2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 22  След.
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Someone в сообщении #811949 писал(а):
Отсюда можно сделать вывод, что "актуальная" или "потенциальная" бесконечность является характеристикой не самого натурального ряда, а того, каким способом мы назначаем натуральным числам "моменты времени"
Мне кажется, что к характеристикам времени это не имеет непосредственного отношения. Натуральный ряд бесконечен, это известно. Но вот в каком смысле он существует? В классической логике смысл существования только один: выражаемый соответствующим квантором. Поэтому если мы хотим пользоваться натуральными числами, нам приходится принять существование бесконечного натурального ряда за аксиому. И тут нет никаких вариантов: "потенциальная" у него бесконечность или "актуальная" отличить невозможно, поскольку аксиоматика-то одна.

А вот относительно конструктивной математики я не совсем согласен. Ибо конструктивная логика как раз различает два вида существования: собственно "объект существует" и "объект не может не существовать". Причём из второго первое не обязательно следует. Я бы сказал, что первое - это как раз и есть "актуальное существование", а второе, соответственно, "потенциальное существование". Вы можете спросить, какое отношение это имеет к актуальности или потенциальности бесконечности. Я так полагаю, что правильнее говорить про "актуально существующий бесконечный объект (или множество)" и про "потенциально существующий бесконечный объект или множество". Раз уж в логике есть два вида существования, данные слова нормально формализуемы. Вот и всё, "актуальная" или "потенциальная" бесконечность - это всего лишь сокращённая форма тех же самых словосочетаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 19:59 


18/09/10
169
epros в сообщении #812088 писал(а):
Поэтому если мы хотим пользоваться натуральными числами, нам приходится принять существование бесконечного натурального ряда за аксиому. И тут нет никаких вариантов: "потенциальная" у него бесконечность или "актуальная" отличить невозможно, поскольку аксиоматика-то одна.

Аксиоматика чисел в математическом анализе построена именно на понятии "актуальная бесконечность"(см. "мощность множеств).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
bocharov в сообщении #812129 писал(а):
Аксиоматика чисел в математическом анализе построена именно на понятии "актуальная бесконечность"(см. "мощность множеств).
Почему нельзя сказать то же самое, заменив слово "актуальная" на слово "потенциальная"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
epros в сообщении #812088 писал(а):
Мне кажется, что к характеристикам времени это не имеет непосредственного отношения. Натуральный ряд бесконечен, это известно. Но вот в каком смысле он существует? В классической логике смысл существования только один: выражаемый соответствующим квантором. Поэтому если мы хотим пользоваться натуральными числами, нам приходится принять существование бесконечного натурального ряда за аксиому. И тут нет никаких вариантов: "потенциальная" у него бесконечность или "актуальная" отличить невозможно, поскольку аксиоматика-то одна.
Вообще-то, в арифметике мы ничего о существовании натурального ряда сказать не можем, поскольку он натуральным числом не является, а объектами арифметики являются натуральные числа. Тем не менее, в арифметике мы можем говорить о множествах натуральных чисел, задавая их, скажем, формулами языка: $M=\{n:\varphi(n)\}$, где $\varphi(n)$ — формула с единственной свободной переменной $n$. Это даёт консервативное расширение языка арифметики. Натуральный ряд можно определить как множество $\mathbb N=\{n:n=n\}$.
Однако хочу напомнить Вам, что в арифметике (и не только в арифметике) квантор можно "навесить" только на переменную, а переменные (и константы) есть только для натуральных чисел. Написать $\forall c$ или $\exists c$, где $c$ — не переменная, нельзя.

epros в сообщении #812088 писал(а):
А вот относительно конструктивной математики я не совсем согласен. Ибо конструктивная логика как раз различает два вида существования: собственно "объект существует" и "объект не может не существовать". Причём из второго первое не обязательно следует. Я бы сказал, что первое - это как раз и есть "актуальное существование", а второе, соответственно, "потенциальное существование". Вы можете спросить, какое отношение это имеет к актуальности или потенциальности бесконечности.
Я не буду спрашивать, поскольку и сам знаю, что это не имеет никакого отношения не только к потенциальной или актуальной бесконечности, но и к бесконечности вообще.

