об уравнении Навье-Стокса

[provincialka]

Ну, в последней цитате так и сказано, что человек шутит.

[g______d]

shwedka в сообщении #818942 писал(а):

1. http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/maths/people/staff/james_robinson/lf/otelbaev
Обсуждение конкретного сомнительного места в рассуждении.

Авторы пришли к выводу, что в этом месте всё в порядке.

[IAA]

sup писал(а):

Голая теорема существования. Если быть более точным, то "доказана" оценка для гладких решений абстрактного уравнения через правую часть и "слабую" норму. Отсюда можно вывести теорему о существовании глобального гладкого решения. Ну еще можно доказать непрерывную зависимость от входных данных.

А вот это вряд ли. Я имею в виду доказательство непрерывной зависимости от начальных данных для всех существующих решений.
В принципе, в гидродинамике эта проблема ключевая, ибо и определяет такое явление, как турбулентность.
К сожалению, этот вопрос не рассматривается Отелбаевым.

То, что решение уравнений НС существует при физически разумных начальных и граничных условиях - не проблема.
Проблема в том останется ли любое существующее решение "почти" таким же, если изменить начальное (или граничное) условие на бесконечно малую величину? Другими словами, имеет ли место непрерывная зависимость любого решения от начальных данных.

Ответ на этот вопрос отрицателен: не все решения ур. НС непрерывно зависят от начальных (или граничных) условий.
Это обнаружил еще в прошлом веке метеоролог Эдвард Лоренц, который исследовал вопрос о прогнозе погоды. Он-то и показал, что долгосрочный прогноз погоды невозможен в принципе в силу отсутствия упомянутой выше непрерывной зависимости: любое, сколь угодно малое изменение в начальных данных с течением времени может привести к совершенно другому решению.

Вот выяснение обобщенного критерия, когда имеет место такая непрерывная зависимость, а когда нет - вот это было было бы, действительно, очень интересно и заслуживало бы премии.

Простой пример. Одно решение ур НС с нулевой вязкостью (ур. Эйлера) в кубе 2\pi x 2\pi x 2\pi с периодическими граничными условиями имеет вид:

u_x=\sin(x)\cos(y)
u_y=-\cos(x)\sin(y)
u_z=0
p=(\cos(2x) + \cos(2y))/4

Это стационарное решение, представляет собой 4 вихря. По теореме Отелбаева получается, что это единственное решение.
На самом деле это не совсем так. Дело в том, что это решение, хотя и формально удовлетворяет дифференциальным уравнениям, является неустойчивым. То есть, если его выбрать в качестве начальных данных (плюс сколь угодно малое возмущение), то с течением времени оно превратиться в совершенно другое, уже нестационарное решение.

Численное исследование показывает, что с течением времени 4 вихря деформируются, сливаются в один вихрь, который затем разваливается на множество нестационарных мелких вихрей - течение становится турбулентным.В численном решении всегда есть погрешности округления, которые и играют роль малых начальных возмущений.

Для гидродинамика это вполне закономерный результат, так как невязкое течение всегда можно рассматривать как вязкое с бесконечно большим числом Рейнольдса. А это значит, что течение неизбежно должно стать турбулентным.

Для иллюстрации ниже привожу ссылку на небольшую анимацию поля скорости, полученного мной в численных расчетах для этой задачки, где очень хорошо виден этот процесс.

http://www.youtube.com/watch?v=iz2JqoifHTU

Сетка 64х64х1, численная схема 2-го порядка точности по пространству (Piacsek, S.A., Williams, G.P., Conservation properties of convection difference schemes. // J. Comp. Phys., (6) 1970 , pp.392-405.), которая точно сохраняет кинетическую энергию.
Интегратор по времени 4-го порядка точности Адамса-Башфорта. Шаг по времени 0.0025. Полное время интегрирования 275.

[Руст]

IAA в сообщении #819353 писал(а):

Ответ на этот вопрос отрицателен: не все решения ур. НС непрерывно зависят от начальных (или граничных) условий.
Это обнаружил еще в прошлом веке метеоролог Эдвард Лоренц, который исследовал вопрос о прогнозе погоды. Он-то и показал, что долгосрочный прогноз погоды невозможен в принципе в силу отсутствия упомянутой выше непрерывной зависимости: любое, сколь угодно малое изменение в начальных данных с течением времени может привести к совершенно другому решению.

Исходя из уравнений этого нельзя сказать. Может эти уравнения неправильно описывают прогноз погоды.

