Доказательство несостоятельности ВТФ

[bot]

AD писал(а):

У Yarkinа прогресс - он уже сформулировал верное утверждение

Хотел сразу возразить, но не получилось. Адресуюсь скорее Yarkin'у, чтобы не принял это за чистую монету - остальным после Someone'а и так ясно. Не обольщайтесь, Yarkin - нет у Вас верной формулировки. Читайте внимательно:

Цитата:

Теорема (ВТФ для треугольника). Если $ \nu $ означает, какое угодно, целое положительное число, ...

Ага, фиксируем произвольное целое положительное число $ \nu $

Цитата:

... то для любых, отличных от нуля корней $x_0 \in\mathbb{C}, y_0 \in\mathbb{C} $ и $z_0 \in\mathbb{C} $ уравнения $|x|^{2 \nu} + |y|^{2 \nu}= |z|^{2\nu}, \nu = 2, 3, …, \eqno (1) $$

Корней уравнения или уравнений? У Вас ведь в (1) перечисление. Ладно, уберём его - $\nu$ ведь зафиксировано, да и не может одна и та же тройка удовлетворять бесконечной последовательности таких уравнений. Где лежат корни - в поле комплексных чисел $\mathbb{C}? Ай да Yarkin! Понаставил модулей и не придерёшься.

Цитата:

...существует единственный прямоугольный треугольник с длинами сторон $ |x|^\nu, |y|^\nu, |z|^\nu, \nu = 2, 3, …, $.

Перечисление опять убираем, а для каких это сторон и куда подевались $x_0, \ y_0, \ z_0$?
Опять идём навстречу и читаем $ |x_0|^\nu, |y_0|^\nu, |z_0|^\nu$ вместо написанного $ |x|^\nu, |y|^\nu, |z|^\nu$.

Вот только после такой чистки и появится верное

Утверждение (назвать теоремой - рука не поднимается). Пусть $ \nu $ - целое положительное число, а ненулевые комплексные $x_0, \ y_0, \ z_0$ удовлетворят равенству $|x_0|^{2 \nu} + |y_0|^{2 \nu}= |z_0|^{2\nu}$.
Тогда существует единственный прямоугольный треугольник с длинами сторон $ |x_0|^\nu, |y_0|^\nu, |z_0|^\nu$.

Доказательства я не читал - и так знаю, что Someone не ошибся - речь действительно идёт о простой подстановке положительных чисел в школьное утверждение, соединяющее обращение теоремы Пифагора с признаком равенства треугольника:
Если положительные числа $a, \ b, \ c$ удовлетворяют равенству $a^2+b^2=c^2$, то существует единственный прямоугольный треугольник с длинами сторон $a, \ b, \ c$.

Мне ведь этот приёмчик Yarkinа давно известен - он и теорему косинусов так обобщает. Загружает в неё некоторое громоздьё и вуаля - обобщение готово.

[Yarkin]

AD писал(а):

Почему же нет? достаточно ведь вернуться к старым обозначениям:

В таком случае, корни уравнения не играют никакой роли.

Someone писал(а):

А причём тут ВТФ? Абсолютно ни при чём. И в Вашей формулировке никакой ВТФ нет, она только в названии присутствует - непонятно, с какой стати.

Не думал я, что доказываю теорему, обратную теореме Пифагора. Через треугольник я хотел установить связь ВТФ и теоремы Пифагора. Ведь связь между соотношениями Пифагора И Ферма имеется и мы ею пользуемся, хотя бы в обозначениях.

AD писал(а):

Как в том анекдоте: нууууу, это вы уже придираетесь. У Yarkinа прогресс - он уже сформулировал верное утверждение, и даже, вроде бы, доказал его (я особо не вникал на этот раз). Следствие, правда, странное какое-то внизу

А жаль (я имею в виду скобки) после нашего мневыгодного сотрудничества.

Someone писал(а):

Я тоже не вникал. Разве ж можно в такое длинное доказательство вникать. Но, по-моему, он там доказывает не совсем то, что сформулировал. Зачем-то доказывает, что какие-то другие треугольники - не прямоугольные, хотя про них ничего в теореме не утверждается.

Речь в теореме идет о единственном прямоугольном треугольнике, поэтому надо рассмотреть все возможные случаи.

Someone писал(а):

Да, очень странное. А почему он не хочет взять $A = 0, B = C = \frac \pi 2$ ?