epros в сообщении #812088 писал(а):
Я так полагаю, что правильнее говорить про "актуально существующий бесконечный объект (или множество)" и про "потенциально существующий бесконечный объект или множество". Раз уж в логике есть два вида существования, данные слова нормально формализуемы. Вот и всё, "актуальная" или "потенциальная" бесконечность - это всего лишь сокращённая форма тех же самых словосочетаний.
Это ерунда. В арифметике (не важно, конструктивистской или классический) множество $M=\{n:\varphi(n)\}$ безусловно считается существующим. А ваше предложение является бессмысленным, поскольку по правилам языка арифметики мы не можем написать ни $\exists M$, ни $\neg\exists M$, ни $\neg\neg\exists M$.

Что касается конструктивного рекурсивного анализа школы Маркова, то у них есть специальный язык для описания множеств, чтобы с множествами могли работать алгоритмы. И подход у них такой же: если множество определено (описано в этом языке), то оно существует. А его конечность или бесконечность к делу отношения не имеет.

bocharov в сообщении #812129 писал(а):
Аксиоматика чисел в математическом анализе построена именно на понятии "актуальная бесконечность"(см. "мощность множеств).
Это ерунда. Правда состоит в том, что в математике нет ни потенциальной, ни актуальной бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 20:51 


18/09/10
169
Someone в сообщении #812136 писал(а):
Это ерунда. Правда состоит в том, что в математике нет ни потенциальной, ни актуальной бесконечности.

А какая же есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 20:57 
Аватара пользователя


03/10/13
449
bocharov в сообщении #812152 писал(а):
А какая же есть?

Много всяких: бесконечные множества, бесконечно большие (при данной базе) функции, бесконечно удаленные точки в проективных пространствах, неограниченные подмножества в метрических пространствах, трансфинитные ординалы, нестандартные числа и ещё много чего. А вот «потенциальной» и «актуальной» нету, никто пока не определил... Видимо, перевозбуждения гуманитариев боятся. (:

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Someone в сообщении #812136 писал(а):
Вообще-то, в арифметике мы ничего о существовании натурального ряда сказать не можем, поскольку он натуральным числом не является, а объектами арифметики являются натуральные числа.
Совершенно согласен. Более того, даже записывать в арифметике свойство "является натуральным числом" - абсолютно бессмысленно, ибо оное свойство будет тривиальным, т.е. тождественно истинным.

Someone в сообщении #812136 писал(а):
Однако хочу напомнить Вам, что в арифметике (и не только в арифметике) квантор можно "навесить" только на переменную,
Разумеется речь о кванторе на переменной. И о теории, которая не только про натуральные числа. Например,теория множеств может определить нетривиальное (т.е. не тождественно истинное) свойство "является множеством натуральных чисел". И в ней можно записать утверждение о существовании данного объекта. Интересно, что слабые версии аксиоматики теории множеств (general set theory) даже не могут доказать данное утверждение (ZFC, конечно, может).

Someone в сообщении #812136 писал(а):
А ваше предложение является бессмысленным, поскольку по правилам языка арифметики мы не можем написать ни $\exists M$, ни $\neg\exists M$, ни $\neg\neg\exists M$.
По правилам языка исчисления предикатов первого порядка (не арифметики) мы можем записать утверждение о существовании объекта со свойством $\varphi$ либо как:

$\exists x \, \varphi(x)$

либо как:

$\neg \forall x \, \neg \varphi(x)$

С точки зрения классической логики эти утверждения равносильны. С точки зрения конструктивной логики первое из второго, вообще говоря, не выводится. Поэтому второе иногда именуют утверждением о "потенциальном существовании". Собственно, различия видов существования в конструктивной логике - это не моё изобретение, а давно известный факт.

Смысл утверждения о "потенциальном существовании" заключается в том, что на основании некоторой аксиоматики опровергнуто предположение о том, что ни один объект не обладает указанным свойством, однако ни один объект с данным свойством пока не известен.