Цитата:

Вот выяснение обобщенного критерия, когда имеет место такая непрерывная зависимость, а когда нет - вот это было было бы, действительно, очень интересно и заслуживало бы премии.

Простой пример. Одно решение ур НС с нулевой вязкостью (ур. Эйлера) в кубе 2\pi x 2\pi x 2\pi с периодическими граничными условиями имеет вид:

u_x=\sin(x)\cos(y)
u_y=-\cos(x)\sin(y)
u_z=0
p=(\cos(2x) + \cos(2y))/4

Это стационарное решение, представляет собой 4 вихря. По теореме Отелбаева получается, что это единственное решение.
На самом деле это не совсем так. Дело в том, что это решение, хотя и формально удовлетворяет дифференциальным уравнениям, является неустойчивым. То есть, если его выбрать в качестве начальных данных (плюс сколь угодно малое возмущение), то с течением времени оно превратиться в совершенно другое, уже нестационарное решение.

То же замечание. Мало того, я показал, что уравнения НС становятся плохими для описания вихревых движений.

Цитата:

Численное исследование показывает, что с течением времени 4 вихря деформируются, сливаются в один вихрь, который затем разваливается на множество нестационарных мелких вихрей - течение становится турбулентным.В численном решении всегда есть погрешности округления, которые и играют роль малых начальных возмущений.

Для гидродинамика это вполне закономерный результат, так как невязкое течение всегда можно рассматривать как вязкое с бесконечно большим числом Рейнольдса. А это значит, что течение неизбежно должно стать турбулентным.

На самом деле турбулентность возникает уже раньше, чем дается теорией НС. Соответственно решение не куда не годится.

Я вообще считаю, что уравнения НС не заслуживают такого глубокого изучения.

[shwedka]

IAA

IAA в сообщении #819353 писал(а):

То, что решение уравнений НС существует при физически разумных начальных и граничных условиях - не проблема.

Это уж Вы лихо. Когда докажете, будет не проблема. А пока-проблема.

IAA в сообщении #819353 писал(а):

Проблема в том останется ли любое существующее решение "почти" таким же, если изменить начальное (или граничное) условие на бесконечно малую величину?

Если Вас спросить, что такое 'бесконечно малая величина', то содержательного ответа не дождусь.

IAA в сообщении #819353 писал(а):

Я имею в виду доказательство непрерывной зависимости от начальных данных для всех существующих решений.
В принципе, в гидродинамике эта проблема ключевая, ибо и определяет такое явление, как турбулентность.

Это-неверное утверждение. Проблема турбулентности не идентична проблеме непрерывной зависимости. Вполне мыслимо отстствие непрерывной зависимости для ламинарных течений.

IAA в сообщении #819353 писал(а):

. То есть, если его выбрать в качестве начальных данных (плюс сколь угодно малое возмущение), то с течением времени оно превратиться в совершенно другое, уже нестационарное решение.

Заявление о том, что происходит при сколь угoдно малом возмущении, безосновательно. Вы посчитали поток при каком-то возмущении, но не знаете, что произойдет при возмущении в миллион раз меньше. А мне 'угодно' иметь такую малость.

IAA в сообщении #819353 писал(а):

А это значит, что течение неизбежно должно стать турбулентным.

Доказательство этого утверждения отсутствует.

Руст А, Вы снова здесь!!

(Оффтоп)

Как там обстоит с Вашими заявлениями по поводу русских текстов Перельмана? Хотите заболтать?

Руст в сообщении #819407 писал(а):

Мало того, я показал, что уравнения НС становятся плохими для описания вихревых движений.

Ссылку, пожалуйста!


Сообщение от Монтгомери-Смита

Цитата:

I have to admit that I have stopped reading the paper. Partly because of the counterexample, but also because our school semester has just started. I think Otelbaev is very precise in his writing, In my opinion, his paper has many less errors than other papers I have read. But without comprehending the big idea, it is very hard going. The Navier-Stokes equation has been worked on so hard by so many people, and I think there has to be some breakthrough insight before it will be solved. And a paper that claims to solve the problem should probably say up front what the new insight is. – Stephen Montgomery-Smith

[AnvarbekM]

Я математик с большим стажем и восхищен контрпримером sup. Мои поздравления.
Здесь все анонимно?

[rtfai]

IAA в сообщении #819353 писал(а):

Я имею в виду доказательство непрерывной зависимости от начальных данных для всех существующих решений.
В принципе, в гидродинамике эта проблема ключевая, ибо и определяет такое явление, как турбулентность.

