Бесконечность

[epros]

Someone в сообщении #811949 писал(а):

Отсюда можно сделать вывод, что "актуальная" или "потенциальная" бесконечность является характеристикой не самого натурального ряда, а того, каким способом мы назначаем натуральным числам "моменты времени"

Мне кажется, что к характеристикам времени это не имеет непосредственного отношения. Натуральный ряд бесконечен, это известно. Но вот в каком смысле он существует? В классической логике смысл существования только один: выражаемый соответствующим квантором. Поэтому если мы хотим пользоваться натуральными числами, нам приходится принять существование бесконечного натурального ряда за аксиому. И тут нет никаких вариантов: "потенциальная" у него бесконечность или "актуальная" отличить невозможно, поскольку аксиоматика-то одна.

А вот относительно конструктивной математики я не совсем согласен. Ибо конструктивная логика как раз различает два вида существования: собственно "объект существует" и "объект не может не существовать". Причём из второго первое не обязательно следует. Я бы сказал, что первое - это как раз и есть "актуальное существование", а второе, соответственно, "потенциальное существование". Вы можете спросить, какое отношение это имеет к актуальности или потенциальности бесконечности. Я так полагаю, что правильнее говорить про "актуально существующий бесконечный объект (или множество)" и про "потенциально существующий бесконечный объект или множество". Раз уж в логике есть два вида существования, данные слова нормально формализуемы. Вот и всё, "актуальная" или "потенциальная" бесконечность - это всего лишь сокращённая форма тех же самых словосочетаний.

[bocharov]

epros в сообщении #812088 писал(а):

Поэтому если мы хотим пользоваться натуральными числами, нам приходится принять существование бесконечного натурального ряда за аксиому. И тут нет никаких вариантов: "потенциальная" у него бесконечность или "актуальная" отличить невозможно, поскольку аксиоматика-то одна.

Аксиоматика чисел в математическом анализе построена именно на понятии "актуальная бесконечность"(см. "мощность множеств).

[epros]

bocharov в сообщении #812129 писал(а):

Аксиоматика чисел в математическом анализе построена именно на понятии "актуальная бесконечность"(см. "мощность множеств).

Почему нельзя сказать то же самое, заменив слово "актуальная" на слово "потенциальная"?

[Someone]

epros в сообщении #812088 писал(а):

Мне кажется, что к характеристикам времени это не имеет непосредственного отношения. Натуральный ряд бесконечен, это известно. Но вот в каком смысле он существует? В классической логике смысл существования только один: выражаемый соответствующим квантором. Поэтому если мы хотим пользоваться натуральными числами, нам приходится принять существование бесконечного натурального ряда за аксиому. И тут нет никаких вариантов: "потенциальная" у него бесконечность или "актуальная" отличить невозможно, поскольку аксиоматика-то одна.

Вообще-то, в арифметике мы ничего о существовании натурального ряда сказать не можем, поскольку он натуральным числом не является, а объектами арифметики являются натуральные числа. Тем не менее, в арифметике мы можем говорить о множествах натуральных чисел, задавая их, скажем, формулами языка: $M=\{n:\varphi(n)\}$, где $\varphi(n)$ — формула с единственной свободной переменной $n$. Это даёт консервативное расширение языка арифметики. Натуральный ряд можно определить как множество $\mathbb N=\{n:n=n\}$.
Однако хочу напомнить Вам, что в арифметике (и не только в арифметике) квантор можно "навесить" только на переменную, а переменные (и константы) есть только для натуральных чисел. Написать $\forall c$ или $\exists c$, где $c$ — не переменная, нельзя.

epros в сообщении #812088 писал(а):

А вот относительно конструктивной математики я не совсем согласен. Ибо конструктивная логика как раз различает два вида существования: собственно "объект существует" и "объект не может не существовать". Причём из второго первое не обязательно следует. Я бы сказал, что первое - это как раз и есть "актуальное существование", а второе, соответственно, "потенциальное существование". Вы можете спросить, какое отношение это имеет к актуальности или потенциальности бесконечности.

