дискретная математика (множества)

[SeverniyVeterok]

Brukvalub писал(а):

Нарисовал правильно. Показываю (ибо вижу, что Вы искренне стараетесь понять).

\[ (x \in A\backslash (B\backslash A)) \Leftrightarrow ((x \in A) \wedge (x \notin (B\backslash A))) \Leftrightarrow (x \in A) \]

Спасибо.
Только я вроде почти тоже самое написал вначале
Просто из за того , что я поставил знак <=> илидело в количестве скобок?

Просто таких заданий нам в помине не давали, а на дом дали..
Что-то я упускаю из виду






У меня ещё есть задания..просто не с кем решать вот я и к вам

(A-B) - B = A-B

Если нарисовать то получается что выражение правильное..

(x \in (A\backslash B)\backslash B) \Leftrightarrow ((x \in A) \wedge (x \notin B)) \Leftrightarrow (x \in A)

Правильно?

[Brukvalub]

Нет, неправильно.Последний переход - неверный, и не соответствует доказываемому. Я бы написал так:

\[ {\rm{(x}} \in ({\rm{A \backslash B)\backslash B)}} \Leftrightarrow {\rm{((x}} \in ({\rm{A \backslash B))}} \wedge ({\rm{x}} \notin {\rm{B))}} \Leftrightarrow {\rm{(((x}} \in {\rm{A )}} \wedge ({\rm{x}} \notin {\rm{B))}} \wedge ({\rm{x}} \notin {\rm{B))}} \Leftrightarrow {\rm{((x}} \in {\rm{A )}} \wedge ({\rm{x}} \notin {\rm{B))}} \Leftrightarrow {\rm{(x}} \in {\rm{(A\backslash B))}} \]

[SeverniyVeterok]

Brukvalub писал(а):

Нет, неправильно.Последний переход - неверный, и не соответствует доказываемому. Я бы написал так:

\[ {\rm{(x}} \in ({\rm{A \backslash B)\backslash B)}} \Leftrightarrow {\rm{((x}} \in ({\rm{A \backslash B))}} \wedge ({\rm{x}} \notin {\rm{B))}} \Leftrightarrow {\rm{(((x}} \in {\rm{A )}} \wedge ({\rm{x}} \notin {\rm{B))}} \wedge ({\rm{x}} \notin {\rm{B))}} \Leftrightarrow {\rm{((x}} \in {\rm{A )}} \wedge ({\rm{x}} \notin {\rm{B))}} \Leftrightarrow {\rm{(x}} \in {\rm{(A\backslash B))}} \]

спасибо.




Есть ещё такой - $A\subseteq P(A)$ -

Тут не понятно как решать ведь по определению P(A) = {A, φ} .. как можно решить такое если это само по себе определение ?

то есть если сказать - предположим


$x\in P(A)$ <=> $x\subseteq A$ <=> $A\subseteq P(A)$

или тут другой подход?


и вот пример сложный-



- нужно доказать равенство с помощью алгебры множеств (то есть нельзя использовать понятия "член" ).

Может кто подсказку даст- а то уже даавно сижу над ним и не могу ни в лево ни в право сдвинуться

[Brukvalub]

\[ \begin{array}{l} (A_1 \cup A_2 )\backslash (B_1 \cap B_2 ) = (A_1 \backslash (B_1 \cap B_2 )) \cup (A_2 \backslash (B_1 \cap B_2 )) = \\ ((A_1 \backslash B_1 ) \cup (A_1 \backslash B_2 )) \cup ((A_2 \backslash B_1 ) \cup (A_2 \backslash B_2 )) = (A_1 \backslash B_1 ) \cup (A_1 \backslash B_2 ) \cup (A_2 \backslash B_1 ) \cup (A_2 \backslash B_2 ) \\ \end{array} \]

Ну и хватит. Решения этих примеров вам должно хватить, чтобы дальше двигаться самостоятельно.

[vadim55]

правильно ли

$$ \emptyset \bigcup {} \{ \emptyset \} = \emptyset $$

$$ \{ \emptyset \} \bigcup {\{ \{ \emptyset \} \} = \{ \emptyset \} } $$

$$ \{ \{ \emptyset \} \} \bigcup {\{ \{ \{ \emptyset \} \} \} = \{ \{ \emptyset \} \} } $$

??
и.т.д

то же самое будет верно для любой группы X?

[PAV]

Неправильно с самого первого шага. $\emptyset$ и $\{\emptyset\}$ - это объекты разных уровней (подмножества разных множеств), их нельзя смешивать в одном выражении.

Не говоря уже о том, что у них разные объемы: $|\emptyset|=0$, $|\{\emptyset\}|=1$.

[vadim55]

как тогда графически обозначить

{{X}}?

чему тогда равно

$$ \{ \{ \emptyset \} \} \bigcup {\{ \emptyset \} } $$

?

[--mS--]

$$ \{ \{ \emptyset \} \} \cup {\{ \emptyset \} } = \{ \{ \emptyset \}, \emptyset \}. $$

[vadim55]

похоже теперь все начинает проясняться

[PAV]

--mS-- писал(а):

$$ \{ \{ \emptyset \} \} \cup {\{ \emptyset \} } = \{ \{ \emptyset \}, \emptyset \}. $$

Мне это не нравится.

Добавлено спустя 31 минуту 4 секунды:

Знак объединения можно применять к двум подмножествам одного и того же множества.
Если хотите так писать, то сперва объясните, что за множество Вы рассматриваете, элементами которого являются $\emptyset$ и $\{\emptyset\}$.

