Доказательство несостоятельности ВТФ

[AD]

Собственно, уже давно понятно, что вы не знаете, что такое определение. И что такое доказательство. И форум тут вас, видимо, уже не в силах исправить ...

Ну так вот, а теперь то же самое повторите ФОРМАЛЬНО. Скажем,

Цитата:

Множество прямоугольных треугольников, на котором задано уравнение Ферма оказывается пустым.

Чем отличаются треугольники, на которых задано уравнение Ферма, от тех, на которых не задано? По треугольнику это как-то можно определить? Определение в студию.

А, ну напомните, где же вы доказали теорему Ферма для $n=2$ и $x,y,z\in\mathbb{C}$?

[Yarkin]

AD писал(а):

Собственно, уже давно понятно, что вы не знаете, что такое определение. И что такое доказательство. И форум тут вас, видимо, уже не в силах исправить ...

Не надо падать духом. Вы и другие математики ио многом меня "исправили". Да, если Вы помните, все нчалось с понятия числа (определения нет), которое у нас имеется. Я заявил и не отказываюсь от зтого сейчас, что определение числа, данное Пифагором - правильное. У Пифагора никаких проблем с ВТФ не было-бы. Он даже не рассматривал случай $n=3$, потому, что нет никакого практического приложения. На определения мы смотрим по разному. Вы просили - я процитировал и указал источник. Если формулировку ВТФ для геометрического многообразия, где нет никаких решений, Вы считаете корректной, я не возражаю.

AD писал(а):

Чем отличаются треугольники, на которых задано уравнение Ферма, от тех, на которых не задано? По треугольнику это как-то можно определить? Определение в студию.

Да, они вырожденные (см. следствия из обеих теорем).

AD писал(а):

А, ну напомните, где же вы доказали теорему Ферма для $n=2$ и $x/y/z \in \mathbb{C}$ ?

В последней теореме, я случай $n=2$ из рассмотрения не выбрасываю. Кроме того, я писал (с. 7) "А ведь случай $n=2$, для уравнения Ферма, математики совсем не рассматривают, считая, что здесь все очевидно, и, что индусы здесь все доказали." О доказательстве я не заявлял.

[AD]

Итак, давайте подведем итог.
Это - последняя формулировка, да?

Цитата:

Теорема (Треугольник для ВТФ). Если для $ x, y, z \in \mathbb{C} $ выполняется соотношение

$$ x^\nu + y^\nu = z^\nu, \nu = 1, 2, 3, …, \eqno (13) $$

причем векторы $ x, y $ и $ z $ не коллинеарные, тогда существует хотя бы один треугольник со сторонами
$ \rho^\nu_1 = |x|^\nu, \rho^\nu_2 = |y|^\nu, \rho^\nu = |z|^\nu, \nu = 1, 2, 3, …, $

От себя добавлю, что этот треугольник единственный. Вы этим потом пользуетесь.
Еще вопрос: надпись $ \nu = 1, 2, 3, …, $ означает выполнение равенства для всех указанных $\nu$ или для некоторого отдельно взятого $\nu_0$? Ясно, что для некоторого $\nu_0$, потому что для всех $\nu$ это всё одновременно выполняться не может, так что доказывать вообще нечего.
Доказательство. Действительно, нарисуем на комплексной плоскости точки $A=0$, $B=x^n$, $C=x^n+y^n$. Треугольник $\triangle ABC$ - искомый.
Единственность следует из признака равенства треугольников по трем сторонам. Теорема доказана.

Цитата:

Следствие 1.(Теорема Пифагора, обобщение). Если угол между векторами $ x^\nu $ и $ y^\nu $ уравнения (1) равен $ \frac \pi 2 $, т. е. $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = \frac \pi 2 $, то для модулей векторов имеет место соотношение

$$ \rho^{2\nu}_1 + \rho^{2\nu}_2 = \rho^{2\nu}, \eqno (26) $$

Доказательство. Полагая в первом соотношении (19) $ C = \frac \pi 2 $, получим $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = \frac \pi 2 $ и первое равенство из соотношений (19) перейдет в (26). Следствие доказано.
При $ \nu = 1 $, из равенства (26) мы получим обычную теорему Пифагора.

