2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 22  След.
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
Someone в сообщении #811949 писал(а):
Отсюда можно сделать вывод, что "актуальная" или "потенциальная" бесконечность является характеристикой не самого натурального ряда, а того, каким способом мы назначаем натуральным числам "моменты времени"
Мне кажется, что к характеристикам времени это не имеет непосредственного отношения. Натуральный ряд бесконечен, это известно. Но вот в каком смысле он существует? В классической логике смысл существования только один: выражаемый соответствующим квантором. Поэтому если мы хотим пользоваться натуральными числами, нам приходится принять существование бесконечного натурального ряда за аксиому. И тут нет никаких вариантов: "потенциальная" у него бесконечность или "актуальная" отличить невозможно, поскольку аксиоматика-то одна.

А вот относительно конструктивной математики я не совсем согласен. Ибо конструктивная логика как раз различает два вида существования: собственно "объект существует" и "объект не может не существовать". Причём из второго первое не обязательно следует. Я бы сказал, что первое - это как раз и есть "актуальное существование", а второе, соответственно, "потенциальное существование". Вы можете спросить, какое отношение это имеет к актуальности или потенциальности бесконечности. Я так полагаю, что правильнее говорить про "актуально существующий бесконечный объект (или множество)" и про "потенциально существующий бесконечный объект или множество". Раз уж в логике есть два вида существования, данные слова нормально формализуемы. Вот и всё, "актуальная" или "потенциальная" бесконечность - это всего лишь сокращённая форма тех же самых словосочетаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 19:59 


18/09/10
169
epros в сообщении #812088 писал(а):
Поэтому если мы хотим пользоваться натуральными числами, нам приходится принять существование бесконечного натурального ряда за аксиому. И тут нет никаких вариантов: "потенциальная" у него бесконечность или "актуальная" отличить невозможно, поскольку аксиоматика-то одна.

Аксиоматика чисел в математическом анализе построена именно на понятии "актуальная бесконечность"(см. "мощность множеств).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
bocharov в сообщении #812129 писал(а):
Аксиоматика чисел в математическом анализе построена именно на понятии "актуальная бесконечность"(см. "мощность множеств).
Почему нельзя сказать то же самое, заменив слово "актуальная" на слово "потенциальная"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
epros в сообщении #812088 писал(а):
Мне кажется, что к характеристикам времени это не имеет непосредственного отношения. Натуральный ряд бесконечен, это известно. Но вот в каком смысле он существует? В классической логике смысл существования только один: выражаемый соответствующим квантором. Поэтому если мы хотим пользоваться натуральными числами, нам приходится принять существование бесконечного натурального ряда за аксиому. И тут нет никаких вариантов: "потенциальная" у него бесконечность или "актуальная" отличить невозможно, поскольку аксиоматика-то одна.
Вообще-то, в арифметике мы ничего о существовании натурального ряда сказать не можем, поскольку он натуральным числом не является, а объектами арифметики являются натуральные числа. Тем не менее, в арифметике мы можем говорить о множествах натуральных чисел, задавая их, скажем, формулами языка: $M=\{n:\varphi(n)\}$, где $\varphi(n)$ — формула с единственной свободной переменной $n$. Это даёт консервативное расширение языка арифметики. Натуральный ряд можно определить как множество $\mathbb N=\{n:n=n\}$.
Однако хочу напомнить Вам, что в арифметике (и не только в арифметике) квантор можно "навесить" только на переменную, а переменные (и константы) есть только для натуральных чисел. Написать $\forall c$ или $\exists c$, где $c$ — не переменная, нельзя.

epros в сообщении #812088 писал(а):
А вот относительно конструктивной математики я не совсем согласен. Ибо конструктивная логика как раз различает два вида существования: собственно "объект существует" и "объект не может не существовать". Причём из второго первое не обязательно следует. Я бы сказал, что первое - это как раз и есть "актуальное существование", а второе, соответственно, "потенциальное существование". Вы можете спросить, какое отношение это имеет к актуальности или потенциальности бесконечности.
Я не буду спрашивать, поскольку и сам знаю, что это не имеет никакого отношения не только к потенциальной или актуальной бесконечности, но и к бесконечности вообще.