Для наглядности рассмотрим такой пример. Пусть есть некоторое множество, состоящее из двух элементов $\Omega=\{a,b\}$.
Мы можем записывать следующие утверждения: $a\in\Omega$, $b\in\Omega$.
(Обращайте далее внимание на то, где буду писать знак $\in$, а где $\subset$, а также четко различайте понятия элемент множества и подмножество множества)
Если рассматривать подмножества множества $\Omega$, то их будет 4: $\emptyset$, $\{a\}$, $\{b\}$ и $\{a,b\}=\Omega$. Тут надо писать $\emptyset\subset\Omega$, $\{a\}\subset\Omega$ (сравните с предыдущим), $\{b\}\subset\Omega$ и $\Omega\subset\Omega$.
Можно перейти к рассмотрению нового множества $\Omega'$, элементами которого являются все подмножества множества $\Omega$: $\Omega'=\{\emptyset, \{a\},\{b\},\Omega\}$. Множество $\Omega'$ иногда называют булианом и обозначают $2^\Omega$.
Так вот теперь можно писать так: $\emptyset\in\Omega'$, но $\{\emptyset\}\subset\Omega'$. Т.е. $\emptyset$ является с одной стороны - подмножеством $\Omega$, а с другой стороны - элементом множества $\Omega'$, а под $\{\emptyset\}$ следует понимать одноэлементное подмножество $\Omega'$.

Путаница может возникнуть с тем, что если мы рассмотрим пустое подмножество $\Omega'$, то его не очень хорошо будет обозначать символом $\emptyset$, поскольку это не то $\emptyset$, которое до сих пор фигурировало в тексте. Обозначим его $\emptyset'$. Оба $\emptyset$ и $\emptyset'$ являются пустыми подмножествами, но разных множеств $\emptyset\subset\Omega$, $\emptyset'\subset\Omega'$.
Вообще говоря, когда речь идет о подмножествах, то при этом неявно предполагается известным то основное (или универсальное) множество, на котором они заданы. Теоретико-множественные операции следует применять только к подмножествам, заданным на одном основном множестве. Поэтому в моем примере, скажем, объединять $\emptyset\subset\Omega$ ($\emptyset\in\Omega'$) и $\{\emptyset\}\subset\Omega'$ нельзя. Равно как и нельзя объединять $\emptyset$ и $\emptyset'$.

[AD]

PAV писал(а):

--mS-- писал(а):

$$ \{ \{ \emptyset \} \} \cup {\{ \emptyset \} } = \{ \{ \emptyset \}, \emptyset \}. $$

Мне это не нравится. ...

Чего-то вы странное пишите, PAV. В ZFC никаких универсальных множеств не предполагается, а пустое множество единственное по аксиоме объемности (множества равны тогда и только тогда, когда состоят из одних и тех же элементов). Если хотите универсальное множество, то почему бы не взять $\{ \{ \emptyset \}, \emptyset \}$?

Добавлено спустя 3 минуты 23 секунды:

Хотя, конечно, понятие (алгебраическая) операция подразумевает наличие множества, на котором она определена, и с этой точки зрения значки $\cap$ и $\cup$ операциями не являются.

[SeverniyVeterok]

привет.
нужно доказать что если $n\leqslant m$ то,$A_n $\cap $ $A_m = $A_n (n - натуральное)

что даёт $n\leqslant m$ , то что все n принадлежат m или что?

[--mS--]

PAV писал(а):

Если хотите так писать, то сперва объясните, что за множество Вы рассматриваете, элементами которого являются $\emptyset$ и $\{\emptyset\}$.

Например, множество

$$ \{ \emptyset, ~\{\emptyset\},~ \{\{\emptyset\}\},~ \{\{\{\emptyset\}\}\},~ \ldots \}. $$

Годится?

PAV писал(а):

(Обращайте далее внимание на то, где буду писать знак , а где , а также четко различайте понятия элемент множества и подмножество множества)

Очень мило Спасибо

[AD]

SeverniyVeterok писал(а):

нужно доказать что если $n\leqslant m$ то,$A_n $\cap $ $A_m = $A_n (n - натуральное)

А вообще что такое $A_n$ и $A_m$? Первая ассоциация - четные подстановки степени $n$ и $m$ ...

Добавлено спустя 8 минут 23 секунды:

Что значит "все n"? У нас же одно n в задаче. Вообще говоря, ничего не дает. Это вопрос типа "что больше - $x$ или $X$?"

[SeverniyVeterok]

AD писал(а):

SeverniyVeterok писал(а):

нужно доказать что если $n\leqslant m$ то,$A_n $\cap $ $A_m = $A_n (n - натуральное)

А вообще что такое $A_n$ и $A_m$? Первая ассоциация - четные подстановки степени $n$ и $m$ ...

Привет.
Первоначальна задача была такая- http://img355.**invalid link**/img355/6554/wetrrv6.jpg (просто она в карантине так как я её картинкой запастил а нужно переводитьв формулы что тяжело)

Так вот там написаны условия.

Первый вопрос я решил просто подставив n=0 , n=1, n=2 ,n=3 при этом получил множества в первом случаи A=ф -так как при n=0 не может существовать x - поэтому решением стала пустое множество. А в остальных случаях подставкой получил другие ответы ...

три последних тоже решил - а вот на этом завис..