Разные простые вопросы по математике

[Munin]

Завидую я вам. Моё воображение тоже было поражено, но десятилетия назад. С тех пор привык как-то :-)

[arseniiv]

Denis Russkih в сообщении #809435 писал(а):

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \rule{0pt}{3ex} (\mathbb{R},+) & x \neq 0 & 0 \\[1ex] \hline \rule{0pt}{3ex} (\mathbb{R^+},\cdot) & C^x & 1 \\[1ex] \hline \end{array}$

А почему ноль отдельно?

-- Пн янв 06, 2014 21:18:24 --

В будущем Denis Russkih можно посоветовать исследовать уравнение $x^a + x^b = x^c$. В числе прочего, ввести какую-нибудь функцию, через которую можно было бы выразить решения и порассматривать её и способы её вычисления и т. д..

[Denis Russkih]

arseniiv в сообщении #810202 писал(а):

А почему ноль отдельно?

Потому что единица отдельно. :) Я не знал, как ещё это записать, но мне показалось, что с единицей могут возникнуть проблемы, если кинуть её в общую кучу. (Ну чувство у меня такое возникло.) Может, я и не прав.

arseniiv в сообщении #810202 писал(а):

В будущем Denis Russkih можно посоветовать исследовать уравнение $x^a + x^b = x^c$. В числе прочего, ввести какую-нибудь функцию, через которую можно было бы выразить решения и порассматривать её и способы её вычисления и т. д..

Спасибо, запомню этот совет. Но это разве что в очень отдалённом будущем. :) Пока что для меня такая задача неподъёмна. (У меня ведь даже школьные знания оставляют желать лучшего.) Вообще, к математике у меня безответная любовь: она мне нравится, а я ей — нет. :)

[arseniiv]

Denis Russkih в сообщении #810237 писал(а):

Может, я и не прав.

Да-да, присмотритесь. $31^0 = 1$.

[Denis Russkih]

arseniiv

А, я вспомнил, почему вынес нолик отдельно. :) Дело в том, что я не был уверен, содержится ли $0$ в $\mathbb{R}^+$ или нет, и решил подстраховаться. :) Ведь $0^0$ не определено.

В общем, это продукт неработающей башки ближе к вечеру.

[provincialka]

Тогда вы не оттуда его вынесли. В первой строе у вас стоит вся числовая прямая, а "$+$" - это обозначение групповой операции.

[Denis Russkih]

provincialka в сообщении #810265 писал(а):

Тогда вы не оттуда его вынесли.

Пардон, забыл скобочки с непривычки. :) Из-за этого Вы меня неверно поняли. Моё сообщение следует читать так:

Denis Russkih в сообщении #810263 писал(а):

я не был уверен, содержится ли $0$ в $(\mathbb{R}^+,\cdot)$ или нет

В таблице-то я всё верно написал. Там 0 в $(\mathbb{R},+)$ соответствует 1 в $(\mathbb{R^+},\cdot)$.

Конечно, 1 всегда можно представить как $C^0$, но это верно лишь для $C \neq 0$. Если бы $(\mathbb{R^+},\cdot)$ вдруг содержал $0$, то возникла бы проблемка с $0^0$. И как этого избежать? То ли оговаривать помимо условия $C \neq 1$ ещё и условие $C \neq 0$, то ли ещё что... Мутно получается и некрасиво.

В общем, я решил, что проще будет жёстко привязать $0$ в одном множестве к $1$ в другом множестве, тем более что в итоге мы всё равно получаем именно это. :) Тогда $0$ в одном множестве и $0$ в другом множестве просто не смогут встретиться. :)

Решение было принято скорее на подсознательном уровне, глубоко я его не обдумывал. Сейчас-то я уже понял, что перестраховался, и $\mathbb{(R^+,\cdot)}$ не может содержать $0$ в принципе. Так что для построения изоморфизма достаточно таблички

$\begin{array}{|c|c|} \hline \rule{0pt}{3ex} (\mathbb{R},+) & x \\[1ex] \hline \rule{0pt}{3ex} (\mathbb{R^+},\cdot) & C^x \\[1ex] \hline \end{array}$

Где $C \in (\mathbb{R^+},\cdot), \hspace{2px} C \neq 1$.

Впрочем, серьёзных ошибок в ответе я не допустил, ведь табличку можно записать и так, как я сделал ранее, просто это будет уже избыточная информация.

Ошибка была допущена на концептуальном уровне, но ирония состоит в том, что на правильности ответа это никак не сказалось. :)

[arseniiv]

Denis Russkih в сообщении #810263 писал(а):

Ведь $0^0$ не определено.

А ноль в основании и так не получится. Ведь единственное значение $x\mapsto 0^x$ — это ноль, так что ноль в основании для выпечки изоморфизма не годится. Отрицательные основания тоже не подойдут.

[Denis Russkih]

arseniiv

Да-да, я уже понял свою ошибку. :) Спасибо, что обратили внимание. Благодаря Вам я смог вытащить её на свет из своего подсознания. :)

-- 06.01.2014, 22:16 --

arseniiv в сообщении #810306 писал(а):

Отрицательные основания тоже не подойдут.

Хм, это потому, что $(-1)^2=1$ и $1^2=1$, верно?.. То есть, для изоморфизма необходимо, чтобы каждому элементу одного множества соответствовал только один элемент другого множества, а здесь одному элементу соответствует два элемента? Или я опять что-то не так понимаю? :)

[Dan B-Yallay]

Denis Russkih в сообщении #810312 писал(а):

Хм, это потому, что $(-1)^2=1$ и $1^2=1$, верно?.. То есть, для изоморфизма необходимо, чтобы каждому элементу одного множества соответствовал только один элемент другого множества, а здесь одному элементу соответствует два элемента? Или я опять что-то не так понимаю?

Это потому, что возведению отрицателного числа в иррациональную степень невозможно приписать какой-то смысл.
Для положительных оснований пользуются приближением дробями.

[Denis Russkih]

Dan B-Yallay в сообщении #810320 писал(а):

Это потому, что возведению отрицателного числа в иррациональную степень невозможно приписать какой-то смысл.

Что, правда?! То есть, $(-1)^\pi$ считается не имеющим смысла так же, как и $0^0$? :) Да это же БОМБА! Вот так живёшь себе тихо-мирно, и вдруг раз — узнаёшь подобную новость. Нет, ну серьёзно? Обалдеть!!! Интересно, а каких ещё вещей я не знаю, которые всем тут известны?..

[provincialka]

М-да? А мне казалось, это в школе проходят...

[Aritaborian]

Denis Russkih в сообщении #810371 писал(а):

Да это же БОМБА!

Keep calm :-) Доберётесь до комплексных чисел и сможете любое $z$ возводить в любое $w$. Там тоже, конечно же, не так просто. Но сможете, обещаю ;-) Даже мнимую единицу в степень мнимой единицы (внезапно получая при этом действительное число).

[provincialka]

(Оффтоп)

Denis Russkih в сообщении #810371 писал(а):

Интересно, а каких ещё вещей я не знаю, которые всем тут известны?..

А вы перечислите все, которые знаете, и мы вам скажем, что в этот список не вошло

[Munin]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #810395 писал(а):

Доберётесь до комплексных чисел и сможете любое $z$ возводить в любое $w$.

Вот только - не получить ответ $(-1)^\pi,$ всё равно :-) Коварство!