epros в сообщении #812088 писал(а):
Я так полагаю, что правильнее говорить про "актуально существующий бесконечный объект (или множество)" и про "потенциально существующий бесконечный объект или множество". Раз уж в логике есть два вида существования, данные слова нормально формализуемы. Вот и всё, "актуальная" или "потенциальная" бесконечность - это всего лишь сокращённая форма тех же самых словосочетаний.
Это ерунда. В арифметике (не важно, конструктивистской или классический) множество $M=\{n:\varphi(n)\}$ безусловно считается существующим. А ваше предложение является бессмысленным, поскольку по правилам языка арифметики мы не можем написать ни $\exists M$, ни $\neg\exists M$, ни $\neg\neg\exists M$.

Что касается конструктивного рекурсивного анализа школы Маркова, то у них есть специальный язык для описания множеств, чтобы с множествами могли работать алгоритмы. И подход у них такой же: если множество определено (описано в этом языке), то оно существует. А его конечность или бесконечность к делу отношения не имеет.

bocharov в сообщении #812129 писал(а):
Аксиоматика чисел в математическом анализе построена именно на понятии "актуальная бесконечность"(см. "мощность множеств).
Это ерунда. Правда состоит в том, что в математике нет ни потенциальной, ни актуальной бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 20:51 


18/09/10
169
Someone в сообщении #812136 писал(а):
Это ерунда. Правда состоит в том, что в математике нет ни потенциальной, ни актуальной бесконечности.

А какая же есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 20:57 
Аватара пользователя


03/10/13
449
bocharov в сообщении #812152 писал(а):
А какая же есть?

Много всяких: бесконечные множества, бесконечно большие (при данной базе) функции, бесконечно удаленные точки в проективных пространствах, неограниченные подмножества в метрических пространствах, трансфинитные ординалы, нестандартные числа и ещё много чего. А вот «потенциальной» и «актуальной» нету, никто пока не определил... Видимо, перевозбуждения гуманитариев боятся. (:

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
Someone в сообщении #812136 писал(а):
Вообще-то, в арифметике мы ничего о существовании натурального ряда сказать не можем, поскольку он натуральным числом не является, а объектами арифметики являются натуральные числа.
Совершенно согласен. Более того, даже записывать в арифметике свойство "является натуральным числом" - абсолютно бессмысленно, ибо оное свойство будет тривиальным, т.е. тождественно истинным.

Someone в сообщении #812136 писал(а):
Однако хочу напомнить Вам, что в арифметике (и не только в арифметике) квантор можно "навесить" только на переменную,
Разумеется речь о кванторе на переменной. И о теории, которая не только про натуральные числа. Например,теория множеств может определить нетривиальное (т.е. не тождественно истинное) свойство "является множеством натуральных чисел". И в ней можно записать утверждение о существовании данного объекта. Интересно, что слабые версии аксиоматики теории множеств (general set theory) даже не могут доказать данное утверждение (ZFC, конечно, может).

Someone в сообщении #812136 писал(а):
А ваше предложение является бессмысленным, поскольку по правилам языка арифметики мы не можем написать ни $\exists M$, ни $\neg\exists M$, ни $\neg\neg\exists M$.
По правилам языка исчисления предикатов первого порядка (не арифметики) мы можем записать утверждение о существовании объекта со свойством $\varphi$ либо как:

$\exists x \, \varphi(x)$

либо как:

$\neg \forall x \, \neg \varphi(x)$

С точки зрения классической логики эти утверждения равносильны. С точки зрения конструктивной логики первое из второго, вообще говоря, не выводится. Поэтому второе иногда именуют утверждением о "потенциальном существовании". Собственно, различия видов существования в конструктивной логике - это не моё изобретение, а давно известный факт.

Смысл утверждения о "потенциальном существовании" заключается в том, что на основании некоторой аксиоматики опровергнуто предположение о том, что ни один объект не обладает указанным свойством, однако ни один объект с данным свойством пока не известен.

