2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ... 22  След.
 
 Re: Бесконечность
Сообщение12.01.2014, 01:29 


05/01/14
46
epros в сообщении #810332 писал(а):
Простейший пример "отсутствия конца" даёт множество натуральных чисел: нет такого числа, которое было бы максимальным.

Тоже мне аргумент! А "бесконечно большое число" у вас, значит, есть? :)
Потенциальная и актуальная бесконечности - две большие разницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение16.01.2014, 11:54 
Аватара пользователя


01/09/13

711
epros в сообщении #812088 писал(а):
Ибо конструктивная логика как раз различает два вида существования: собственно "объект существует" и "объект не может не существовать"


(Оффтоп)

А в чём разница?


-- 16.01.2014, 11:55 --

Someone в сообщении #811949 писал(а):
Однако из меня готовили не философа, а математика. И я хорошо вижу, что в математике (как классической, так и конструктивной) нет понятий потенциальной и актуальной бесконечности, потому что выразить математически разницу между "потенциально бесконечным" и "актуально бесконечным" в том виде, как это сформулировано у философов, не удаётся.


Может быть, в будущем математика разовьётся так, что выразить её станет возможно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение16.01.2014, 13:25 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Linkey в сообщении #815111 писал(а):
А в чём разница?
Возможно, имелась в виду разница между предъявлением объекта и доказательством его существования.
Linkey в сообщении #815111 писал(а):
Может быть, в будущем математика разовьётся так, что выразить её станет возможно?
Не тупите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение16.01.2014, 16:01 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Linkey
Тут, в принципе, достаточно написали для следа понимания, если знать немного обозначений типа $\neg$ — отрицание.
В конструктивной логике $\neg\neg A$ и $A$ — не эквивалентные высказывания (в классической — да): из второго следует первое, но не наоборот. Из этого вытекает, что $\neg\forall x\mathbin.\neg P(x)$ «не для всех объектов не выполняется свойство $P$» и $\exists x\mathbin.P(x)$ «существует объект со свойством $P$» — не одно и то же (когда в классической логике — одно). Первое предложение у нас получится, если мы попытаемся доказать существование от противного, частый способ при использовании классической логики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение17.01.2014, 17:39 


21/08/13

784
Понятия актуальной и потенциальной бесконечности
обсуждаются еще со времен Ньютона и Лейбница. Правда,
они говорили о бесконечно малых, но это две стороны одной
медали. Сущность понятия бесконечность математика нам
объяснить не может, она может лишь ответить, противоречива система аксиом или нет. Если мы говорим о
реальности, то мы видим, что всякая теория имеет границы
применения, но как только мы приближаемся к этим границам, появляется новая теория-расширение. Отрицание
бесконечности - это отрицание развития, стремление создать
абсолютную, окончательную теорию.
Для нас же важнее понять, какая она, бесконечность.
Потенциальная - это процесс, актуальная - это сущность, и
это тоже две стороны одной медали.
Есть бесконечность дискретная (счетная) и непрерывная.
Бесконечность - это не что-то единое. Бесконечность
плоскости качественно отличается от бесконечности прямой
(это к вопросу о том, чем бесконечность в квадрате
отличается от бесконечности).
Ну и, конечно, придет Munin и все объяснит, но не все
объяснения следует принимать на веру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение17.01.2014, 18:12 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
ratay в сообщении #815720 писал(а):
Бесконечность плоскости качественно отличается от бесконечности прямой
А вам известно, что в квадрате «столько же» точек, сколько в отрезке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение17.01.2014, 18:42 
Заслуженный участник


10/03/09
958
Москва
ratay в сообщении #815720 писал(а):
Бесконечность - это не что-то единое.
Единственное верное из вашего текста.
"Бесконечность" это просто слово. Строго говоря, в математике такого понятия нет. (Хотя есть символ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение17.01.2014, 18:42 


06/07/11
192
Aritaborian в сообщении #815732 писал(а):
ratay в сообщении #815720 писал(а):
Бесконечность плоскости качественно отличается от бесконечности прямой
А вам известно, что в квадрате «столько же» точек, сколько в отрезке?

Ну, во-первых, понятие "столько же" можно понимать по разному, особенно, если речь о бесконечностях. Бесконечности можно по разному понимать и определеять.
Во-вторых, даже если определить понятие "столько же", как эквивалентное, для точек на отрезке и квадрате, есть же еще совокупность других свойств, по которым, они не эквивалентны (хотя ratay может быть их смешивает ?) :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение17.01.2014, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

EEater в сообщении #815741 писал(а):
Хотя есть символ.

И не один. Я навскидку четыре помню: $\infty,\aleph,\omega,\mathfrak{c}$ (не считая всяких индексов - это всё-таки не символы). Не бейте меня ногами, я плохо в школе учился, и больше не помню. Ну, разве что иногда ещё ``$\ldots$'' можно считать таким символом. $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{R},\mathbb{C}$ употребляются в смысле символа бесконечности (например, в показателе степени), но их основное значение всё-таки другое. Чего бы ещё такое вспомнить...