Я не буду спрашивать, поскольку и сам знаю, что это не имеет никакого отношения не только к потенциальной или актуальной бесконечности, но и к бесконечности вообще.

epros в сообщении #812088 писал(а):

Я так полагаю, что правильнее говорить про "актуально существующий бесконечный объект (или множество)" и про "потенциально существующий бесконечный объект или множество". Раз уж в логике есть два вида существования, данные слова нормально формализуемы. Вот и всё, "актуальная" или "потенциальная" бесконечность - это всего лишь сокращённая форма тех же самых словосочетаний.

Это ерунда. В арифметике (не важно, конструктивистской или классический) множество $M=\{n:\varphi(n)\}$ безусловно считается существующим. А ваше предложение является бессмысленным, поскольку по правилам языка арифметики мы не можем написать ни $\exists M$, ни $\neg\exists M$, ни $\neg\neg\exists M$.

Что касается конструктивного рекурсивного анализа школы Маркова, то у них есть специальный язык для описания множеств, чтобы с множествами могли работать алгоритмы. И подход у них такой же: если множество определено (описано в этом языке), то оно существует. А его конечность или бесконечность к делу отношения не имеет.

bocharov в сообщении #812129 писал(а):

Аксиоматика чисел в математическом анализе построена именно на понятии "актуальная бесконечность"(см. "мощность множеств).

Это ерунда. Правда состоит в том, что в математике нет ни потенциальной, ни актуальной бесконечности.

[bocharov]

Someone в сообщении #812136 писал(а):

Это ерунда. Правда состоит в том, что в математике нет ни потенциальной, ни актуальной бесконечности.

А какая же есть?

[Urnwestek]

bocharov в сообщении #812152 писал(а):

А какая же есть?

Много всяких: бесконечные множества, бесконечно большие (при данной базе) функции, бесконечно удаленные точки в проективных пространствах, неограниченные подмножества в метрических пространствах, трансфинитные ординалы, нестандартные числа и ещё много чего. А вот «потенциальной» и «актуальной» нету, никто пока не определил... Видимо, перевозбуждения гуманитариев боятся. (:

[epros]

Someone в сообщении #812136 писал(а):

Вообще-то, в арифметике мы ничего о существовании натурального ряда сказать не можем, поскольку он натуральным числом не является, а объектами арифметики являются натуральные числа.

Совершенно согласен. Более того, даже записывать в арифметике свойство "является натуральным числом" - абсолютно бессмысленно, ибо оное свойство будет тривиальным, т.е. тождественно истинным.

Someone в сообщении #812136 писал(а):

Однако хочу напомнить Вам, что в арифметике (и не только в арифметике) квантор можно "навесить" только на переменную,

Разумеется речь о кванторе на переменной. И о теории, которая не только про натуральные числа. Например,теория множеств может определить нетривиальное (т.е. не тождественно истинное) свойство "является множеством натуральных чисел". И в ней можно записать утверждение о существовании данного объекта. Интересно, что слабые версии аксиоматики теории множеств (general set theory) даже не могут доказать данное утверждение (ZFC, конечно, может).

Someone в сообщении #812136 писал(а):

А ваше предложение является бессмысленным, поскольку по правилам языка арифметики мы не можем написать ни $\exists M$, ни $\neg\exists M$, ни $\neg\neg\exists M$.

По правилам языка исчисления предикатов первого порядка (не арифметики) мы можем записать утверждение о существовании объекта со свойством $\varphi$ либо как:

$\exists x \, \varphi(x)$

либо как:

$\neg \forall x \, \neg \varphi(x)$

С точки зрения классической логики эти утверждения равносильны. С точки зрения конструктивной логики первое из второго, вообще говоря, не выводится. Поэтому второе иногда именуют утверждением о "потенциальном существовании". Собственно, различия видов существования в конструктивной логике - это не моё изобретение, а давно известный факт.

Смысл утверждения о "потенциальном существовании" заключается в том, что на основании некоторой аксиоматики опровергнуто предположение о том, что ни один объект не обладает указанным свойством, однако ни один объект с данным свойством пока не известен.