Теперь скажите: Если в абзаце выше слова "обладает указанным свойством" заменить на "является бесконечным множеством", разве мы не получим утверждение о существовании пресловутой "потенциальной бесконечности"? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Видите ли, определение бесконечного множества — это отрицание его конечности:
"множество бесконечно" $=\neg$ "множество конечно".
То, что Вы предлагаете —
"неверно, что множество не является бесконечным" $=\neg\neg\neg$ "множество конечно"
содержит тройное отрицание, которое, по правилам интуиционистской логики, равносильно одному отрицанию, то есть,
$\neg$ "множество конечно" $=$ "множество бесконечно".
Ну не случайно ведь за сто лет никто "не додумался" до Вашей "потенциальной" бесконечности.

Замечание. Определение конечного множества не содержит отрицания:
"множество конечно" $=$ "существует натуральное число, равномощное данному множеству".
Поэтому в интуиционистской логике двойное отрицание
"неверно, что множество не является конечным" $=\neg\neg$ "множество конечно"
даёт более слабое свойство. Однако его отрицание по упомянутому правилу "тройное отрицание равносильно одному отрицанию" даёт ту же бесконечность:
$\neg\neg\neg$ "множество конечно" $=\neg$ "множество конечно" $=$ "множество бесконечно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение09.01.2014, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
Вероятно, если говорить о таком свойстве множества, как "конечность", то Вы правы. А если говорить просто о существовании самого множества? Например упомянутая выше GST не имеет в аксиоматике ничего, что позволяет доказать существование натурального ряда. Однако существование максимального натурального числа в ней опровержимо (ибо оно опровержимо в арифметике Пеано, аксиоматику которой GST включает). Стало быть, для утверждения о существовании натурального ряда в GST должна быть доказуема его неопровержимость (т.е. то самое двойное отрицание).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 02:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
epros в сообщении #812250 писал(а):
А если говорить просто о существовании самого множества?
То это не имеет никакого отношения к потенциальной и актуальной бесконечности.

epros в сообщении #812250 писал(а):
Например упомянутая выше GST не имеет в аксиоматике ничего, что позволяет доказать существование натурального ряда.
Разумеется.

epros в сообщении #812250 писал(а):
Однако существование максимального натурального числа в ней опровержимо (ибо оно опровержимо в арифметике Пеано, аксиоматику которой GST включает).
Нет, GST не включает аксиомы индукции, и они без аксиомы бесконечности не выводимы. (Кстати, прежде чем формулировать аксиомы индукции в GST, нужно определить натуральные числа.) Даже если мы для каждого натурального числа $n$ можем доказать высказывание $\varphi(n)$, отсюда ещё не следует высказывание $\forall n(''n\text{ -- натуральное число}''\Rightarrow\varphi(n))$. Смысл аксиомы индукции как раз в том и состоит, что она из высказывания $\varphi(0)$ и из цепочки единообразно доказываемых высказываний $\varphi(n)\Rightarrow\varphi(n+1)$ выводит общее высказывание $\forall n\varphi(n)$.
Но существование максимального натурального числа, видимо, опровержимо без аксиом индукции. Нам же нужно доказать, что если $n$ — какое-нибудь заданное натуральное число, то $n\cup\{n\}$ — тоже натуральное число.

-- Пт янв 10, 2014 03:45:28 --

epros в сообщении #812250 писал(а):
Стало быть, для утверждения о существовании натурального ряда в GST должна быть доказуема его неопровержимость (т.е. то самое двойное отрицание).
Это нечто странное. Разумеется, в GST нельзя доказать, что натуральный ряд не существует, поскольку есть модели GST, в которых натуральный ряд существует. Но доказать утверждение "неверно, что не существует" тоже нельзя, потому что есть модели, в которых он не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
Кстати, я тут подумал, что хотя Ваши соображения про тройное отрицание правильные, но в данном случае речь всё же не о нём. Если $\varphi$ - это свойство "являться конечным" (не содержит отрицаний), то утверждение о потенциальном существовании бесконечности запишется так:

$\neg \forall x \, \varphi(x)$

В конструктивной логике из этого не обязательно следует:

$\exists x \, \neg \varphi(x)$

т.е. утверждение об актуальном существовании бесконечности. Как видите, здесь никакого снятия двух отрицаний из трёх нет.

