Бесконечность

[ratay]

Ну, во-первых, всегда нужно помнить, что математика-
это не что-то самостоятельное, а инструмент, как и физика
зависящий от окружающей реальности. Просто до сих пор не
было необходимости подробно развить эту идею.
В физической реальности - да, мы не видим бесконечность
как объект, а видим лишь неограниченность материи. И
всякая попытка ее ограничить рано или поздно лишь приводит к созданию новой теории, снимающей это ограничение.
А в математике понятие бесконечности существует в самых
разных вариантах. Те же флюксии у Лейбница (бесконечно
малые как самостоятельные объекты). Надо только не
забывать, что бесконечно малое и бесконечно большое - в
сущности одно и то же.
А та же бесконечная окружность (в стереографической
проекции) или бесконечная точка, когда проецируем сферу?
Можно подобрать и другие примеры. Просто в области
геометрии они более наглядны. Хотя в геометрической
топологии, да при высоких размерностях, да если еще при
нецелых, о наглядности говорить сложнее.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #816047 писал(а):

Это всё ерунда, специфика "остальных разделов математики" (из которых вы почему-то перечислили только математический анализ - а математика намного шире).

Матан только для примера. Ни диффуры, ни диффгем в кардиналы тоже особо не углубляются. Функан и топология с этим чуть больше соприкасаются. Но в любом разделе матеметики, если важна мощность - переходят к кардиналам. А символ $\infty$ используется как обобщенное понятие "куда Макар телят не гонял".

Munin в сообщении #816047 писал(а):

Кстати, суммирование/интегрирование по $2^{\aleph_0}$ - а почему бы и нет?

От балды, конечно, можно и континуум чисел поскладывать. Если же рассматривать сходимость таких рядов, выясняется, что ненулевых элементов может быть только счетное количество.

Munin в сообщении #816047 писал(а):

Значит, не такое уж это обозначение и общее. Наоборот, слишком грубое, не имеющее необходимой "разрешающей способности".

Именно, что общее и не нуждающееся в разрешающей способности.

[Munin]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #816192 писал(а):

Матан только для примера. Ни диффуры, ни диффгем в кардиналы тоже особо не углубляются.

Ещё бы они. Кардиналы же часть теории множеств. Кстати, диффуры часть матана, несчитаетсо.

Dan B-Yallay в сообщении #816192 писал(а):

Но в любом разделе матеметики, если важна мощность - переходят к кардиналам. А символ $\infty$ используется как обобщенное понятие "куда Макар телят не гонял".

А кроме этих двух вариантов, бесконечностей нема?

Dan B-Yallay в сообщении #816192 писал(а):

От балды, конечно, можно и континуум чисел поскладывать.

Не континуум чисел, а по континууму чисел. Аналог $\int_{-\infty}^{+\infty}dx.$

Dan B-Yallay в сообщении #816192 писал(а):

Именно, что общее и не нуждающееся в разрешающей способности.

Я привык, что "общее" = "имеющее широкую (объемлющую) область применимости".

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #816371 писал(а):

Ещё бы они. Кардиналы же часть теории множеств.

Собственно, я с этого и начинал... три поста назад.

Munin в сообщении #816371 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #816192 писал(а): писал(а):

Но в любом разделе матеметики, если важна мощность - переходят к кардиналам. А символ $\infty$ используется как обобщенное понятие "куда Макар телят не гонял".

А кроме этих двух вариантов, бесконечностей нема?

Извиняюсь, не понял вопроса. Речь шла о двух вариантах: важна кардинальность или нет.
О каких других бесконечностях речь? Например cимвол $\omega_4+3\omega$ может "использоваться" для "куда Макар телят не гонял, луг номер 4, поляна третья".

Munin в сообщении #816371 писал(а):

Не континуум чисел, а по континууму чисел. Аналог $\int_{-\infty}^{+\infty}dx.$

А это как? Я с таким еще не сталкивался и смутно себе это представляю. Даже после аналогии.

[Munin]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #816392 писал(а):

Собственно, я с этого и начинал... три поста назад.

Начинать-то начинали. Но вопрос-то был в другом. Что ещё, кроме кардиналов и полубессмысленного значка, бывает? А ответа не прозвучало...