Теперь скажите: Если в абзаце выше слова "обладает указанным свойством" заменить на "является бесконечным множеством", разве мы не получим утверждение о существовании пресловутой "потенциальной бесконечности"?

[Someone]

Видите ли, определение бесконечного множества — это отрицание его конечности:

"множество бесконечно" $=\neg$ "множество конечно".

То, что Вы предлагаете —

"неверно, что множество не является бесконечным" $=\neg\neg\neg$ "множество конечно" —

содержит тройное отрицание, которое, по правилам интуиционистской логики, равносильно одному отрицанию, то есть,

$\neg$ "множество конечно" $=$ "множество бесконечно".

Ну не случайно ведь за сто лет никто "не додумался" до Вашей "потенциальной" бесконечности.

Замечание. Определение конечного множества не содержит отрицания:

"множество конечно" $=$ "существует натуральное число, равномощное данному множеству".

Поэтому в интуиционистской логике двойное отрицание

"неверно, что множество не является конечным" $=\neg\neg$ "множество конечно"

даёт более слабое свойство. Однако его отрицание по упомянутому правилу "тройное отрицание равносильно одному отрицанию" даёт ту же бесконечность:

$\neg\neg\neg$ "множество конечно" $=\neg$ "множество конечно" $=$ "множество бесконечно".

[epros]

Вероятно, если говорить о таком свойстве множества, как "конечность", то Вы правы. А если говорить просто о существовании самого множества? Например упомянутая выше GST не имеет в аксиоматике ничего, что позволяет доказать существование натурального ряда. Однако существование максимального натурального числа в ней опровержимо (ибо оно опровержимо в арифметике Пеано, аксиоматику которой GST включает). Стало быть, для утверждения о существовании натурального ряда в GST должна быть доказуема его неопровержимость (т.е. то самое двойное отрицание).

[Someone]

epros в сообщении #812250 писал(а):

А если говорить просто о существовании самого множества?

То это не имеет никакого отношения к потенциальной и актуальной бесконечности.

epros в сообщении #812250 писал(а):

Например упомянутая выше GST не имеет в аксиоматике ничего, что позволяет доказать существование натурального ряда.

Разумеется.

epros в сообщении #812250 писал(а):

Однако существование максимального натурального числа в ней опровержимо (ибо оно опровержимо в арифметике Пеано, аксиоматику которой GST включает).

Нет, GST не включает аксиомы индукции, и они без аксиомы бесконечности не выводимы. (Кстати, прежде чем формулировать аксиомы индукции в GST, нужно определить натуральные числа.) Даже если мы для каждого натурального числа $n$ можем доказать высказывание $\varphi(n)$, отсюда ещё не следует высказывание $\forall n(''n\text{ -- натуральное число}''\Rightarrow\varphi(n))$. Смысл аксиомы индукции как раз в том и состоит, что она из высказывания $\varphi(0)$ и из цепочки единообразно доказываемых высказываний $\varphi(n)\Rightarrow\varphi(n+1)$ выводит общее высказывание $\forall n\varphi(n)$.
Но существование максимального натурального числа, видимо, опровержимо без аксиом индукции. Нам же нужно доказать, что если $n$ — какое-нибудь заданное натуральное число, то $n\cup\{n\}$ — тоже натуральное число.

-- Пт янв 10, 2014 03:45:28 --

epros в сообщении #812250 писал(а):

Стало быть, для утверждения о существовании натурального ряда в GST должна быть доказуема его неопровержимость (т.е. то самое двойное отрицание).

Это нечто странное. Разумеется, в GST нельзя доказать, что натуральный ряд не существует, поскольку есть модели GST, в которых натуральный ряд существует. Но доказать утверждение "неверно, что не существует" тоже нельзя, потому что есть модели, в которых он не существует.

[epros]

Кстати, я тут подумал, что хотя Ваши соображения про тройное отрицание правильные, но в данном случае речь всё же не о нём. Если $\varphi$ - это свойство "являться конечным" (не содержит отрицаний), то утверждение о потенциальном существовании бесконечности запишется так:

$\neg \forall x \, \varphi(x)$

В конструктивной логике из этого не обязательно следует:

$\exists x \, \neg \varphi(x)$

т.е. утверждение об актуальном существовании бесконечности. Как видите, здесь никакого снятия двух отрицаний из трёх нет.