Теперь скажите: Если в абзаце выше слова "обладает указанным свойством" заменить на "является бесконечным множеством", разве мы не получим утверждение о существовании пресловутой "потенциальной бесконечности"? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Видите ли, определение бесконечного множества — это отрицание его конечности:
"множество бесконечно" $=\neg$ "множество конечно".
То, что Вы предлагаете —
"неверно, что множество не является бесконечным" $=\neg\neg\neg$ "множество конечно"
содержит тройное отрицание, которое, по правилам интуиционистской логики, равносильно одному отрицанию, то есть,
$\neg$ "множество конечно" $=$ "множество бесконечно".
Ну не случайно ведь за сто лет никто "не додумался" до Вашей "потенциальной" бесконечности.

Замечание. Определение конечного множества не содержит отрицания:
"множество конечно" $=$ "существует натуральное число, равномощное данному множеству".
Поэтому в интуиционистской логике двойное отрицание
"неверно, что множество не является конечным" $=\neg\neg$ "множество конечно"
даёт более слабое свойство. Однако его отрицание по упомянутому правилу "тройное отрицание равносильно одному отрицанию" даёт ту же бесконечность:
$\neg\neg\neg$ "множество конечно" $=\neg$ "множество конечно" $=$ "множество бесконечно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Вероятно, если говорить о таком свойстве множества, как "конечность", то Вы правы. А если говорить просто о существовании самого множества? Например упомянутая выше GST не имеет в аксиоматике ничего, что позволяет доказать существование натурального ряда. Однако существование максимального натурального числа в ней опровержимо (ибо оно опровержимо в арифметике Пеано, аксиоматику которой GST включает). Стало быть, для утверждения о существовании натурального ряда в GST должна быть доказуема его неопровержимость (т.е. то самое двойное отрицание).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 02:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
epros в сообщении #812250 писал(а):
А если говорить просто о существовании самого множества?
То это не имеет никакого отношения к потенциальной и актуальной бесконечности.

epros в сообщении #812250 писал(а):
Например упомянутая выше GST не имеет в аксиоматике ничего, что позволяет доказать существование натурального ряда.
Разумеется.

epros в сообщении #812250 писал(а):
Однако существование максимального натурального числа в ней опровержимо (ибо оно опровержимо в арифметике Пеано, аксиоматику которой GST включает).
Нет, GST не включает аксиомы индукции, и они без аксиомы бесконечности не выводимы. (Кстати, прежде чем формулировать аксиомы индукции в GST, нужно определить натуральные числа.) Даже если мы для каждого натурального числа $n$ можем доказать высказывание $\varphi(n)$, отсюда ещё не следует высказывание $\forall n(''n\text{ -- натуральное число}''\Rightarrow\varphi(n))$. Смысл аксиомы индукции как раз в том и состоит, что она из высказывания $\varphi(0)$ и из цепочки единообразно доказываемых высказываний $\varphi(n)\Rightarrow\varphi(n+1)$ выводит общее высказывание $\forall n\varphi(n)$.
Но существование максимального натурального числа, видимо, опровержимо без аксиом индукции. Нам же нужно доказать, что если $n$ — какое-нибудь заданное натуральное число, то $n\cup\{n\}$ — тоже натуральное число.

-- Пт янв 10, 2014 03:45:28 --

epros в сообщении #812250 писал(а):
Стало быть, для утверждения о существовании натурального ряда в GST должна быть доказуема его неопровержимость (т.е. то самое двойное отрицание).
Это нечто странное. Разумеется, в GST нельзя доказать, что натуральный ряд не существует, поскольку есть модели GST, в которых натуральный ряд существует. Но доказать утверждение "неверно, что не существует" тоже нельзя, потому что есть модели, в которых он не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Кстати, я тут подумал, что хотя Ваши соображения про тройное отрицание правильные, но в данном случае речь всё же не о нём. Если $\varphi$ - это свойство "являться конечным" (не содержит отрицаний), то утверждение о потенциальном существовании бесконечности запишется так:

$\neg \forall x \, \varphi(x)$

В конструктивной логике из этого не обязательно следует:

$\exists x \, \neg \varphi(x)$

т.е. утверждение об актуальном существовании бесконечности. Как видите, здесь никакого снятия двух отрицаний из трёх нет.

