2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение07.01.2014, 02:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #810228 писал(а):
Тут, наверно, сразу понятна разница между $(f(g(x)))'$ и $f'(g(x))$ — аргументы не мешаются, одни функции.

Да, но надо быть привыкшим к таким обозначениям. Напоминаю, Pineapple - школьник. Впрочем, ему тоже может быть интересно и полезно это прочитать, и может быть, разобрать.

В ваших обозначениях я вижу inconsistency: если $fg$ - произведение функций, то используется мультипликативная запись, $f^n=f\ldots_{(n\text{ раз})} f,$ и $f^{-1}=1/f.$ А обратную стоит обозначать как-то иначе. Например, $\operatorname{inv}f$ или $f^{\circ{-1}}.$ (О! Последний вариант мне нравится.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение08.01.2014, 00:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Munin в сообщении #810407 писал(а):
Напоминаю, Pineapple - школьник. Впрочем, ему тоже может быть интересно и полезно это прочитать, и может быть, разобрать.
Именно, отлично помню, потому и закрыл в оффтопе. :-) «Просто оставлю это здесь».

Munin в сообщении #810407 писал(а):
В ваших обозначениях я вижу inconsistency
Решил не усложнять, чтобы не терять остальных читателей — всё-таки те обозначения у нас распространены. Кстати, $f^{\circ{-1}}$ я как-то тоже переоткрыл (но вот не применил вовремя к композиции). Замечательно сходится с обычными степенями не обозначаемой операции. Надеюсь, это займёт своё место там, где нужно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение08.01.2014, 22:55 


17/01/13
622
Как правильно обозначается производная в лейбницевской записи? $ \dfrac{d^2 y}{dx^2}$ так?
И можно ли найти сразу вторую производную функции? Например с такой функции $y=\dfrac{at^2}{2}$ все просто.

А если такая $y=v_0 t+\dfrac{at^2}{2}$?

И вот так можно делать $(f(x)+g(x))''=f''(x)+g''(x)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение08.01.2014, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Pineapple в сообщении #811569 писал(а):
Как правильно обозначается производная в лейбницевской записи? $ \dfrac{d^2 y}{dx^2}$ так?

Да.

Pineapple в сообщении #811569 писал(а):
И можно ли найти сразу вторую производную функции?

Надо найти сначала первую, а потом от неё - вторую.

Pineapple в сообщении #811569 писал(а):
Например с такой функции $y=\dfrac{at^2}{2}$ все просто.

А если такая $y=v_0 t+\dfrac{at^2}{2}$?

Со степенными можно, конечно. И не только вторую, но и $n$-ную. Но степенные функции - редкая роскошь.

Ещё от синусов и косинусов можно сразу взять производную любого порядка. От экспонент. Но будьте осторожны: чуть только там встретится сложная функция - так будет уже нельзя.

Pineapple в сообщении #811569 писал(а):
И вот так можно делать $(f(x)+g(x))''=f''(x)+g''(x)$ ?

А вот это попробуйте доказать сами. У вас должно получиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение08.01.2014, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Почему "с функцией $\frac{at^2}{2}$ все просто"? Вы нашли вторую производную, не считая первую? Тогда почему затруднение вызывает функция $v_0t+\frac{at^2}{2}$? У нее вторая производная точно такая же, как у первой.
По последнему вопросу: примените соответствующее свойство первой производной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение08.01.2014, 23:13 


17/01/13
622
$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

$(f'(x)+g'(x))'=f''(x)+g''(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение08.01.2014, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Munin в сообщении #811579 писал(а):
Со степенными можно, конечно. И не только вторую, но и $n$-ную. Но степенные функции - редкая роскошь.

Ещё от синусов и косинусов можно сразу взять производную любого порядка. От экспонент. Но будьте осторожны: чуть только там встретится сложная функция - так будет уже нельзя.
Только что в этом случае значит "взять производную"? Это означает: так как я уже много раз брал производные таких функций, то сразу могу заисать производную любого порядка. То есть в первый раз надо-таки первую производную взять. Посмотреть на нее и на последующие. И вывести закономерность.
Можете, при желании, записать для себя "таблицу старших производных". (это, понятно, предложение не для Munin, а для Pineapple)

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение08.01.2014, 23:18 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Pineapple в сообщении #811569 писал(а):
И можно ли найти сразу вторую производную функции?
Лучше всё-таки не сразу, а просто по определению как производную первой. Все формулы для второй производной получаются механически из формул для первой производной, потому особого смысла их запоминать нет.