Someone в сообщении #812303 писал(а):
То это не имеет никакого отношения к потенциальной и актуальной бесконечности.
Можно посчитать, что "потенциальное существование бесконечности" и "существование потенциальной бесконечности" - это принципиально разные вещи. Но, по-моему, произнося второе, скорее имеют в виду первое. Т.е. есть неточность в словоупотреблении, и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
epros в сообщении #812402 писал(а):
Можно посчитать, что "потенциальное существование бесконечности" и "существование потенциальной бесконечности" - это принципиально разные вещи. Но, по-моему, произнося второе, скорее имеют в виду первое.
Извините, но Вы уже заблудились в своих размышлениях. Разумеется, в конструктивной логике высказывания $\neg \forall x \, \varphi(x)$ и $\exists x \, \neg \varphi(x)$ не равносильны, но никто не называет это "потенциальным существованием" и "актуальным существованием", не говоря уже о том, что утверждении о "потенциальном существовании" бесконечного объекта — это совсем не то, что от Вас требовалось. Напомню, что первоначально речь шла об определениях потенциальной и актуальной бесконечностей, Вы же этот вопрос подменяете хорошо известной в конструктивной математике разницей между явным предъявлением объекта и косвенным доказательством того, что объект не может не существовать.
Что касается явного предъявления какого-нибудь бесконечного объекта в конструктивной математике, то их там полно, например, натуральный ряд, который определяется совершенно явным образом и во всех смыслах является конструктивным объектом — если исключить заведомо экстремистские направления типа финитизма, где бесконечные множества запрещены вообще, да и конечные допускаются только те, для которых явно указаны все элементы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
Someone в сообщении #812434 писал(а):
но никто не называет это "потенциальным существованием" и "актуальным существованием"
А почему нет? Что неправильного в этих словах? По-моему, "косвенное доказательство того, что объект не может не существовать" - это и есть "потенциальное существование". В самом чистом и незамутнённом значении смыслов слов.

Someone в сообщении #812434 писал(а):
Напомню, что первоначально речь шла об определениях потенциальной и актуальной бесконечностей, Вы же этот вопрос подменяете ...
А мне кажется, что ничего я не "подменяю". Я говорю о том, что бесконечность может существовать "потенциально". И я полагаю это тем единственным смыслом, который следует вкладывать в словосочетание "потенциальная бесконечность". Т.е. это не свойство какой-то явно существующей бесконечности, а именно характеристика того смысла, в котором она существует.

Someone в сообщении #812434 писал(а):
Что касается явного предъявления какого-нибудь бесконечного объекта в конструктивной математике, то их там полно, например, натуральный ряд
Вольно ж Вам верить в существование подобных объектов, и даже приписывать эту веру всей конструктивной математике. А я в их существование в полной мере поверить не готов. Т.е. и в то, что "натуральный ряд" существует как некий целостный законченный объект, я поверю только тогда, когда его увижу (если это вообще возможно). В конструктивной математике тоже есть разные направления. Некоторые, может, и принимают безоговорочно на веру существование подобных объектов, не взирая на очевидное противоречие с интерпретацией BHK. Но мне с ними не по пути...

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
epros в сообщении #812445 писал(а):
А мне кажется, что ничего я не "подменяю". Я говорю о том, что бесконечность может существовать "потенциально".
Извините, но у меня полностью пропало желание продолжать с Вами дискуссию, которая, к тому же, не очень уместна в физическом разделе и возникла здесь случайно (хотя, похоже, некоторым физикам интересна). Согласитесь, однако, что утверждения "потенциально существует хотя бы один бесконечный объект" и "данный конкретный объект потенциально бесконечен", мягко выражаясь, не выглядят равносильными.

epros в сообщении #812445 писал(а):
А почему нет? Что неправильного в этих словах? По-моему, "косвенное доказательство того, что объект не может не существовать" - это и есть "потенциальное существование". В самом чистом и незамутнённом значении смыслов слов.
Ну, ежели Вам позарез хочется проявлять оригинальность и употреблять слова, которые больше никто не употребляет, я Вам этого запретить не могу.