А, я понял, в чем же заключается "обобщение". Yarkin утверждает, что теорема Пифагора верна не только для треугольников со сторонами вида $x$,$y$,$z$, но и для треугольников со сторонами вида $x^n$, $y^n$, $z^n$!!! Абалдеть. Доказательство. Сделаем замену переменных: заменим $x$ на $a^n$, $y$ на $b^n$, $z$ на $c^n$.Следствие доказано.

Цитата:

Следствие 2. (Отрезок для ВТФ). Формулировка ВТФ не корректна.
Доказательство. Полагая в первом соотношении (19) $ C = \pi $, получим $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = 0 $ и все три соотношения (19) примут вид:

$$ \rho^{\nu}_1 + \rho^{\nu}_2 = \rho^{\nu}, \eqno (27) $$

совпадающим с (12), что в виду следствия из теоремы ВТФ для треугольника невозможно. Следствие доказано.

1. Формулировка следствия 2 по-прежнему не понятна, поскольку определение дать вы отказываетесь, а вместо чего продолжаете лить воду. Особенно эффектна ссылка на БСЭ. Еще раз - какой пункт из определения некорректности не выполняется?

2. Во-первых, подставлять $C=\pi$ в (19) нельзя, потому что

Цитата:

векторы $ x, y $ и $ z $ не коллинеарные

Во-вторых, при подстановке на самом деле получается $\rho^{2\nu}_1 + \rho^{2\nu}_2 = \rho^{2\nu}$. Напомню читателям пункт (12):

Цитата:

$$ |x_0|^{2 \nu} + |y_0|^{2 \nu}= |z_0|^{2\nu}, \nu = 1, 2, 3, …, \eqno (12) $$

Ну что чему противоречит-то?

А, ну и в хотя бы третий раз спрашиваю: покажите мне доказательство теоремы Ферма для $n=2$.

Цитата:

формулировку ВТФ можно записать в виде
Теорема 1. $\Bigl\{(x,y,z,n)\in\mathbb{N}^3\times\bigl(\mathbb{N}\setminus\{1\}\bigr)\ \Bigl|\Bigr.\ x^n+y^n=z^n\Bigl\}=\varnothing$

[bot]

Yarkin писал(а):

Зря Вы мной пренебрегаете. Надо читать, хотя больше всех знакомы с моими измышлениями.

Потому и не читал, что давно знаком с Вашим приёмчиком, до которого не так просто догадаться, находясь в здравом уме и твёрдой памяти. Вот очередной оппонент, до сих пор критиковавший всякую второстепенную ерунду, до сути добрался.

AD писал(а):

А, я понял, в чем же заключается "обобщение". Yarkin утверждает, что теорема Пифагора верна не только для треугольников со сторонами вида $x$,$y$,$z$, но и для треугольников со сторонами вида $x^n$, $y^n$, $z^n$!!! Абалдеть.

Очень перспективный метод. Берём любую теорему, вместо свободных параметров в ней подставляем любое допустимое громоздьё и вуаля: обобщение готово. Тут только такая заковыка - если сформулировать всё чётко, то обсмеют сразу, теорема ведь не возражает против такой подстановки, а если затуманить, то, распутывая все нелепости, долго гадать будут - в чём же обобщение-то?

[STilda]

Yarkin, а можно ли идею ваших рассуждений переформулировать так: Пока число можно проинтерпретировать как длину отрезка (либо вектор) и пока операции сложения двух чисел соответствует сложение длин двух отрезков (сложение двух векторов) ВТФ не будет иметь решений. - ?