Это-неверное утверждение. Проблема турбулентности не идентична проблеме непрерывной зависимости. Вполне мыслимо отстствие непрерывной зависимости для ламинарных течений.

IAA в сообщении #819353 писал(а):

. То есть, если его выбрать в качестве начальных данных (плюс сколь угодно малое возмущение), то с течением времени оно превратиться в совершенно другое, уже нестационарное решение.

Заявление о том, что происходит при сколь угoдно малом возмущении, безосновательно. Вы посчитали поток при каком-то возмущении, но не знаете, что произойдет при возмущении в миллион раз меньше. А мне 'угодно' иметь такую малость.

IAA в сообщении #819353 писал(а):

А это значит, что течение неизбежно должно стать турбулентным.

В конце 80-х японцы выглаживанием стенок и выравниванием потока на входе "затянули" появление турбулентности в трубе до чисел выше 10000 Re. Так что 2300 это не закон природы, и имеется непрерывная зависимость не только в in vitro

[vicvolf]

rtfai в сообщении #819530 писал(а):

В конце 80-х японцы выглаживанием стенок и выравниванием потока на входе "затянули" появление турбулентности в трубе до чисел выше 10000 Re. Так что 2300 это не закон природы, и имеется непрерывная зависимость не только в in vitro

В любом случае математическая модель процесса, в том числе уравнение Навье-Стокса, является достаточно абстрактной и описывает реальный процесс с определенной степенью точности. Поэтому нельзя подменять анализ реального процесса, что делается в последних сообщениях темы, анализом абстрактной модели.
О. делает попытку доказательства только существования гладких решений абстрактной модели, что соответствует проблеме тысячилетия. Доказательство непрерывной зависимости этих решений от начальных и граничных условий в проблему тысячилетия не входит. Хорошо это или плохо - другой вопрос.
Однако, даже если будет доказана непрерывная зависимость гладких решений уравнения Навье-Стокса от начальных и граничных условий, т.е. для абстрактной модели, то это будет справедливо для реального процесса только с некоторой точностью.

[sup]

AnvarbekM в сообщении #819517 писал(а):

Я математик с большим стажем и восхищен контрпримером sup. Мои поздравления.

Спасибо, весьма польщен. Ваш ник напомнил мне одну историю. Давным давно, Мейрманов Анварбек Мукатович изрядно помучил меня с зачетом по МСС (на то, разумеется, были причины). Наверное урок не прошел даром

[IAA]

shwedka писал(а):

Это уж Вы лихо. Когда докажете, будет не проблема. А пока-проблема.

Уважаемая shwedka!
Существование решения для любых задач математической физики (будь то НС или уравнения Максвелла и т.д.) следует из очень простых соображений. Поскольку доказана сходимость (то есть устойчивость и аппроксимация) разностных аналогов этих уравнений (см. любые учебники по теории разностных схем), то их численное решение всегда существует. А так как численное решение сходится к решению исходного дифференциального уравнения, то значит и решение дифференциального уравнения существует тоже.

Уравнения матфизики описывают существующие процессы в нашем мире, а значит существуют и их решения.

shwedka писал(а):

Если Вас спросить, что такое 'бесконечно малая величина', то содержательного ответа не дождусь.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0% ... 0%B0%D1%8F

shwedka писал(а):

Это-неверное утверждение. Проблема турбулентности не идентична проблеме непрерывной зависимости. Вполне мыслимо отстствие непрерывной зависимости для ламинарных течений.

Я и не утверждал, что идентично.
Мыслить же можно все, что угодно. Но если вы приведете пример ламинарного течения, где нет непрерывной зависимости решения от начальных (или граничных) условий, я вам буду очень признателен.

shwedka писал(а):

Заявление о том, что происходит при сколь угoдно малом возмущении, безосновательно. Вы посчитали поток при каком-то возмущении, но не знаете, что произойдет при возмущении в миллион раз меньше. А мне 'угодно' иметь такую малость.

Я согласен, что в приведенный мной пример не является доказательством. Он лишь иллюстрация к уже давно известному понятию гидродинамической неустойчивости.
Это понятие и предполагает, что при сколь угодном вам лично малом возмущении начальных/граничных данных (или внешней силы), решение меняется радикально.
Я тут ничего нового не придумываю.