Нельзя (две параллельные стороны треугольника перпендикулярны третьей) - в этом случае из соотношений (9) получим три противоречивых равенства.

Добавлено спустя 7 минут 23 секунды:

TOTAL писал(а):

Это неверно. А ошибаетесь Вы в том, что продолжаете здесь писать одну глупость за другой.

Спасибо за разъяснения.

[Someone]

Yarkin писал(а):

Не думал я, что доказываю теорему, обратную теореме Пифагора. Через треугольник я хотел установить связь ВТФ и теоремы Пифагора. Ведь связь между соотношениями Пифагора И Ферма имеется и мы ею пользуемся, хотя бы в обозначениях.

Имеется чисто внешнее сходство в записи соотношений, не позволяющее установить между ними какую-либо связь. В теореме Пифагора длины сторон прямоугольного треугольника могут выражаться любыми положительными числами. В теореме Ферма речь идёт о целых положительных числах. Вообще, из теоремы, обратной теореме Пифагора, следовала бы теорема Ферма, если бы прямоугольных треугольников вообще не существовало. Но они существуют.

Yarkin писал(а):

Речь в теореме идет о единственном прямоугольном треугольнике, поэтому надо рассмотреть все возможные случаи.

Зачем же рассматривать треугольники, длины сторон которых не равны заданным числам?

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Да, очень странное. А почему он не хочет взять $A = 0, B = C = \frac \pi 2$ ?

Нельзя (две параллельные стороны треугольника перпендикулярны третьей) - в этом случае из соотношений (9) получим три противоречивых равенства.

Почему? Если $a=0$, $b=c$, то, подставляя в теорему косинусов $A=0$ и любые значения углов $B$ и $C$, получим верные равенства. Проверьте.

[Yarkin]

bot писал(а):

Доказательства я не читал - и так знаю, что Someone не ошибся - речь действительно идёт о простой подстановке положительных чисел в школьное утверждение, соединяющее обращение теоремы Пифагора с признаком равенства треугольника:

Зря Вы мной пренебрегаете. Надо читать, хотя больше всех знакомы с моими измышлениями.

Yarkin писал(а):

Мне ведь этот приёмчик Yarkinа давно известен - он и теорему косинусов так обобщает. Загружает в неё некоторое громоздьё и вуаля - обобщение готово.

Настало время дать доказательство этой теоремы.

Someone писал(а):

Вообще, из теоремы, обратной теореме Пифагора, следовала бы теорема Ферма, если бы прямоугольных треугольников вообще не существовало. Но они существуют.

Вы не находите, что это как раз и утверждает следствие? - уравнение Ферма появляется только тогда, когда треугольник вырождается в отрезок, то есть теорема Ферма сформулирована для пустого множества.

Someone писал(а):

Почему? Если $a=0, b=c$ , то, подставляя в теорему косинусов $A=0$ и любые значения углов $B$ и $C$, получим верные равенства. Проверьте.

Это действительно так, но по условию теоремы, ни одна из сторон не должна быть равна нулю.

Добавлено спустя 24 минуты 29 секунд:

Хотелось мне назвать эту теорему обобщенной теоремой косинусов, но решил оставитьэту работу математикам, ибо как следует из замечаний bot [b]a, [b]AD[b], [b]Someone[b], [b]незванного гостя[b] и других участников форума, у меня это получается, довольно-таки неуклюже. Надеюсь на вашу помощь в ее доработке/


[b]Теорема (Треугольник для ВТФ). Если для $ x, y, z \in C $ выполняется соотношение

$$ x^\nu + y^\nu = z^\nu, \nu = 1, 2, 3, …, \eqno (13) $$

причем векторы $ x, y $ и $ z $
не коллинеарные, тогда существует хотя бы один треугольник со сторонами
$ \rho^\nu_1 = |x|^\nu, \rho^\nu_2 = |y|^\nu, \rho^\nu = |z|^\nu, \nu = 1, 2, 3, …, $
Доказательство. Представим $ x, y $ и $ z $ в тригонометрической форме [4, 13]