[Yarkin]

STilda писал(а):

Yarkin, а можно ли идею ваших рассуждений переформулировать так: Пока число можно проинтерпретировать как длину отрезка (либо вектор) и пока операции сложения двух чисел соответствует сложение длин двух отрезков (сложение двух векторов) ВТФ не будет иметь решений. - ?

Спасибо, что Вы, почти ухватили мою идею. Я придерживаюсь нашего объективно существующего мира. Я не вмешивался в поиски иных систем чисел, ибо считаю, что мы не разобрались с тем, что создали. Свидетельство тому ВТФ. Почему Вы пишите пока? То, что я доказываю, можно проверять практически, на школьном уровне. Жаль, что там комплексные числа перестали изучать.
В комплексной плоскости любое число - вектор (я называю этот вектор моделью числа). Поэтому,возьмите уравнение Ферма, подставляйте туда любые числа, удовлетворяющие условию теоремы и убедитесь, что выполнить это можно только на прямой.
Например $3^2 + 4^2 = 5^2, 3^3 + 4^3 = (91^{1/3})^3$ и т. д. Но, известно, что уравнения $x^2 + y^2 = 25, x^3 +y^3 = 91$ не могут иметь на отрезке решений, удовлетворяющих условию ВТФ.

[STilda]

Yarkin писал(а):

Вы, почти ухватили мою идею.

Пока не особо все ясно ))). Я сформулировал некое предположение, в котором для меня простматривается рациональное зерно.

Yarkin писал(а):

Поэтому,возьмите уравнение Ферма, подставляйте туда любые числа, удовлетворяющие условию теоремы и убедитесь, что выполнить это можно только на прямой.

Вопрос, равенство $a+b=c$ где задано? на прямой или на плоскости? Можно по виду уравнения понять где оно задано? Приведите пример равенства, выполняючегося на плоскости но не на прямой. Можно?

[Yarkin]

STilda писал(а):

Я сформулировал некое предположение, в котором для меня простматривается рациональное зерно.

Это и хорошо. Если просмотреть мои темы, то по ответам математиков форума (кроме Pepsi) , можно сделать вывод о моем низком уровне математических знаний и бесперспективности тем.

STilda писал(а):

Вопрос, равенство $a + b = c$где задано? на прямой или на плоскости?

Если векторы $a, b$ коллениарны, то на прямой, если не коллениарны - на плоскости (см. Ваш пример с к. ч. в соседней теме).

[STilda]

Yarkin писал(а):

Если векторы $a, b$ коллениарны, то на прямой, если не коллениарны - на плоскости (см. Ваш пример с к. ч. в соседней теме).

А как вы проинтерпретируете различие между "обычным" вектором и аксиальным вектором? Если сложение "обычных" векторов всегда происходит в плоскости (с этим я согласен) и такому сложению действительно соответствуют комплексные числа, то аксиальные вектора в плоскости сложить уже не удается. (Аксиальный вектор смоделировать комплексным числом не удается).
Поэтому, мне кажется, нужно аккуратно обходится с тем, что если есть сложение двух, дающее в результате третье, то это обязательно происходит на плоскости. Не обязательно. Возможно мне показалось, но этого нюанса я не заметил в ваших постах.
Вот, и если для сложения "на плоскости" у нас есть модель - комплексные числа, то для сложения "в объеме" кажется нету. А для решения ВТФ, считаю, нужны.

[Yarkin]

STilda писал(а):

Вот, и если для сложения "на плоскости" у нас есть модель - комплексные числа, то для сложения "в объеме" кажется нету. А для решения ВТФ, считаю, нужны.

Я считаю,что здесь нет никаких проблем. В первой закрытой теме
я пытался это сделать. Но, как Вы убедились, ко всякому новому математики применяют имеющуюся теорию. Предложенные мною $n$ - мерные модели чисел, частным случаем которых были бы комплексные модели чисел, были начисто отвергнуты (см. ответы tolstopuza и др.) из-за наличия в них делителей нуля. Я же считаю, что наличие делителей нуля не помеха для их введения.

