Что значит неопределенность функции?

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #810228 писал(а):

Тут, наверно, сразу понятна разница между $(f(g(x)))'$ и $f'(g(x))$ — аргументы не мешаются, одни функции.

Да, но надо быть привыкшим к таким обозначениям. Напоминаю, Pineapple - школьник. Впрочем, ему тоже может быть интересно и полезно это прочитать, и может быть, разобрать.

В ваших обозначениях я вижу inconsistency: если $fg$ - произведение функций, то используется мультипликативная запись, $f^n=f\ldots_{(n\text{ раз})} f,$ и $f^{-1}=1/f.$ А обратную стоит обозначать как-то иначе. Например, $\operatorname{inv}f$ или $f^{\circ{-1}}.$ (О! Последний вариант мне нравится.)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #810407 писал(а):

Напоминаю, Pineapple - школьник. Впрочем, ему тоже может быть интересно и полезно это прочитать, и может быть, разобрать.

Именно, отлично помню, потому и закрыл в оффтопе. «Просто оставлю это здесь».

Munin в сообщении #810407 писал(а):

В ваших обозначениях я вижу inconsistency

Решил не усложнять, чтобы не терять остальных читателей — всё-таки те обозначения у нас распространены. Кстати, $f^{\circ{-1}}$ я как-то тоже переоткрыл (но вот не применил вовремя к композиции). Замечательно сходится с обычными степенями не обозначаемой операции. Надеюсь, это займёт своё место там, где нужно!

[Pineapple]

Как правильно обозначается производная в лейбницевской записи? $ \dfrac{d^2 y}{dx^2}$ так?
И можно ли найти сразу вторую производную функции? Например с такой функции $y=\dfrac{at^2}{2}$ все просто.

А если такая $y=v_0 t+\dfrac{at^2}{2}$?

И вот так можно делать $(f(x)+g(x))''=f''(x)+g''(x)$ ?

[Munin]

Pineapple в сообщении #811569 писал(а):

Как правильно обозначается производная в лейбницевской записи? $ \dfrac{d^2 y}{dx^2}$ так?

Да.

Pineapple в сообщении #811569 писал(а):

И можно ли найти сразу вторую производную функции?

Надо найти сначала первую, а потом от неё - вторую.

Pineapple в сообщении #811569 писал(а):

Например с такой функции $y=\dfrac{at^2}{2}$ все просто.

А если такая $y=v_0 t+\dfrac{at^2}{2}$?

Со степенными можно, конечно. И не только вторую, но и $n$-ную. Но степенные функции - редкая роскошь.

Ещё от синусов и косинусов можно сразу взять производную любого порядка. От экспонент. Но будьте осторожны: чуть только там встретится сложная функция - так будет уже нельзя.

Pineapple в сообщении #811569 писал(а):

И вот так можно делать $(f(x)+g(x))''=f''(x)+g''(x)$ ?

А вот это попробуйте доказать сами. У вас должно получиться.

[provincialka]

Почему "с функцией $\frac{at^2}{2}$ все просто"? Вы нашли вторую производную, не считая первую? Тогда почему затруднение вызывает функция $v_0t+\frac{at^2}{2}$? У нее вторая производная точно такая же, как у первой.
По последнему вопросу: примените соответствующее свойство первой производной.

[Pineapple]

$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

$(f'(x)+g'(x))'=f''(x)+g''(x)$

[provincialka]

Munin в сообщении #811579 писал(а):

Со степенными можно, конечно. И не только вторую, но и $n$-ную. Но степенные функции - редкая роскошь.

Ещё от синусов и косинусов можно сразу взять производную любого порядка. От экспонент. Но будьте осторожны: чуть только там встретится сложная функция - так будет уже нельзя.

Только что в этом случае значит "взять производную"? Это означает: так как я уже много раз брал производные таких функций, то сразу могу заисать производную любого порядка. То есть в первый раз надо-таки первую производную взять. Посмотреть на нее и на последующие. И вывести закономерность.
Можете, при желании, записать для себя "таблицу старших производных". (это, понятно, предложение не для Munin, а для Pineapple)

[arseniiv]

Pineapple в сообщении #811569 писал(а):

И можно ли найти сразу вторую производную функции?