Dan B-Yallay в сообщении #816392 писал(а):

Речь шла о двух вариантах: важна кардинальность или нет.

У вас. Это вы свели вопрос к такому. Ну, мне он просто неинтересен. Очевидно, что где-то важна, где-то нет.

Dan B-Yallay в сообщении #816392 писал(а):

О каких других бесконечностях речь?

Это у меня к окружающим был такой вопрос. И я совсем не хотел обсуждать только матанализ. Я надеялся, что всплывут другие области математики, гораздо более далёкие от математики для 1 курса...

Dan B-Yallay в сообщении #816392 писал(а):

А это как? Я с таким еще не сталкивался и смутно себе это представляю. Даже после аналогии.

Я тоже не сталкивался. Но слышал, что анализ на $p$-адических числах вполне аналогичен анализу на $\mathbb{R}.$ Вот и домыслил. Может быть, я неправ, и по $p$-адической прямой не суммируют (интегрируют).

[Someone]

Munin в сообщении #816371 писал(а):

Аналог $\int_{-\infty}^{+\infty}dx.$

Определяйте меру и интегрируйте на здоровье.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #816474 писал(а):

Начинать-то начинали. Но вопрос-то был в другом. Что ещё, кроме кардиналов и полубессмысленного значка, бывает? А ответа не прозвучало...

Я Вас понял и с этим согласен.

Munin в сообщении #815776 писал(а):

EEater в сообщении #815741 писал(а): писал(а):

Хотя есть символ.

И не один. Я навскидку четыре помню: $\infty,\aleph,\omega,\mathfrak{c}$ ....

Весь пафос моего тогдашнего выступления был в том, что EEater упомянул лишь об одном символе, и я просто привел довод в пользу этого.

Hасчет других обозначений: английская Вики кроме Aлефов ( $\aleph$ ) упоминает еще и Беты ($\beth$) - тоже кардинальные номера.

[ratay]

Aritaborian-у: Конечно, я слышал про прямую,
заполняющую квадрат. Но:
Во-первых, она заполняет его так, что расстояния между
соседними участками прямой становятся сколь угодно малыми. Если мы понимаем бесконечно малую в смысле
Лейбница, то есть она нечто самостоятельное, отличное от нуля и конечных чисел, то никакого заполнения не будет.
Если мы понимаем бесконечно малую как процесс, то
можно говорить о заполнении, но:
Во-вторых, для заполнения конечного квадрата требуется
бесконечная прямая, а о заполнении плоскости говорить
бессмысленно.
Любую математическую модель не следует возводить в
Абсолют.

[Dan B-Yallay]

Someone в сообщении #816586 писал(а):

Munin в сообщении #816371 писал(а): писал(а):

Аналог $\int_{-\infty}^{+\infty}dx.$

Определяйте меру и интегрируйте на здоровье.

Получим интеграл по множеству с мерой. С этим-то проблем не видится.
Мне лично неясно с суммированием, а именно постановка задачи:

Munin в сообщении #816371 писал(а):

Не континуум чисел, а по континууму чисел.

[Someone]

(epros)

epros в сообщении #812595 писал(а):

Someone в сообщении #812581 писал(а):

Согласитесь, однако, что утверждения "потенциально существует хотя бы один бесконечный объект" и "данный конкретный объект потенциально бесконечен", мягко выражаясь, не выглядят равносильными.

Я не говорю, что они равносильные. Я говорю,что второй вариант - недоразумение. Ибо тот, кто такое говорит, скорее всего должен был сказать: "данный конкретный бесконечный объект потенциально существует", просто он слегка перепутал порядок слов.

Я советую Вам почитать "Математическую энциклопедию", статьи "Абстракция актуальной бесконечности" и "Абстракция потенциальной осуществимости". Вы увидите, что ни о каком потенциальном существовании речь не идёт. Каким-то таинственным образом актуальная бесконечность связывается с использованием закона исключённого третьего, но это опять же не математическое утверждение, а околоматематические философствования.

epros в сообщении #812595 писал(а):

Надеюсь, что Вы не станете топтать меня ногами, если я где-нибудь когда-нибудь выскажусь в том плане, что у словосочетания "потенциальная бесконечность" всё же есть смысл?