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

Предложенные мною $n$ - мерные модели чисел, частным случаем которых были бы комплексные модели чисел, были начисто отвергнуты (см. ответы tolstopuza и др.) из-за наличия в них делителей нуля.

Наоборот, я говорил, что они уже давно известны. Одну из "моделей" я даже нашел в упражнениях "Алгебры" Артина.

[Yarkin]

AD писал(а):

Это - последняя формулировка, да?

Все зависит от отзывов.

AD писал(а):

Ясно, что для некоторого $\nu_0$, потому что для всех $\nu$
это всё одновременно выполняться не может, так что доказывать вообще нечего.

Это я исправлю.

AD писал(а):

Единственность следует из признака равенства треугольников по трем сторонам. Теорема доказана.

Здесь нет третьей стороны, углов между сторонами и тругольника для доказательства единственности. Семикласнику такое непонятно.

AD писал(а):

Доказательство. Сделаем замену переменных: заменим $x$ на $a^n$, $y$ на $b^n$, $z$ на $c^n$.Следствие доказано.

Наверно Вы хотели заменить $x^n$ на $a$... Но, в этом случае, теряется аргумент и смысл доказательства.

AD писал(а):

Еще раз - какой пункт из определения некорректности не выполняется?

В формулировке ВТФ не указано пространство, на котором надо искать решение, т. е. первый пункт.

AD писал(а):

Ну что чему противоречит-то?

Ссылка на (12) была не точна.

AD писал(а):

А, ну и в хотя бы третий раз спрашиваю: покажите мне доказательство теоремы Ферма для $n=2$.

Я утверждаю, что и для $n=2$ доказательства нет, а Вы просите меня его показать.

Добавлено спустя 4 минуты 48 секунд:

tolstopuz писал(а):

Наоборот, я говорил, что они уже давно известны. Одну из "моделей" я даже нашел в упражнениях "Алгебры" Артина.

Если давно известны, то, наверняка, Вы можете указать еще какой - нибудь источник.

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

tolstopuz писал(а):

Наоборот, я говорил, что они уже давно известны. Одну из "моделей" я даже нашел в упражнениях "Алгебры" Артина.

Если давно известны, то, наверняка, Вы можете указать еще какой - нибудь источник.

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_ring

[Yarkin]

tolstopuz писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_ring

Спасибо, но это другой подход создания трехмерного числа, но не $n$ - мерного. Он не определяет $a$, а по операции умножения, получается $a^3 = 1$. Нет у него и векторных операций.

[tolstopuz]

Yarkin писал(а):

Спасибо, но это другой подход создания трехмерного числа, но не $n$ - мерного.

Я и не рассчитывал на то, что вы поймете в этом тексте что-либо, кроме примера. Тем не менее все ваши системы и системы STilda являются групповыми алгебрами (точнее, факторами этих алгебр, но это легко устранимые технические детали), и к ним применим математический аппарат теории представлений. В частности,

а) структурная теорема для абелевых групп позволяет строить полный список ваших систем любой размерности;
б) из теоремы Машке и структурной теоремы Веддерберна следует, что всякая такая система раскладывается в прямую сумму одномерных действительных и комплексных алгебр.

Этих двух пунктов достаточно, чтобы утверждать, что как ваши системы, так и системы STilda хорошо известны в математике, детально изучены и не являются новыми. Более того, они настолько просты, что конкретные их примеры даются разве что в упражнениях.

Yarkin писал(а):

Он не определяет $a$

Определяет, $a$ - это образующая циклической группы из трех элементов (кстати, это написано в первой же строчке после заголовка "Two simple examples"). Правда, не уверен, что вы знаете, что означает это простое понятие.

Yarkin писал(а):

Нет у него и векторных операций.

Конечно же, есть, вы просто невнимательно читали. "If R is a field K, the group ring is called a group algebra; it is a vector space over K, with the basis vectors given by the elements of G."