную сферу. Но как это нарисовать?

[manul91]

Someone в сообщении #821348 писал(а):

Цитата:

Я мысленно добавил еще одно измерение (осевая ротация данной картинки вокруг вертикальной оси симметрии).

Нет, это неправильно. Области I и III должны быть связаны только через горизонты событий, а в результате такого вращения они оказываются сечениями одной и той же внешней области.

Согласен; на самом деле я неправильно выразился - и учитывал того то что вы говорите (такое "вращение", вроде имеет смысл только для областей I, II и III, но никак не и IV).
Именно из-за этого, у меня затруднения определить где на небе будет "появляться" область IV с точки зрения наблюдателя; иначе все было бы заведомо проще.

Someone в сообщении #821348 писал(а):

Правильно было бы умножить эту картинку на двумерную сферу. Но как это нарисовать?

...Любая точка на диаграмме в областей I и III - это двухмерная сфера заданным "радиусом" r в некий момент своего физического времени, и объемом не-пойми-какого.
В областей IV и II - r имеет времениподобный смысл (наподобию собственного времени "от выхода из сингулярности БД" и собственного времени "до падения в сингулярности ЧД"); а t обретает смысл пространственной радиальной координатой; двухмерная сфера на которую умножаем там по-прежнему полностью пространственноподобна.
Представить "полной 4d картинки" да и в псевдоримановом ПВ по любому неподъемно... Да и чтобы определить что будет "видеть" наблюдатель нужно потом найти ее сечение с прошлым световым конусом (чьи грани трехмерные) ; )

Поэтому я частично "на пальцах" отталкивался из соображений симметрии; плюс например того, что в области I небосвод который видит наблюдатель - должен быть как в обычном случае реальной ЧД на диаграмм пенроуза; с дополнением того что в неких направлений будет видна и БД (что однозначно следует из одномерной картинки для наблюдателя в области I - один из лучей взгляда упирается в прошлой сингулярности БД, а другой - на $I^-$ внизу справа).

Хотя теперь подумавши - сравнивая с диаграмм Пенроуза для "простой" физической ЧД (образовавшейся коллапсом в-ва) - смотря в направлении ЧД, фактически наблюдатель из аналогичной области I - будет видеть застывшее падающее вещество (для него, это и будет типа "поверхность" ЧД).
А в том же направлении ("к дыре") - на полной диаграмме мы видим белую сингулярность...

Так что может, дыра и "видимо одна" на самом деле - типа белая, "трансглюкировавшая" в черной (исчезает в области черной) - и тогда в итоге вы правы про "превращением".

Аналитическое решение конечно, даст недвусмысленный ответ... ; )

[schekn]

Someone в сообщении #820637 писал(а):

Я совершенно не могу понять, в чём состоит Ваша претензия. Я уже объяснял, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений. Чтобы выделить конкретное решение, необходимо, кроме дифференциального уравнения, наложить какие-то дополнительные условия. Никого не удивляет, что, наложив разные условия, получим разные решения, хотя при этом все переменные имеют одинаковые обозначения. Никого, кроме Вас. Всякие теоремы единственности для дифференциальных уравнений всегда предполагают, что речь идёт не только об одних и тех же дифференциальных уравнениях, но и об одних и тех же дополнительных условиях.

Мне кажется под "дополнительными условиями" мы все таки имеем в виду несколько разные вещи. Представьте себе , что мы в качестве "уравнений связи" взяли гармонические условия. Там 4 нековариантных уравнения с первыми производными. Полная система уравнений получается при этом отлична от того простого примера, который я привел.
После нахождения решения Вам все равно потребуется еще дополнительные условия и для нахождения постоянной интегрирования и для начальных условий.
Где уверенность, что при решении одинаковых задач мы получим одинаковые числа в ответе? Ну в может в первом приближении..
Если Вы говорите только о том, что в данной задаче необходимо определить постоянную интегрирования, то чтобы показать, что это не так - проще отказаться от жестких условий на компоненты $g_{\varphi\varphi}$ и $g_{\theta\theta}$ и оставить только условия синхронности. У Вас возникнет еще и неопределенная функция от $r$, которая войдет и в геодезические. Об этом Пенлеве писал давно и я не видел опровержений.

И еще , почему-то сложно понять, что на абстрактном многобразии $M^4$ могут возникнуть множество псевдоримановых пространств $V^4$, но их конкретный вид будет ясен только после того, как будут решены уравнения Г-Э вместе с "уравнениями связи", но не ранее.