Надеюсь, Вы всё-таки не будете выдавать собственные выдумки за общепринятое толкование.

[Munin]

ratay в сообщении #816690 писал(а):

Во-первых, она заполняет его так, что расстояния между
соседними участками прямой становятся сколь угодно малыми.

Нет, не так.

ratay в сообщении #816690 писал(а):

Во-вторых, для заполнения конечного квадрата требуется бесконечная прямая, а о заполнении плоскости говорить бессмысленно.

Вы неверно информированы. Для заполнения квадрата достаточно отрезка длиной в его сторону.

(Оффтоп)

Остальные точки математики заметают под ковёр, чтобы их не спрашивали, где другие квадраты, сделанные из сэкономленных материалов.

Плоскость заполнить тоже можно, но вот проблема: когда мы будем заполнять плоскость квадратами, у нас останутся лишние отрезки, и их некуда будет девать (опять же, кроме ковра). Так что, о заполнении плоскости говорить можно, но на следующем курсе, где вам расскажут об этом всю правду (и кто приторговывает бесхозными лишними отрезками, вам тоже назовут по секрету).

[ratay]

Что касается того, что для заполнения квадрата отрезком
достаточно отрезка длиной в его сторону, то ведь сама
прямая Пеано, находящаяся внутри квадрата, имеет
бесконечную длину, ничего нового нам не дает. Мы точно
также можем спроецировать конечную полуокружность на
бесконечную прямую. Но в этом случае мы имеем две
бесконечные точки, качественно отличные от всех остальных точек полуокружности. А в случае с кривой Пеано мы имеем кратные точки, то есть отрезок приобретает структуру.
Когда мы говорим, что при бесконечном делении квадрат
становится точкой - это лишь один из вариантов понимания
бесконечно малой, ньютоновский. О двух равноправных
способах понимания бесконечно малой уже говорилось.
И последнее: для плоскости (а не квадрата) этот способ
уже не годится. То есть это все-таки частный случай.

[provincialka]

А почему вы решили, что оппоненты имели в виду именно кривую Пеано? Если не накладывать условие непрерывности, можно построить вполне себе взаимно однозначное отображение отрезка на квадрат. И даже на интервал, что не менее удивительно.

[Munin]

ratay в сообщении #817003 писал(а):

сама прямая Пеано, находящаяся внутри квадрата

Нет такой прямой.

ratay в сообщении #817003 писал(а):

Мы точно также можем спроецировать конечную полуокружность на бесконечную прямую.

Ну надо же, что-то вспомнили. Придётся исключить вас из категории абсолютно безнадёжных. Но выше вы пока не поднялись.

ratay в сообщении #817003 писал(а):

Но в этом случае мы имеем две бесконечные точки, качественно отличные от всех остальных точек полуокружности.

Я же говорил, что что-то под ковёр придётся заметать. Впрочем, как это сделать, хорошо известно. Выбираете счётное множество точек, и сдвигаете их на конечное число.

ratay в сообщении #817003 писал(а):

Когда мы говорим, что при бесконечном делении квадрат становится точкой

А кто такое говорит, кроме вас?

ratay в сообщении #817003 писал(а):

И последнее: для плоскости (а не квадрата) этот способ уже не годится.

Если вы знаете способ спроецировать полуокружность на прямую, то сможете сообразить и способ спроецировать квадрат на плоскость.

Но это уже упражнение более высокого уровня. Оно потребует от вас не прочитанной когда-то умной книжки, а шевеления своими мозгами. Зато, если справитесь, подниметесь ещё на ступеньку. Станете человеком разумным, просто необразованным и с замусоренными мозгами.

-- 20.01.2014 20:03:56 --

provincialka в сообщении #817065 писал(а):

А почему вы решили, что оппоненты имели в виду именно кривую Пеано? Если не накладывать условие непрерывности, можно построить вполне себе взаимно однозначное отображение отрезка на квадрат.

Разумеется, я имел в виду не кривую Пеано. Я имел в виду преобразование десятичных дробей: нечётные цифры становятся цифрами координаты $x,$ а чётные - цифрами координаты $y.$

[provincialka]

Munin в сообщении #817066 писал(а):

Разумеется, я имел в виду не кривую Пеано.

Я догадалась