-- 17.01.2014 20:30:34 --

Lukin в сообщении #815742 писал(а):
Ну, во-первых, понятие "столько же" можно понимать по разному, особенно, если речь о бесконечностях.

Как раз нет. Бесконечности можно понимать по-разному, а вот "столько же" - всегда одинаково.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение17.01.2014, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057

(Оффтоп)

Munin в сообщении #815776 писал(а):
И не один. Я навскидку четыре помню: $\infty,\aleph,\omega,\mathfrak{c}$
Знак бесконечности - первый. Остальные - бесконечные кардиналы/ординалы.
Рядом, но не совсем одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение17.01.2014, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Dan B-Yallay
Является ли бесконечный кардинал бесконечностью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение17.01.2014, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Munin в сообщении #815890 писал(а):

(Оффтоп)

Dan B-Yallay
Является ли бесконечный кардинал бесконечностью?

(Оффтоп)

Das cats eat bats? Смотрите-ка, уже 13-ая страница пошла... любят у нас на форуме такие темы, ох, любят...

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение18.01.2014, 05:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057

(Munin)

Munin в сообщении #815890 писал(а):
Dan B-Yallay
Является ли бесконечный кардинал бесконечностью?
Вопрос, конечно же, терминологический. Так же как и встречный вопрос: являтся ли протон электричеством? :D

Бесконечный кардинал является бесконечностью в том смысле, что он не является конечным.

Дело в том, что pазличных (неравномощных) бесконечных множеств бесконечно много и поэтому специалисты придумали/используют кардиналы для обозначения мощностей и ординалы для различных упорядочиваний этих множеств.

Eсли же не углубляться в эту экзотику, то в остальных разделах математики переменные не стремятся к $\mathfrak{c}$. Вы не увидите область определения или значений функции в виде $(0,  \omega_1 +3) \cup [ \aleph_2, \aleph_{7}]$, суммирование/интегрирование до $2^{\aleph_0}$ или дополнение комплексной плоскости каким-нибудь кардиналом $\aleph_{\omega_1}$. Для всего этого есть $\infty$.

В вышеизложенном смысле $\infty$ является общим обозначением для "бесконечности", а кардиналы/ординалы - специфическими примерами таковой. В обозначениях кардиналов/ординалов символ $\infty$ не используется и, к примеру, запись $2^\infty$ не имеет смысла. По крайней мере мне не встречалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение18.01.2014, 05:12 


04/05/13
313
Lukin в сообщении #815742 писал(а):
Во-вторых, даже если определить понятие "столько же", как эквивалентное, для точек на отрезке и квадрате, есть же еще совокупность других свойств, по которым, они не эквивалентны (хотя ratay может быть их смешивает ?)

Золотые Ваши слова! Точки на прямой линейные, а в квадрате - квадратные. И с этим ковром Серпинского математики подложили физикам большую свинью...

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение18.01.2014, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #815967 писал(а):
Так же как и встречный вопрос: являтся ли протон электричеством?

Вот чёрт. Уговорили.

Dan B-Yallay в сообщении #815967 писал(а):
Eсли же не углубляться в эту экзотику, то в остальных разделах математики переменные не стремятся к $\mathfrak{c}$. Вы не увидите область определения или значений функции в виде $(0,  \omega_1 +3) \cup [ \aleph_2, \aleph_{7}]$, суммирование/интегрирование до $2^{\aleph_0}$ или дополнение комплексной плоскости каким-нибудь кардиналом $\aleph_{\omega_1}$. Для всего этого есть $\infty$.

Это всё ерунда, специфика "остальных разделов математики" (из которых вы почему-то перечислили только математический анализ - а математика намного шире). Кстати, суммирование/интегрирование по $2^{\aleph_0}$ - а почему бы и нет? Как записывается интеграл по всем $p$-адическим числам, интересно?

Дополнение комплексной плоскости - вообще одна точка. Хоть чёртом в ступе её обозначь, с бесконечностью это ничего общего не имеет. Это северный полюс на сфере Римана.

Dan B-Yallay в сообщении #815967 писал(а):
В обозначениях кардиналов/ординалов символ $\infty$ не используется и, к примеру, запись $2^\infty$ не имеет смысла. По крайней мере мне не встречалось.

Значит, не такое уж это обозначение и общее. Наоборот, слишком грубое, не имеющее необходимой "разрешающей способности". И судя по вашему примеру, эти символы всё-таки параллельны друг другу, в большей степени, чем протон и электричество.


dvb в сообщении #815968 писал(а):
Золотые Ваши слова! Точки на прямой линейные, а в квадрате - квадратные.

А, я понял, я понял, а в треугольнике - треугольные! Так?

И как следствие, такой вещи, как пересечение треугольника и квадрата, существовать вообще не может.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 317 ]  На страницу Пред.  1 ... 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ... 22  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group