Someone в сообщении #812303 писал(а):
То это не имеет никакого отношения к потенциальной и актуальной бесконечности.
Можно посчитать, что "потенциальное существование бесконечности" и "существование потенциальной бесконечности" - это принципиально разные вещи. Но, по-моему, произнося второе, скорее имеют в виду первое. Т.е. есть неточность в словоупотреблении, и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
epros в сообщении #812402 писал(а):
Можно посчитать, что "потенциальное существование бесконечности" и "существование потенциальной бесконечности" - это принципиально разные вещи. Но, по-моему, произнося второе, скорее имеют в виду первое.
Извините, но Вы уже заблудились в своих размышлениях. Разумеется, в конструктивной логике высказывания $\neg \forall x \, \varphi(x)$ и $\exists x \, \neg \varphi(x)$ не равносильны, но никто не называет это "потенциальным существованием" и "актуальным существованием", не говоря уже о том, что утверждении о "потенциальном существовании" бесконечного объекта — это совсем не то, что от Вас требовалось. Напомню, что первоначально речь шла об определениях потенциальной и актуальной бесконечностей, Вы же этот вопрос подменяете хорошо известной в конструктивной математике разницей между явным предъявлением объекта и косвенным доказательством того, что объект не может не существовать.
Что касается явного предъявления какого-нибудь бесконечного объекта в конструктивной математике, то их там полно, например, натуральный ряд, который определяется совершенно явным образом и во всех смыслах является конструктивным объектом — если исключить заведомо экстремистские направления типа финитизма, где бесконечные множества запрещены вообще, да и конечные допускаются только те, для которых явно указаны все элементы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Someone в сообщении #812434 писал(а):
но никто не называет это "потенциальным существованием" и "актуальным существованием"
А почему нет? Что неправильного в этих словах? По-моему, "косвенное доказательство того, что объект не может не существовать" - это и есть "потенциальное существование". В самом чистом и незамутнённом значении смыслов слов.

Someone в сообщении #812434 писал(а):
Напомню, что первоначально речь шла об определениях потенциальной и актуальной бесконечностей, Вы же этот вопрос подменяете ...
А мне кажется, что ничего я не "подменяю". Я говорю о том, что бесконечность может существовать "потенциально". И я полагаю это тем единственным смыслом, который следует вкладывать в словосочетание "потенциальная бесконечность". Т.е. это не свойство какой-то явно существующей бесконечности, а именно характеристика того смысла, в котором она существует.

Someone в сообщении #812434 писал(а):
Что касается явного предъявления какого-нибудь бесконечного объекта в конструктивной математике, то их там полно, например, натуральный ряд
Вольно ж Вам верить в существование подобных объектов, и даже приписывать эту веру всей конструктивной математике. А я в их существование в полной мере поверить не готов. Т.е. и в то, что "натуральный ряд" существует как некий целостный законченный объект, я поверю только тогда, когда его увижу (если это вообще возможно). В конструктивной математике тоже есть разные направления. Некоторые, может, и принимают безоговорочно на веру существование подобных объектов, не взирая на очевидное противоречие с интерпретацией BHK. Но мне с ними не по пути...

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
epros в сообщении #812445 писал(а):
А мне кажется, что ничего я не "подменяю". Я говорю о том, что бесконечность может существовать "потенциально".
Извините, но у меня полностью пропало желание продолжать с Вами дискуссию, которая, к тому же, не очень уместна в физическом разделе и возникла здесь случайно (хотя, похоже, некоторым физикам интересна). Согласитесь, однако, что утверждения "потенциально существует хотя бы один бесконечный объект" и "данный конкретный объект потенциально бесконечен", мягко выражаясь, не выглядят равносильными.

epros в сообщении #812445 писал(а):
А почему нет? Что неправильного в этих словах? По-моему, "косвенное доказательство того, что объект не может не существовать" - это и есть "потенциальное существование". В самом чистом и незамутнённом значении смыслов слов.
Ну, ежели Вам позарез хочется проявлять оригинальность и употреблять слова, которые больше никто не употребляет, я Вам этого запретить не могу.

