И можно ли найти сразу вторую производную функции?
Лучше всё-таки не сразу, а просто по определению как производную первой. Все формулы для второй производной получаются механически из формул для первой производной, потому особого смысла их запоминать нет.
И вот так можно делать
?
Да, можно. Как это доказать? Смотрите:
Мы знаем, что для функций
выполняется
— на области, где функции
определены, конечно. Эти функции могут быть любые, так что возьмём вместо них функцию
и функцию
. Тогда
. А мы знаем, что
, так что применим это к предыдущему и получим
. Разумеется, это выполняется там, где определены
— это условие так же легко собирается из двух применений равенства для суммы первых производных.
Всё просто, почти механически.
UPD: Вот вы даже и сами вывели, но не забывайте об описанных тут подразумеваемых деталях.