$$ x = \rho_1(\cos \varphi_1 +i \sin \varphi_1), y = \rho_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2), z = \rho (\cos \varphi + i \sin \varphi), \eqno (14) $$
,
где
$ \rho_1 = |x|, \rho_2 = |y|, \rho = |z| $ -модули, $ \varphi_1 = Arg x, \varphi_2 = Arg y, \varphi = Arg z $ - значения аргументов $ x, y $ и $ z $ соответственно.
Подставим (14) в соотношение (13), тогда, после возведения в степень $ \nu $, получим

$$ \rho^\nu_1 (\cos \nu \varphi_1 +i \sin\nu \varphi_1) + \rho^\nu_2 (\cos\nu \varphi_2 + i \sin\nu \varphi_2) = \rho^{\nu} (\cos\nu \varphi + i \sin\nu \varphi) $$
.
Приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим

$$ \left\{ \begin{aligned} \rho^{\nu}_1 \cos \nu \varphi_1 + \rho^{\nu}_2 \cos \nu \varphi_2 = \rho^{\nu} \cos \nu \varphi\\ \rho^{\nu}_1 \sin \nu \varphi_1 + \rho^{\nu}_2 \sin \nu \varphi_2 = \rho^{\nu} \sin \nu \varphi.\\ \end{aligned} \right. \eqno (15) $$

Возводя оба соотношения (15) в квадрат, и складывая, отдельно левые и правые части, получим

$$ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu}_2 + 2 \rho^{\nu}_1 \rho^\nu_2 \cos \nu(\varphi_2 - \varphi_1) = \rho^{2\nu}. \eqno (16) $$

Переписав уравнение (13) в виде

$$ z^\nu - x^\nu = y^\nu, \nu = 1, 2, 3, … $$

и проделав с этим уравнением такую же процедуру, как и с уравнением (13), получим

$$ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^{\nu}_1 \rho^{\nu}\cos \nu(\varphi - \varphi_1) = \rho^{2\nu}_2. \eqno (17) $$
.
Аналогично, для уравнения

$$ z^\nu - y^\nu = x^\nu, \nu = 1, 2, 3, …, $$

Получим

$$ \rho^{2 \nu}_2 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^{\nu}_2 \rho^{\nu} \cos \nu(\varphi_2 - \varphi) = \rho^{2\nu}_1. \eqno (18) $$
.
Объединив соотношения (16) – (18) в виде системы, получим условия
совместности для модулей векторов и углов уравнения (13):

$$ \left\{ \begin{aligned} \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu}_2 + 2 \rho^{\nu}_1 \rho^{\nu}_2 \cos C = \rho^{2\nu}\\ \rho^{2 \nu}_1 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^{\nu}_1 \rho^{\nu} \cos B = \rho^{2\nu}_2\\ \rho^{2 \nu}_2 + \rho^{2 \nu} - 2 \rho^{\nu}_2 \rho^{\nu} \cos A = \rho^{2\nu}_1.\\ \end{aligned} \right. (\nu = 1, 2, 3, …) \eqno, (19) $$

где

$$ A =\nu(\varphi_1 - \varphi), B = \nu(\varphi - \varphi_2), C = \pi - \nu(\varphi_1 - \varphi_2), \nu = 1, 2, 3,…, \eqno (20) $$

Из (12) следует, что

$$ A + B + C = \pi, \eqno (21) $$

Соотношения (19) совпадают с соотношениями (4), следовательно они определяют для шестерки величин $ \rho^\nu_1, \rho^\nu_2, \rho^\nu, A, B $ и $ C $ теорему косинусов [5, 330].
Без умаления общности, можно допустить, что для аргументов выполняются неравенства (см. рис.)

$$ \varphi_1 > \varphi > \varphi_2, \eqno (22) $$

В силу требований теоремы, ось отсчета аргументов выберем так, чтобы векторы $ x $ и $ y $ находились по одну сторону от нее и все углы отсчитывались против часовой стрелки. Согласно (13) вектор $ z $ также будет лежать по туже сторону оси отсчета. Тогда будут выполняться неравенства

$$ 0 < \varphi_1 < \pi, 0 < \varphi < \pi, 0 < \varphi_2 < \pi, (23) $$

В силу (20) для углов $ A, B $ и $ C $, с учетом (21), (22) и (23) будут выполняться аналогичные неравенства

$$ 0 < A < \pi, 0 < B < \pi, 0 < C < \pi , \eqno (24) $$

По определения модуля, имеем очевидные неравенства:

$$ \rho^\nu_1 > 0 , \rho^\nu > 0 , \rho^\nu_2 > 0 , \eqno (25) $$

Условия (19), (24) и (25) выполняют все требования теоремы о существовании единственного треугольника [5, 333] для шестерки величин
$ \rho^{\nu}_1, \rho^{\nu}_2, \rho^\nu, A, B, C $. Следовательно, эти величины являются элементами треугольника. Теорема доказана.
Следствие 1.(Теорема Пифагора, обобщение). Если угол между векторами $ x^\nu $ и $ y^\nu $ уравнения (1) равен $ \frac \pi 2 $, т. е. $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = \frac \pi 2 $, то для модулей векторов имеет место соотношение

$$ \rho^{2\nu}_1 + \rho^{2\nu}_2 = \rho^{2\nu}, \eqno (26) $$

Доказательство. Полагая в первом соотношении (19) $ C = \frac \pi 2 $, получим $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = \frac \pi 2 $ и первое равенство из соотношений (19) перейдет в (26). Следствие доказано.
При $ \nu = 1 $, из равенства (26) мы получим обычную теорему Пифагора.
Следствие 2. (Отрезок для ВТФ). Формулировка ВТФ не корректна.
Доказательство. Полагая в первом соотношении (19) $ C = \pi $, получим $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = 0 $ и все три соотношения (19) примут вид:

$$ \rho^{\nu}_1 + \rho^{\nu}_2 = \rho^{\nu}, \eqno (27) $$

совпадающим с (12), что в виду следствия из теоремы ВТФ для треугольника невозможно. Следствие доказано.

[Echo-Off]

Yarkin писал(а):

Формулировка ВТФ не корректна.

Так вы дадите определение корректности задачи? Только не "задача некорректна, если в ней нет геометрии".

Yarkin писал(а):

совпадающим с (12),

А где тут, кстати, (12)? Я что-то не нашёл...

[Yarkin]

Echo-Off писал(а):

Так вы дадите определение корректности задачи? Только не "задача некорректна, если в ней нет геометрии".

Определение корректности можете прочитать в третьем томе математической энциклопедии на стр. 21. Один из пунктов корретности решения - его существование. Он и нарушается, поскольку, как показано в следствиях обеих теорем, ВТФ формулируется для отрезка, на котором никаких решений ${x, y, z \in \mathbb{C}, x, y, z \ne 0}$ для уравнения Ферма нет.

Echo-Off писал(а):

А где тут, кстати, (12)? Я что-то не нашёл...

От Вашего внимания не ускользнуло следствие из первой теоремы. Нумерация формул продолжена оттуда.

$$ \begin{\picture}(300,300) \put(0,0){\vector(1,4){45}} \put(0,0){\vector(4,1){180}} \put(0,0){\vector(1,1){225}} \put(0,0){\vector(1,0){250}} \put(45,180){\line(4,1){180}} \put(180,45){\line(1,4){45}} \put(40,190){$x^n$} \put(185,45){$y^n$} \put(230,225){$z^n$} \qbezier(6,15)(70,10)(65,0) \put(65,10){$n\varphi_2$} \qbezier(30,120)(145,90)(125,0) \put(100,90){$n\varphi_1$} \put(230,190){$0 < n(\varphi_1 - \varphi_2) < \pi, n = 1, 2, …, $- теорема косинусов (обобщенная)} \put(230,160){$\varphi_1-\varphi_2 = 0,5\pi, n = 1, 2, …,$ теорема Пифагора (обобщенная)} \put(230,130){$0 < \varphi_1 - \varphi_2 < \pi, n=1$ - теорема косинусов} \put(230,100){$\varphi_1 - \varphi_2 = 0,5\pi, n=1$ - теорема Пифагора} \put(230,70){$n(\varphi_1 - \varphi_2) = 0, \pi, n = 1, 2, …,$ - теорема Ферма} \end{picture} $$

Геометрический смысл теоремы треугольник для ВТФ

[Echo-Off]

Yarkin писал(а):

Определение корректности можете прочитать в третьем томе математической энциклопедии на стр. 21. Один из пунктов корретности решения - его существование. Он и нарушается, поскольку, как показано в следствиях обеих теорем, ВТФ формулируется для отрезка, на котором никаких решений для уравнения Ферма нет.

На странице 21 третьего тома Виноградова речь идёт о корректности задачи уравнений с частными производными. К логике это никакого отношения не имеет.

