К вопросу о форме Вселенной

[Urnwestek]

Shkoloto в сообщении #795685 писал(а):

Все эти формулы основаны либо на тригонометрических функциях, либо на приближениях суммы площади многоугольников к площади искомой окружности.

Вы на алгоритм Бюффона посмотрите.

[Shkoloto]

Urnwestek
Алгоритм Бюффона используют не для вычисления числа $\pi$, а для вычисления вероятности. Если разлиновать поверхность не параллельными прямыми, а окружностями, с увеличением радиуса, то для вычисления вероятности вообще число $\pi$ не понадобится.
Конечно, можно из получившейся вероятности на практике вычислить $\pi$, но сыр-бор идет как раз по поводу того, что якобы не имеет смысла сравнивать значение полученное из практики с его математическим ожиданием. Я утверждаю, что при таком сравнении можно говорить об отличии нашего пространства от "евклидового", в то время как Someone утверждает, что то, что я получу на практике, никакого отношения к числу $\pi$ иметь не будет и, соответственно, сравнивать эти значения тоже не имеет смысла.

[Someone]

Shkoloto в сообщении #796904 писал(а):

в то время как Someone утверждает, что то, что я получу на практике, никакого отношения к числу $\pi$ иметь не будет и, соответственно, сравнивать эти значения тоже не имеет смысла

Сравнивать с какой целью? Если для получения "истинного значения числа $\pi$", то это бессмыслица: истинное значение числа $\pi$ определяется чисто математически, и никакие физические измерения к этому отношения не имеют. Если же для сравнения геометрии физического пространства с евклидовой геометрией, то смысл вполне есть.

Urnwestek в сообщении #795862 писал(а):

Вы на алгоритм Бюффона посмотрите.

Если Вы о задаче Бюффона, то никакого алгоритма (в стандартном понимании этого слова) там нет: бросание кучи иголок — это не алгоритм. Но некоторое приближение числа $\pi$ получить можно.

Shkoloto в сообщении #796904 писал(а):

но сыр-бор идет как раз по поводу того, что якобы не имеет смысла сравнивать значение полученное из практики с его математическим ожиданием.

По-моему, никто такого утверждения не формулировал. Лично я протестую против употребления термина "число $\pi$" по отношению к частному от деления длины окружности на длину её диаметра в геометрии, отличной от евклидовой. Никто не запрещает рассматривать эту штуку и сравнивать её с числом $\pi$, но не надо называть её числом $\pi$.

[Urnwestek]

Someone в сообщении #797004 писал(а):

Если Вы о задаче Бюффона, то никакого алгоритма (в стандартном понимании этого слова) там нет: бросание кучи иголок — это не алгоритм. Но некоторое приближение числа $\pi$ получить можно.

Недетерменированный же (насколько я помню, есть вполне формальное определение недетерменированного алгоритма). «Бросание иголки» можно формализовать как «выбрать случайно точку на плоскости» и «выбрать случайно угол», и под заданным углом прочертить отрезок заданной длины от заданной точки, а потом проверить, пересекает ли он нужную прямую. Разве нет?

[arseniiv]

(2 Urnwestek.)

Со стороны теории вероятностей надо чуть корректнее: равномерного распределения на плоскости (и прямой, конечно, и прочих, кроме $\mathbb R^0$) не бывает — если плотность вероятности константна, то интеграл от неё по плоскости будет либо расходиться, либо равным нулю, что никак не совпадает с требуемой единицей. Для этого берут равномерное на прямоугольнике распределение.

[Someone]

(Оффтоп)

Urnwestek в сообщении #797027 писал(а):

Недетерменированный же (насколько я помню, есть вполне формальное определение недетерменированного алгоритма).

Есть, только это не то, что Вы думаете. Отличие от детерминированного алгоритма состоит в том, что недетерминированный алгоритм на каждом шаге имеет выбор из нескольких возможных действий. Разновидностью недетерминированных алгоритмов являются вероятностные алгоритмы, в которых выбор действия из набора возможных действий происходит с определёнными вероятностями. Недетерминированный алгоритм, решающий некоторую задачу, всегда можно заменить детерминированным, решающим ту же самую задачу, только, может быть, гораздо дольше.
Алгоритм — это конечный объект.

Urnwestek в сообщении #797027 писал(а):

«Бросание иголки» можно формализовать как «выбрать случайно точку на плоскости» и «выбрать случайно угол», и под заданным углом прочертить отрезок заданной длины от заданной точки, а потом проверить, пересекает ли он нужную прямую. Разве нет?

Нет. Алгоритм — конечный объект, поэтому его выбор осуществляется всегда из конечного набора возможностей. А в данном случае множество возможностей имеет континуальную мощность, в то время как множество всех алгоритмов является счётным.

[warlock66613]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #797130 писал(а):

Со стороны теории вероятностей надо чуть корректнее: равномерного распределения на плоскости (и прямой, конечно, и прочих, кроме $\mathbb R^0$) не бывает — если плотность вероятности константна, то интеграл от неё по плоскости будет либо расходиться, либо равным нулю, что никак не совпадает с требуемой единицей.

А, кстати, почему для построения обобщённых функций используется пространство только финитных функций? Почему, например, в упомянутом случае нельзя провернуть штуку как с обобщёнными функциями? Придумать какую-нибудь "кофункцию" $\varepsilon(\mathbf{r}) = \operatorname{const}$ такую, чтобы $\int\limits_{\text{Surface}} 1 \cdot \varepsilon(\mathbf{r}) = 1$?

[Oleg Zubelevich]

warlock66613 в сообщении #797143 писал(а):

, кстати, почему для построения обобщённых функций используется пространство только финитных функций

Во-первых ,не только, есть, например, пространство $\mathcal{S}(\mathbb{R})$. И вообще пространство основных функций вводится иcходя из задачи, которую решают. Всякий раз по-разному.
Теперь по существу. Скажем пространства $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ достаточно в следующем смысле. Множество чисел $\{\int_\mathbb{R}f(x)\psi(x)dx\mid\psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})\}$ определяет с точностью до множества меры нуль функцию $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R})$

[warlock66613]

Oleg Zubelevich в сообщении #797150 писал(а):

Теперь по существу.

Почти ничего не понял, но спасибо за ответ. Сохранил в текстовичёк, попробую прочесть как-нибудь через год.

[arseniiv]

(2 warlock66613.)

Тут была несколько месяцев назад тема про такую обобщённую функцию, как вы упоминали. Как обычно, не вспомню где и как называлась.