epros в сообщении #812445 писал(а):
Вольно ж Вам верить в существование подобных объектов, и даже приписывать эту веру всей конструктивной математике.
Я читал учебную и научную литературу конструктивистского направления и видел, что конструктивисты школы Маркова обращаются с бесконечными множествами точно так же, как в классической математике, то есть, считают их безусловно существующими и изучают их свойства. Никакого "потенциального существования" они этим множествам не приписывают. Во введении к учебнику можно обнаружить рассуждения по поводу "потенциальной" и "актуальной" бесконечности, но, во-первых, это совершенно другой вопрос, нежели существование объекта с каким-либо свойством, во-вторых, как только кончаются философствования и начинается математика, обо всех этих рассуждениях сразу же забывают.

Всей конструктивной математике я этого не приписываю. Я уже писал, что есть направления, которые запрещают бесконечные множества вообще. Вероятно, Вам туда. Но не надо приписывать своих экстремистских взглядов всей конструктивной математике.

epros в сообщении #812445 писал(а):
В конструктивной математике тоже есть разные направления. Некоторые, может, и принимают безоговорочно на веру существование подобных объектов, не взирая на очевидное противоречие с интерпретацией BHK.
В упор не вижу никакого противоречия с этой интерпретацией. В ней нет ни одного слова ни про "потенциальную" или "актуальную" бесконечность, ни про "потенциальное" существование. Как может вызывать противоречия то, что даже невозможно выразить в языке теории?

epros в сообщении #812445 писал(а):
А я в их существование в полной мере поверить не готов.
Это Ваша личная проблема.
Поскольку позиции сторон уже выяснились, я думаю, что продолжение дискуссии не целесообразно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Someone в сообщении #812581 писал(а):
Согласитесь, однако, что утверждения "потенциально существует хотя бы один бесконечный объект" и "данный конкретный объект потенциально бесконечен", мягко выражаясь, не выглядят равносильными.
Я не говорю, что они равносильные. Я говорю,что второй вариант - недоразумение. Ибо тот, кто такое говорит, скорее всего должен был сказать: "данный конкретный бесконечный объект потенциально существует", просто он слегка перепутал порядок слов. :roll:

Someone в сообщении #812581 писал(а):
во-вторых, как только кончаются философствования и начинается математика, обо всех этих рассуждениях сразу же забывают
Кто-то забывает, а кто-то вдруг вспомнит? В том смысле, о котором я говорил выше, ведь нет математического криминала?

Someone в сообщении #812581 писал(а):
Но не надо приписывать своих экстремистских взглядов всей конструктивной математике.
Я своих "экстремистских" взглядов (а "экстремизм", напоминаю, заключается только в том, что я воздерживаюсь принимать на веру существование объектов, которых никто пока воочию не видел) никому не приписываю. Просто я считаю, что те "конструктивисты", которые не задумываясь принимают на веру безусловное существование бесконечностей, уже не совсем и конструктивисты. Это моё личное понимание "конструктивности" и ничего более.

Someone в сообщении #812581 писал(а):
В упор не вижу никакого противоречия с этой интерпретацией. В ней нет ни одного слова ни про "потенциальную" или "актуальную" бесконечность, ни про "потенциальное" существование.
Зато там есть совершенно чёткие слова о том, что существование объекта с данным свойством означает предъявление оного объекта. Обращаю внимание, что предъявление объекта - это не предъявление его имени, и даже не предъявление какой-либо его модели, а именно предъявление самого объекта.

Someone в сообщении #812581 писал(а):
Поскольку позиции сторон уже выяснились, я думаю, что продолжение дискуссии не целесообразно.
Как Вам будет угодно. Я Вашу точку зрения понимаю, уважаю, хотя и не принимаю. Надеюсь, что Вы не станете топтать меня ногами, если я где-нибудь когда-нибудь выскажусь в том плане, что у словосочетания "потенциальная бесконечность" всё же есть смысл?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 317 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 22  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group