epros в сообщении #812445 писал(а):
Вольно ж Вам верить в существование подобных объектов, и даже приписывать эту веру всей конструктивной математике.
Я читал учебную и научную литературу конструктивистского направления и видел, что конструктивисты школы Маркова обращаются с бесконечными множествами точно так же, как в классической математике, то есть, считают их безусловно существующими и изучают их свойства. Никакого "потенциального существования" они этим множествам не приписывают. Во введении к учебнику можно обнаружить рассуждения по поводу "потенциальной" и "актуальной" бесконечности, но, во-первых, это совершенно другой вопрос, нежели существование объекта с каким-либо свойством, во-вторых, как только кончаются философствования и начинается математика, обо всех этих рассуждениях сразу же забывают.

Всей конструктивной математике я этого не приписываю. Я уже писал, что есть направления, которые запрещают бесконечные множества вообще. Вероятно, Вам туда. Но не надо приписывать своих экстремистских взглядов всей конструктивной математике.

epros в сообщении #812445 писал(а):
В конструктивной математике тоже есть разные направления. Некоторые, может, и принимают безоговорочно на веру существование подобных объектов, не взирая на очевидное противоречие с интерпретацией BHK.
В упор не вижу никакого противоречия с этой интерпретацией. В ней нет ни одного слова ни про "потенциальную" или "актуальную" бесконечность, ни про "потенциальное" существование. Как может вызывать противоречия то, что даже невозможно выразить в языке теории?

epros в сообщении #812445 писал(а):
А я в их существование в полной мере поверить не готов.
Это Ваша личная проблема.
Поскольку позиции сторон уже выяснились, я думаю, что продолжение дискуссии не целесообразно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность
Сообщение10.01.2014, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
Someone в сообщении #812581 писал(а):
Согласитесь, однако, что утверждения "потенциально существует хотя бы один бесконечный объект" и "данный конкретный объект потенциально бесконечен", мягко выражаясь, не выглядят равносильными.
Я не говорю, что они равносильные. Я говорю,что второй вариант - недоразумение. Ибо тот, кто такое говорит, скорее всего должен был сказать: "данный конкретный бесконечный объект потенциально существует", просто он слегка перепутал порядок слов. :roll:

Someone в сообщении #812581 писал(а):
во-вторых, как только кончаются философствования и начинается математика, обо всех этих рассуждениях сразу же забывают
Кто-то забывает, а кто-то вдруг вспомнит? В том смысле, о котором я говорил выше, ведь нет математического криминала?

Someone в сообщении #812581 писал(а):
Но не надо приписывать своих экстремистских взглядов всей конструктивной математике.
Я своих "экстремистских" взглядов (а "экстремизм", напоминаю, заключается только в том, что я воздерживаюсь принимать на веру существование объектов, которых никто пока воочию не видел) никому не приписываю. Просто я считаю, что те "конструктивисты", которые не задумываясь принимают на веру безусловное существование бесконечностей, уже не совсем и конструктивисты. Это моё личное понимание "конструктивности" и ничего более.

Someone в сообщении #812581 писал(а):
В упор не вижу никакого противоречия с этой интерпретацией. В ней нет ни одного слова ни про "потенциальную" или "актуальную" бесконечность, ни про "потенциальное" существование.
Зато там есть совершенно чёткие слова о том, что существование объекта с данным свойством означает предъявление оного объекта. Обращаю внимание, что предъявление объекта - это не предъявление его имени, и даже не предъявление какой-либо его модели, а именно предъявление самого объекта.

Someone в сообщении #812581 писал(а):
Поскольку позиции сторон уже выяснились, я думаю, что продолжение дискуссии не целесообразно.
Как Вам будет угодно. Я Вашу точку зрения понимаю, уважаю, хотя и не принимаю. Надеюсь, что Вы не станете топтать меня ногами, если я где-нибудь когда-нибудь выскажусь в том плане, что у словосочетания "потенциальная бесконечность" всё же есть смысл?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 317 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 22  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40, Theoristos


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group