Someone в сообщении #812303 писал(а):

То это не имеет никакого отношения к потенциальной и актуальной бесконечности.

Можно посчитать, что "потенциальное существование бесконечности" и "существование потенциальной бесконечности" - это принципиально разные вещи. Но, по-моему, произнося второе, скорее имеют в виду первое. Т.е. есть неточность в словоупотреблении, и всё.

[Someone]

epros в сообщении #812402 писал(а):

Можно посчитать, что "потенциальное существование бесконечности" и "существование потенциальной бесконечности" - это принципиально разные вещи. Но, по-моему, произнося второе, скорее имеют в виду первое.

Извините, но Вы уже заблудились в своих размышлениях. Разумеется, в конструктивной логике высказывания $\neg \forall x \, \varphi(x)$ и $\exists x \, \neg \varphi(x)$ не равносильны, но никто не называет это "потенциальным существованием" и "актуальным существованием", не говоря уже о том, что утверждении о "потенциальном существовании" бесконечного объекта — это совсем не то, что от Вас требовалось. Напомню, что первоначально речь шла об определениях потенциальной и актуальной бесконечностей, Вы же этот вопрос подменяете хорошо известной в конструктивной математике разницей между явным предъявлением объекта и косвенным доказательством того, что объект не может не существовать.
Что касается явного предъявления какого-нибудь бесконечного объекта в конструктивной математике, то их там полно, например, натуральный ряд, который определяется совершенно явным образом и во всех смыслах является конструктивным объектом — если исключить заведомо экстремистские направления типа финитизма, где бесконечные множества запрещены вообще, да и конечные допускаются только те, для которых явно указаны все элементы.

[epros]

Someone в сообщении #812434 писал(а):

но никто не называет это "потенциальным существованием" и "актуальным существованием"

А почему нет? Что неправильного в этих словах? По-моему, "косвенное доказательство того, что объект не может не существовать" - это и есть "потенциальное существование". В самом чистом и незамутнённом значении смыслов слов.

Someone в сообщении #812434 писал(а):

Напомню, что первоначально речь шла об определениях потенциальной и актуальной бесконечностей, Вы же этот вопрос подменяете ...

А мне кажется, что ничего я не "подменяю". Я говорю о том, что бесконечность может существовать "потенциально". И я полагаю это тем единственным смыслом, который следует вкладывать в словосочетание "потенциальная бесконечность". Т.е. это не свойство какой-то явно существующей бесконечности, а именно характеристика того смысла, в котором она существует.

Someone в сообщении #812434 писал(а):

Что касается явного предъявления какого-нибудь бесконечного объекта в конструктивной математике, то их там полно, например, натуральный ряд

Вольно ж Вам верить в существование подобных объектов, и даже приписывать эту веру всей конструктивной математике. А я в их существование в полной мере поверить не готов. Т.е. и в то, что "натуральный ряд" существует как некий целостный законченный объект, я поверю только тогда, когда его увижу (если это вообще возможно). В конструктивной математике тоже есть разные направления. Некоторые, может, и принимают безоговорочно на веру существование подобных объектов, не взирая на очевидное противоречие с интерпретацией BHK. Но мне с ними не по пути...

[Someone]

epros в сообщении #812445 писал(а):

А мне кажется, что ничего я не "подменяю". Я говорю о том, что бесконечность может существовать "потенциально".

Извините, но у меня полностью пропало желание продолжать с Вами дискуссию, которая, к тому же, не очень уместна в физическом разделе и возникла здесь случайно (хотя, похоже, некоторым физикам интересна). Согласитесь, однако, что утверждения "потенциально существует хотя бы один бесконечный объект" и "данный конкретный объект потенциально бесконечен", мягко выражаясь, не выглядят равносильными.

epros в сообщении #812445 писал(а):

А почему нет? Что неправильного в этих словах? По-моему, "косвенное доказательство того, что объект не может не существовать" - это и есть "потенциальное существование". В самом чистом и незамутнённом значении смыслов слов.