[AD]

Yarkin писал(а):

Теорема (Треугольник для ВТФ). Если для $ x, y, z \in C $ выполняется соотношение

$$ x^\nu + y^\nu = z^\nu, \nu = 1, 2, 3, …, \eqno (13) $$

причем векторы $ x, y $ и $ z $
не коллинеарные, тогда существует хотя бы один треугольник со сторонами
$ \rho^\nu_1 = |x|^\nu, \rho^\nu_2 = |y|^\nu, \rho^\nu = |z|^\nu, \nu = 1, 2, 3, …, $

Опять, а чего тут доказывать? У вас же и так искомый треугольник уже нарисован - его сторонами являются векторы $x^n$, $y^n$ и $z^n$ - ведь они и складываются по правилу треугольника.

Добавлено спустя 3 минуты 39 секунд:

Yarkin писал(а):

Следствие 1.(Теорема Пифагора, обобщение). Если угол между векторами $ x^\nu $ и $ y^\nu $ уравнения (1) равен $ \frac \pi 2 $, т. е. $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = \frac \pi 2 $, то для модулей векторов имеет место соотношение

$$ \rho^{2\nu}_1 + \rho^{2\nu}_2 = \rho^{2\nu}, \eqno (26) $$

А здесь что доказывать? "Если треугольник прямоугольный, то $\rho^{2\nu}_1 + \rho^{2\nu}_2 = \rho^{2\nu}$" - стандартная теорема Пифагора, никакого обобщения.

Добавлено спустя 5 минут 12 секунд:

Yarkin писал(а):

Следствие 2. (Отрезок для ВТФ). Формулировка ВТФ не корректна.
Доказательство. Полагая в первом соотношении (19) $ C = \pi $, получим $ \nu(\varphi_1 - \varphi_2) = 0 $ и все три соотношения (19) примут вид:

$$ \rho^{\nu}_1 + \rho^{\nu}_2 = \rho^{\nu}, \eqno (27) $$

совпадающим с (12), что в виду следствия из теоремы ВТФ для треугольника невозможно. Следствие доказано.

Для меня пока что очевидно, что "следствие из теоремы ВТФ для треугольника" противоречит самой "теореме ВТФ для треугольника". В теореме утверждается, что треугольник существует и единственный, а в следствии - что его не существует. Так что давайте сначала со следствием разберитесь.

[Yarkin]

Echo-Off писал(а):

На странице 21 третьего тома Виноградова речь идёт о корректности задачи уравнений с частными производными. К логике это никакого отношения не имеет.

Ни о каких дифференциальных уравнениях в частных производных там не говориться. Речь там идет о постановке общих задачах в метрическом пространстве.

AD писал(а):

Yarkin писал(а):
Следствие 1.(Теорема Пифагора, обобщение). Если угол между векторами $x^\nu$ и $y^\nu$ уравнения (1) равен $\frac \pi 2$, т. е. $\nu(\varphi_1 - \varphi_2) = \frac \pi 2$, то для модулей векторов имеет место соотношение

$$ \rho^{2\nu}_1 + \rho^{2\nu}_2 = \rho^{2\nu}, \eqno (26) $$

А здесь что доказывать? "Если треугольник прямоугольный, то "$ \rho^{2\nu}_1 + \rho^{2\nu}_2 = \rho^{2\nu}$ - стандартная теорема Пифагора, никакого обобщения.

Связь параметра показателя с углом я нигде не встречал, если Вам это знакомо, то укажите источник. В остальном я согласен, тем более, что я это соотношение вытаскиваю из необобщенной теоремы косинусов.

AD писал(а):

Для меня пока что очевидно, что "следствие из теоремы ВТФ для треугольника" противоречит самой "теореме ВТФ для треугольника". В теореме утверждается, что треугольник существует и единственный, а в следствии - что его не существует. Так что давайте сначала со следствием разберитесь.

На это я отвечу методом botа. Он спросил - "имеет ли площадь окружность" и, на ответ - "не имеет" ответил - "не верно, имеет". Поскольку Вы знаете о какой площади идет речь, я дальше не цитирую. Также и уменя - треугольник существует, но вырожденный. Для него и сформулирована ВТФ. Я рассмотрел один случай, когда угол $C=\pi$ - все три стороны треугольника лежат на одной прямой. Второй случай указал Someone - это

Someone писал(а):

Если $a=0, b=c$, то, подставляя в теорему косинусов $A$ и любые значения углов $B$ и $C$, получим верные равенства. Проверьте.