Лучше всё-таки не сразу, а просто по определению как производную первой. Все формулы для второй производной получаются механически из формул для первой производной, потому особого смысла их запоминать нет.

Pineapple в сообщении #811569 писал(а):

И вот так можно делать $(f(x)+g(x))''=f''(x)+g''(x)$ ?

Да, можно. Как это доказать? Смотрите:

Мы знаем, что для функций $f, g$ выполняется $(f + g)' = f' + g'$ — на области, где функции $f, g, f+g, f', g', (f+g)'$ определены, конечно. Эти функции могут быть любые, так что возьмём вместо них функцию $p'$ и функцию $q'$. Тогда $(p' + q')' = p'' + q''$. А мы знаем, что $p' + q' = (p + q)'$, так что применим это к предыдущему и получим $(p + q)'' = (p' + q')' = p'' + q''$. Разумеется, это выполняется там, где определены $p, q, p+q, p', q', p'+q', p'', q'', p''+q''$ — это условие так же легко собирается из двух применений равенства для суммы первых производных.

Всё просто, почти механически.

UPD: Вот вы даже и сами вывели, но не забывайте об описанных тут подразумеваемых деталях.

[Pineapple]

provincialka в сообщении #811581 писал(а):

Почему "с функцией $\frac{at^2}{2}$ все просто"? Вы нашли вторую производную, не считая первую? Тогда почему затруднение вызывает функция $v_0t+\frac{at^2}{2}$? У нее вторая производная точно такая же, как у первой.
По последнему вопросу: примените соответствующее свойство первой производной.

Тут $\frac{at^2}{2}$ можно мысленно
заменить $t^2$ к примеру $t^2=x$ и срузу найти вторую производную.
А здесь $v_0t+\frac{at^2}{2}$ уже надо будет по-любому искать первую, а затем вторую производную функции $v_0t$

[Nemiroff]

Pineapple в сообщении #811600 писал(а):

заменить $t^2$ к примеру $t^2=x$ и срузу найти вторую производную.

Это как?

[provincialka]

Кстати, Pineapple, а чему у вас равна вторая производная от $\frac{at^2}{2}$. И по какой переменной вы ее берете - по $t$?

[arseniiv]

Pineapple в сообщении #811600 писал(а):

Тут $\frac{at^2}{2}$ можно мысленно
заменить $t^2$ к примеру $t^2=x$ и срузу найти вторую производную.

Низзя, если я правильно понял, что вы собираетесь делать.

Лейбницевское обозначение $\dfrac{d^2f}{dt^2}$ надо понимать как $\dfrac{d^2}{dt^2}\,f \equiv \dfrac d{dt}\,\dfrac d{dt}\,f$, $f$ никак не может «взаимодействовать» с $d$, и квадраты чего бы то ни было из неё нельзя вот так: $d^2r^2 = (dr)^2$ проворачивать! Зато вот так:

$$\frac{d(r^2)}{dt} = \frac{d(r^2)}{dr}\,\frac{dr}{dt} = 2r\frac{dr}{dt}$$

можно. Ну, это уже упоминавшееся всеми нами здесь цепное правило, ничего нового, синтаксический сахар.

[Pineapple]

Ну заменить нельзя, немного напутал. Ведь мы, ищем производную не от $t^2$, а вторую производную от $t$
Производная равна $a$.

[arseniiv]

Верно.

Вообще, если вам приходит в голову какой-то лёгкий способ сделать что-то, всегда можно проверить, работает ли он, сравнив с результатами обычного. Может хватить даже одного сравнения (совпадение ответов ведь не будет гарантировать успех, а только несовпадение — неудачу, но подобранные тесты усилят праводподобность, и могут дать подсказку, как доказать рабочесть нового способа в общем случае). Станет понятно, почему появилась иллюзия наличия лёгкого способа, или почему он работает, но не для любого входа. (Или станет непонятно, почему такой великолепный способ раньше не нашли. )

Наверно, тривиальщину опять пишу.

[Pineapple]

Я же правильно понимаю, что это вторая производная по $x$
$ \dfrac{d^2 y}{dx^2}$.

А ниже производная по $x^2$
$ \dfrac{dy}{dx^2}$ ?

И может ли встретится такое?
$ \dfrac{d^2 y}{dx}$