Ну, ежели Вам позарез хочется проявлять оригинальность и употреблять слова, которые больше никто не употребляет, я Вам этого запретить не могу.

epros в сообщении #812445 писал(а):

Вольно ж Вам верить в существование подобных объектов, и даже приписывать эту веру всей конструктивной математике.

Я читал учебную и научную литературу конструктивистского направления и видел, что конструктивисты школы Маркова обращаются с бесконечными множествами точно так же, как в классической математике, то есть, считают их безусловно существующими и изучают их свойства. Никакого "потенциального существования" они этим множествам не приписывают. Во введении к учебнику можно обнаружить рассуждения по поводу "потенциальной" и "актуальной" бесконечности, но, во-первых, это совершенно другой вопрос, нежели существование объекта с каким-либо свойством, во-вторых, как только кончаются философствования и начинается математика, обо всех этих рассуждениях сразу же забывают.

Всей конструктивной математике я этого не приписываю. Я уже писал, что есть направления, которые запрещают бесконечные множества вообще. Вероятно, Вам туда. Но не надо приписывать своих экстремистских взглядов всей конструктивной математике.

epros в сообщении #812445 писал(а):

В конструктивной математике тоже есть разные направления. Некоторые, может, и принимают безоговорочно на веру существование подобных объектов, не взирая на очевидное противоречие с интерпретацией BHK.

В упор не вижу никакого противоречия с этой интерпретацией. В ней нет ни одного слова ни про "потенциальную" или "актуальную" бесконечность, ни про "потенциальное" существование. Как может вызывать противоречия то, что даже невозможно выразить в языке теории?

epros в сообщении #812445 писал(а):

А я в их существование в полной мере поверить не готов.

Это Ваша личная проблема.
Поскольку позиции сторон уже выяснились, я думаю, что продолжение дискуссии не целесообразно.

[epros]

Someone в сообщении #812581 писал(а):

Согласитесь, однако, что утверждения "потенциально существует хотя бы один бесконечный объект" и "данный конкретный объект потенциально бесконечен", мягко выражаясь, не выглядят равносильными.

Я не говорю, что они равносильные. Я говорю,что второй вариант - недоразумение. Ибо тот, кто такое говорит, скорее всего должен был сказать: "данный конкретный бесконечный объект потенциально существует", просто он слегка перепутал порядок слов.

Someone в сообщении #812581 писал(а):

во-вторых, как только кончаются философствования и начинается математика, обо всех этих рассуждениях сразу же забывают

Кто-то забывает, а кто-то вдруг вспомнит? В том смысле, о котором я говорил выше, ведь нет математического криминала?

Someone в сообщении #812581 писал(а):

Но не надо приписывать своих экстремистских взглядов всей конструктивной математике.

Я своих "экстремистских" взглядов (а "экстремизм", напоминаю, заключается только в том, что я воздерживаюсь принимать на веру существование объектов, которых никто пока воочию не видел) никому не приписываю. Просто я считаю, что те "конструктивисты", которые не задумываясь принимают на веру безусловное существование бесконечностей, уже не совсем и конструктивисты. Это моё личное понимание "конструктивности" и ничего более.

Someone в сообщении #812581 писал(а):

В упор не вижу никакого противоречия с этой интерпретацией. В ней нет ни одного слова ни про "потенциальную" или "актуальную" бесконечность, ни про "потенциальное" существование.

Зато там есть совершенно чёткие слова о том, что существование объекта с данным свойством означает предъявление оного объекта. Обращаю внимание, что предъявление объекта - это не предъявление его имени, и даже не предъявление какой-либо его модели, а именно предъявление самого объекта.

Someone в сообщении #812581 писал(а):

Поскольку позиции сторон уже выяснились, я думаю, что продолжение дискуссии не целесообразно.

Как Вам будет угодно. Я Вашу точку зрения понимаю, уважаю, хотя и не принимаю. Надеюсь, что Вы не станете топтать меня ногами, если я где-нибудь когда-нибудь выскажусь в том плане, что у словосочетания "потенциальная бесконечность" всё же есть смысл?