Pineapple в сообщении #811569 писал(а):
И вот так можно делать $(f(x)+g(x))''=f''(x)+g''(x)$ ?
Да, можно. Как это доказать? Смотрите:

Мы знаем, что для функций $f, g$ выполняется $(f + g)' = f' + g'$ — на области, где функции $f, g, f+g, f', g', (f+g)'$ определены, конечно. Эти функции могут быть любые, так что возьмём вместо них функцию $p'$ и функцию $q'$. Тогда $(p' + q')' = p'' + q''$. А мы знаем, что $p' + q' = (p + q)'$, так что применим это к предыдущему и получим $(p + q)'' = (p' + q')' = p'' + q''$. Разумеется, это выполняется там, где определены $p, q, p+q, p', q', p'+q', p'', q'', p''+q''$ — это условие так же легко собирается из двух применений равенства для суммы первых производных.

Всё просто, почти механически.

UPD: Вот вы даже и сами вывели, но не забывайте об описанных тут подразумеваемых деталях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение08.01.2014, 23:41 


17/01/13
622
provincialka в сообщении #811581 писал(а):
Почему "с функцией $\frac{at^2}{2}$ все просто"? Вы нашли вторую производную, не считая первую? Тогда почему затруднение вызывает функция $v_0t+\frac{at^2}{2}$? У нее вторая производная точно такая же, как у первой.
По последнему вопросу: примените соответствующее свойство первой производной.


Тут $\frac{at^2}{2}$ можно мысленно
заменить $t^2$ к примеру $t^2=x$ и срузу найти вторую производную.
А здесь $v_0t+\frac{at^2}{2}$ уже надо будет по-любому искать первую, а затем вторую производную функции $v_0t$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 00:08 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Pineapple в сообщении #811600 писал(а):
заменить $t^2$ к примеру $t^2=x$ и срузу найти вторую производную.

Это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Кстати, Pineapple, а чему у вас равна вторая производная от $\frac{at^2}{2}$. И по какой переменной вы ее берете - по $t$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 00:14 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Pineapple в сообщении #811600 писал(а):
Тут $\frac{at^2}{2}$ можно мысленно
заменить $t^2$ к примеру $t^2=x$ и срузу найти вторую производную.
Низзя, если я правильно понял, что вы собираетесь делать.

Лейбницевское обозначение $\dfrac{d^2f}{dt^2}$ надо понимать как $\dfrac{d^2}{dt^2}\,f \equiv \dfrac d{dt}\,\dfrac d{dt}\,f$, $f$ никак не может «взаимодействовать» с $d$, и квадраты чего бы то ни было из неё нельзя вот так: $d^2r^2 = (dr)^2$ проворачивать! Зато вот так:$$\frac{d(r^2)}{dt} = \frac{d(r^2)}{dr}\,\frac{dr}{dt} = 2r\frac{dr}{dt}$$можно. Ну, это уже упоминавшееся всеми нами здесь цепное правило, ничего нового, синтаксический сахар.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 00:18 


17/01/13
622
Ну заменить нельзя, немного напутал. Ведь мы, ищем производную не от $t^2$, а вторую производную от $t$
Производная равна $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 00:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Верно.

Вообще, если вам приходит в голову какой-то лёгкий способ сделать что-то, всегда можно проверить, работает ли он, сравнив с результатами обычного. Может хватить даже одного сравнения (совпадение ответов ведь не будет гарантировать успех, а только несовпадение — неудачу, но подобранные тесты усилят праводподобность, и могут дать подсказку, как доказать рабочесть нового способа в общем случае). Станет понятно, почему появилась иллюзия наличия лёгкого способа, или почему он работает, но не для любого входа. (Или станет непонятно, почему такой великолепный способ раньше не нашли. :-) )

Наверно, тривиальщину опять пишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение09.01.2014, 00:40 


17/01/13
622
Я же правильно понимаю, что это вторая производная по $x$
$ \dfrac{d^2 y}{dx^2}$.

А ниже производная по $x^2$
$ \dfrac{dy}{dx^2}$ ?

И может ли встретится такое?
$ \dfrac{d^2 y}{dx}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 145 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group