Я напоминаю о том, что я писал AD в нашей дискуссии:
“Впрочем, я ошибся, говоря, что в ВТФ совершенно нет геометрии. Она есть. Но эта геометрия страшная. Я ее привожу.
$ \begin{\picture}(300, 30) \put(0, 15){\line(1, 0){300}} \put(0, 5){\line(0, 1){10}} \put(100, 15){\line(0, 1){5}} \put(300, 5){\line(0, 1){10}} \put(150, 10) {$z^n$} \put(35, 15) {$x^n$} \put(175, 15) {$y^n$} \put(120, 0) {Геометрический смысл ВТФ} \end{/picture} $

Из этой геометрии видно, что компьютерщик находится в лучшем положении, чем математики. Он берет целые $x, y$, возводит их в степень
$ n > 2 $, а потом подбирает целое $z$ для выполнения соотношения (1), выходя за рамки отрезка. Математики же ограничены этим отрезком, то есть решают совершенно бессмысленную задачу”. Теперь добавлю - такой отрезок не существует.
Даже для $n=2$ на отрезке длиной $z^2$, в условиях ВТФ, нет никаких решений уравнения

$$ x^2 + y^2 = z^2 $$

А ведь случай $n=2$, для уравнения Ферма, математики совсем не рассматривают, считая, что здесь все очевидно, и, что индусы здесь все доказали. Более того, в качестве примера приводят пифагоровы тройки, не имеющих никакого отношения к формулировке ВТФ и уводящих в совершенно другую сторону от ее правильного осмысления.

[Brukvalub]

Yarkin писал(а):

Также и уменя - треугольник существует, но вырожденный. Для него и сформулирована ВТФ. Я рассмотрел один случай, когда угол $C=\pi$ - все три стороны треугольника лежат на одной прямой.

Цитирую:
Треугольник (геометр.)

"Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона"
Треугольник — Предположим, что на какой-нибудь поверхности даны три точки А, В и С, не лежащие на одной и той же кратчайшей (геодезической) линии. Соединив эти точки кратчайшими линиями, получим фигуру, называемую треугольником. Точки А, В и С наз. вершинами, а кратчайшие линии АВ, ВС и АС сторонами. (выделено мной).

Yarkin писал(а):

Впрочем, я ошибся, говоря, что в ВТФ совершенно нет геометрии. Она есть. Но эта геометрия страшная.

Читал эти строки. а из соседнего окна во всю мощь динамиков лилась задушевная песня, в которой доминировали следующие строки: "...и накрашенная - страшная, и ненакрашенная - страшная..."

[Echo-Off]

Yarkin писал(а):

Ни о каких дифференциальных уравнениях в частных производных там не говориться. Речь там идет о постановке общих задачах в метрическом пространстве.

Ах так? Ну хорошо. Цитирую Виноградова:

Цитата:

Корректная задача - задача определения решения $z=R(u)$ из метрического пространства $Z$ (с расстоянием $\rho_Z$) по исходным данным $u$ из метрического пространства $U$ (с расстоянием $\rho_U$), для которой выполнены следующие условия:
а) для всякого $u \in U$ существует решение $z \in Z$;
б) решение определяется однозначно;
в) задача устойчива на пространствах $(Z, U)$: для всякого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta(\varepsilon) > 0$, что для любых $u_1, u_2 \in U$ из неравенства $\rho_U(u_1, u_2)\leqslant \delta(\varepsilon)$ следует неравенство $\rho_Z(z_1, z_2) \leqslant \varepsilon$, где $z_1 = R(u_1), z_2 = R(u_2)$.

Вы утверждаете, что это определение имеет отношение не только к урчпам, но и к теореме Ферма; потрудитесь же тогда чётко определить, что в теореме Ферма будет $Z$, что такое $U$, чему равно $z = R(u)$ и какой пункт а), б), в) нарушается и по какой причине.

[Yarkin]

Brukvalub писал(а):

Цитирую:
Треугольник (геометр.)

"Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона"
Треугольник — Предположим, что на какой-нибудь поверхности даны три точки А, В и С, не лежащие на одной и той же кратчайшей (геодезической) линии. Соединив эти точки кратчайшими линиями, получим фигуру, называемую треугольником. Точки А, В и С наз. вершинами, а кратчайшие линии АВ, ВС и АС сторонами. (выделено мной).

Это определение для плоскости, отличной от Евклидовой, см. 5 том Мат. энц., стр. 428.

Brukvalub писал(а):

Читал эти строки. а из соседнего окна во всю мощь динамиков лилась задушевная песня, в которой доминировали следующие строки: "...и накрашенная - страшная, и ненакрашенная - страшная..."

Не думал, что мои строки имеют такое воздействие - какая-то связь с ВТФ, вероятно есть.

Echo-Off писал(а):

Вы утверждаете, что это определение имеет отношение не только к урчпам, но и к теореме Ферма;

Я ничего не утверждаю - этот вопрос подняли Вы и просили дать определение. Я предложил определение из мат. энциклопедии, которое, по Вашему мнению, дано для д. у. в ч. п. Действительно, "Внимание к корректности задач было привлечено франц. математиком Ж. Адамаром в связи срешением краевых задач..." (БСЭ, т. 13, с. 613, 1973 г.). В дальнейшем это понятие расширилось. Все задачи, решаемые для нечетких множеств, считаются некорректными. Простейшая некорректная задача для уравнений будет $0x=b$. Я сперва не мог найти правильного термина и поэтому писал о несостоятельности ВТФ. Но потом я позаимствовал этот термин у AD. Но, если формулировку ВТФ считать корретной, тогда надо будет считать, что я ее доказал. Ведь мною показано, что там нет никаких решений для $x, y, z \in \mathbb{C}$.

[AD]

Yarkin писал(а):

Ведm мною показано, что там нет никаких решений для $x, y, z \in \mathbb{C}$

Че-то я не заметил.

[AD]

Yarkin писал(а):

Я ничего не утверждаю - этот вопрос подняли Вы и просили дать определение.

Ну вы этим определением пользовались? Тогда извольте ответить на вопрос Echo-Offа:

Echo-Off писал(а):

потрудитесь же тогда чётко определить, что в теореме Ферма будет $Z$, что такое $U$, чему равно $z = R(u)$ и какой пункт а), б), в) нарушается и по какой причине.

А если не этим, то приведите то, которым пользовались.

[Yarkin]

AD писал(а):

Yarkin писал(а):

Я ничего не утверждаю - этот вопрос подняли Вы и просили дать определение.

Ну вы этим определением пользовались? Тогда извольте ответить на вопрос Echo-Offа:

Echo-Off писал(а):

потрудитесь же тогда чётко определить, что в теореме Ферма будет $Z$, что такое $U$, чему равно $z = R(u)$ и какой пункт а), б), в) нарушается и по какой причине.

А если не этим, то приведите то, которым пользовались.

Определение по БСЭ. т. 13. 1973, с. 612.
“Корректные и некорректные задачи, Классы математических задач, к-рые различаются степенью определенности их решений…Задача наз. к о р р е к т н о й задачей (или корректно поставленной), если выполнены след. Условия (условия корректности): 1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существование решения);… Смысл первого условия заключается в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, что исключало бы возможность решения задачи… Примером некорректной классич. матем. задачи может служить задача приближенного дифференцирования… Можно привести много др. примеров классич. матем. задач, являющихся некорректными при совершенно естеств. Выборе понятий меры точности как для исходных данных, так и для возможных решений: решение систем линейных алгебр. уравнений с определителем, равным нулю; задача оптимального планирования; решение интегральных уравнений первого рода; задача аналитического продолжения;…, большое число краевых задач для уравнений с частными производными.” Из этого следует, что вовсе не обязательно устанавливать изоморфизм между условиями ВТФ и начальными данными $U$ и решением $Z=R(U)$. Достаточно показать, что
$Z=R(U) = \varnothing$, где $U = \{x_0, y_0, z_0\}$, причем исходные данные удовлетворяют условиям ВТФ.
Если перевести на простой язык, то из моих двух теорем и следствий из них следует, что уравнение Ферма задано для треугольника, а условия налагаемые на исходные данные, годны только для отрезка, ибо при наложении условий ВТФ, треугольник вырождается в отрезок. Множество прямоугольных треугольников, на котором задано уравнение Ферма оказывается пустым.