В это дело большой вклад внес Колмогоров А.Н. (вот уж кто точно заслуживал бы премии).
В конце 50-х годов он придумал задачку, которая имела такую неустойчивость.
Его статья была опубликована только в 2004 (Колмогоров А.Н. Математические модели турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости// УМН, 2004, т.59, вып 1. (355) - эту работу можно скачать с
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus
)
В параграфе 3 Колмогоров приводит модель, которая описывает 2D течение несжимаемой вязкой жидкости, возникающее под действием периодического (по одной из координат) поля внешней силы.
Он приводит также и простейшее ламинарное решение этой задачки. В работе также он показывает, что при достаточно малой вязкости (или при достаточно большом числе Рейнольдса) решение становится неединственным - появляются новые решения, которые он называет турбулентными. Позднее ученики (Мешалкин и Синай) это строго доказали и вывели критическое число Рейнольдса для этого течения \operatorname{Re}_{cr} = \sqrt{2}.

По Отелбаеву же получается, что ламинарное решение при всех числах Рейнольдса - единственное. У него получился такой результат (по всей вероятности), что он никак не рассматривает устойчивость решений.

Сейчас в литературе есть масса работ по этому течению Колмогорова, начиная с Обухова и Должанского и кончая зарубежными авторами, где и экспериментально и теоретически подтверждается, что Андрей Николаевич был прав.

[Someone]

IAA в сообщении #819595 писал(а):

Уравнения матфизики описывают существующие процессы в нашем мире, а значит существуют и их решения.

Это ходячее заблуждение, основанное на незаконном отождествлении явления и его модели.

Добавление. Исправил цитирование.

[IAA]

Someone в сообщении #819596 писал(а):

sup в сообщении #819594 писал(а):

Уравнения матфизики описывают существующие процессы в нашем мире, а значит существуют и их решения.

Это ходячее заблуждение, основанное на незаконном отождествлении явления и его модели.

Это не теорема , а просто аргумент. Если же модель не отождествляется с явлением (в рамках принятых допущений), то её просто надо выбросить на помойку.

[Sender]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #819596 писал(а):

sup в сообщении #819594 писал(а):

Уравнения матфизики описывают существующие процессы в нашем мире, а значит существуют и их решения.

Это ходячее заблуждение, основанное на незаконном отождествлении явления и его модели.

Кажется, имеет место поклёп на участника sup .

[VoloCh]

IAA писал(а):

... понятию гидродинамической неустойчивости.
Это понятие и предполагает, что при сколь угодном вам лично малом возмущении начальных/граничных данных (или внешней силы), решение меняется радикально.

Нет, как раз "угодным" конкретным гидродинамикам.

IAA писал(а):

Если же модель не отождествляется с явлением (в рамках принятых допущений), то её просто надо выбросить на помойку.

Ну вот как раз проблема УНС - это в некотором смысле проблема того, нужно ли выбрасывать модель УНС на помойку.

Ну по простому: раз жидкость как-то течет (и раз численные процедуры сходятся?), то (гладенькое) решение у уравнения есть. А если вдруг кто докажет что нет, то модель на помойку. А если докажет что все ОК, то на помойку не надо.

[shwedka]

IAA в сообщении #819595 писал(а):

А так как численное решение сходится к решению исходного дифференциального уравнения,

Это утверждение нужно доказывать каждый раз. Для НС оно не доказано.
Более того, вполне возможно, что численные решения к чему-то сходятся, но то, к чему сходятся, не яляется решением.

IAA в сообщении #819595 писал(а):

Уравнения матфизики описывают существующие процессы в нашем мире, а значит существуют и их решения.

Ошибочное утверждение. УМФ описывают математические модели явлений и процессов в природе.

IAA в сообщении #819595 писал(а):

Я согласен, что в приведенный мной пример не является доказательством. Он лишь иллюстрация к уже давно известному понятию гидродинамической неустойчивости.
Это понятие и предполагает, что при сколь угодном вам лично малом возмущении начальных/граничных данных (или внешней силы), решение меняется радикально.
Я тут ничего нового не придумываю.

Вы не придумываете, но повторяете распространенную ошибку. Вы не сможете указать исседование, где 'давно известная ' неустойчивость установлена именно для 'сколь угодно' малых возмущений.

Потому-то я и попросила Вас дать определение 'бесконечно малых величин'. Во всех Ваших разговорах и экспериментах возмущения не являются бесконечно малыми, в сответствии с определением.

-- Пн янв 27, 2014 11:59:09 --

AnvarbekM в сообщении #819517 писал(а):

Я математик с большим стажем и восхищен контрпримером sup. Мои поздравления.

Присоединяюсь.