[warlock66613]

schekn в сообщении #822232 писал(а):

Представьте себе , что мы в качестве "уравнений связи" взяли гармонические условия. Там 4 нековариантных уравнения с первыми производными.

Понимаете, дело в том, что любая метрика удовлетворяет этим условиям. Поэтому эти условия не могут привести к появления новых решений и исключению имеющихся. Вы можете сами это проверить - придумайте метрику, запишите её в произвольных координатах, а потом найдите такие координаты, чтобы гармонические условия выполнялись. Какую бы метрику вы не придумали, вы всегда найдёте такие координаты.

[schekn]

warlock66613 в сообщении #822248 писал(а):

Какую бы метрику вы не придумали, вы всегда найдёте такие координаты.

А есть такая теорема?

[warlock66613]

schekn в сообщении #822417 писал(а):

А есть такая теорема?

Да, есть, и весьма несложно доказывается. Обратите внимание, что преобразование координат - это четыре скалярных функции, и ровно столько имеется уравнений связи.

[schekn]

warlock66613 в сообщении #822505 писал(а):

что преобразование координат - это четыре скалярных функции, и ровно столько имеется уравнений связи.

Вообще-то говоря это ничего еще не значит. Гармонические условия , которые изначально добавляются к имеющимся уравнениям Г-Э, находясь на абстрактном многообразии $M^4$, чтобы решить систему однозначно и гармонические координаты, которые мы ищем, когда уже имеем готовое решение в виде $(x,g(x))$ это несколько разные вещи. Вы говорите о гармонических по отношению к уже готовому решению, и в уравнениях, которые Вы имеете в виду , входят в явном виде $g_{\mu\nu}$ и их производные. ( я подозреваю, что переход к новому решению происходит по другим законам, нежели , чем при обычных координатных преобразований. Под "обычными" я имею в виду, ну например , от $x,y,z$ к $r,\theta,\varphi$, по формулам, как от декартовых к сферическим в евклидовом пространстве. Здесь, как Вы видите никаких метрических компонент нет. При этом сами метрические компоненты преобразуются по тензорному закону. А гармонические координаты ищутся , исходя из уравнений , где они присутствуют).

Попробую пояснить, на каком этапе могут возникнуть новые решения , или какие-то потеряются . Используя гармонические условия, Фок-Ланцош получили уравнения Гильберта-Эйнштейна в симпатичном виде, напоминающие волновые уравнения, где остались только вторые производные. Но где уверенность, что данная система эквивалентна первоначальным уравнениям? Это вопрос к теоретикам, но я встречал разные мнения.

Обычно утверждают, что найдя какое-то решение в неких координатах $(x,g(x))$ мы имеем модель гравитационного поля. Наверное так и есть. Перейдя к новым координатам $(x',g'(x'))$ и проводя численное решение задач при одинаковых начальных условиях , мы должны получить одинаковые результаты. Но даже здесь Хоукинг делает замечание, что , конечно переход от $x$ к $x'$ с помощью $x=f(x')$ должен быть везде дифференцируемый, но и должно быть взаимооднозначное соответствие всех точек многообразия в первом и втором случае. Есть ли уверенность, что выбирая разные "уравнения связи" мы не получим например два решения $g$ и $g'$ в одних координатах или что область определения $x$ и $x'$ не будут совпадать , или в некоторых областях функции перехода будут недифференцируемы? Поскольку в 4-х уравнениях связи наблюдается значительный произвол, сказать заранее, что мы получим систему с тем же множеством решений, нельзя.

[warlock66613]

schekn в сообщении #822567 писал(а):

Есть ли уверенность, что выбирая разные "уравнения связи" мы не получим например два решения $g$ и $g'$ в одних координатах

Не может такого быть. Уравнения Эйнштейна - тензорные, и их решение - метрика - тоже тензор. Они никак не фиксируют конкретные координаты. Обратно, нековариантные условия, фиксирующие калибровку, выбираются так, чтобы они убрали произвол координат, но не ограничили собственно тензора. Не может одно повлиять на другое.

schekn в сообщении #822567 писал(а):

область определения $x$ и $x'$ не будут совпадать

Такое может быть. Получатся разные карты на одном многообразии.

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #822567 писал(а):

и должно быть взаимооднозначное соответствие всех точек многообразия в первом и втором случае

Хорошее требование. Например, преобразование радиуса $r \to \sqrt{a^2 + r^2}$ выбрасывает из вещественного пространства шар радиусом $a$. Старое $r$ может быть равно нулю только когда новое $r$ будет чисто мнимым $r = i a$. Поэтому если новое $r$ считать вещественным, то шар радиуса $a$ из старого пространства будет вырезан.