К вопросу о форме Вселенной

[мат-ламер]

Допустим, Вселенная "имеет форму" трёхмерной сферы. Под словами "имеет форму" я имею в виду - гомеоморфна, т.е. топологически эквивалентна. Может ли она при этом быть плоской (в трёхмерном смысле), т.е. иметь нулевую кривизну? И чем определяется её кривизна, если она всё же есть? Размерами Вселенной? Т.е. уместно рассматривать Вселенную как $S^3$, как-бы вложенную в $R^4$. Или кривизна определяется сугубо материей (в том числе тёмной) и её гравитацией и тёмной энергией с её антигравитацией?

[Munin]

мат-ламер в сообщении #787615 писал(а):

Может ли она при этом быть плоской (в трёхмерном смысле), т.е. иметь нулевую кривизну?

Тут дело вот какое. Вселенная - она четырёхмерна. Когда мы обсуждаем её "в трёхмерном смысле" - мы выбираем из этого четырёхмерия некое трёхмерное сечение. Эта операция неоднозначна. Можно выбрать одной формы, а можно другой. Можно при этом менять кривизну (трёхмерия!). Можно даже менять топологический тип.

Так что, всё это "разговоры для бедных". Обсуждать надо четырёхмерную форму Вселенной, и точка.

мат-ламер в сообщении #787615 писал(а):

И чем определяется её кривизна, если она всё же есть? Размерами Вселенной? Т.е. уместно рассматривать Вселенную как $S^3$, как-бы вложенную в $R^4$. Или кривизна определяется сугубо материей (в том числе тёмной) и её гравитацией и тёмной энергией с её антигравитацией?

Чётырёхмерная кривизна определяется сугубо материей. Вселенную уместно рассматривать как 4-многообразие (символа нету, но это FLRW). Вообще-то оно самодостаточно само по себе. Но если очень хочется, его можно вложить в $R^5.$ Можно в $R^6.$ И так далее. Смысла в таком вложении не будет никакого. Физически это вложение никак себя не проявит. Но если у вас слабое пространственное воображение (что мне не хотелось бы предполагать), такое вложение может помочь вообразить, о чём речь.

[Утундрий]

Munin в сообщении #787702 писал(а):

Физически это вложение никак себя не проявит

А если проявит?

[Xugin]

А как прикидывали форму Вселенной, по приходящему електромагнитному излучению? Достоверно ли известны оптические свойства пространства с течением времени? Что, к примеру, сделает расширяющееся пространство с запущеным лазерным лучём, затронет ли его расширение на больших отрезках времени?

[Bulinator]

мат-ламер в сообщении #787615 писал(а):

Под словами "имеет форму" я имею в виду - гомеоморфна, т.е. топологически эквивалентна. Может ли она при этом быть плоской (в трёхмерном смысле), т.е. иметь нулевую кривизну?

Т.е. можно ли на $S^3$ определить плоскую метрику? Нельзя, ибо, тогда кривизна будет равна нулю и принтегрировав по поверхности мы получим не Эйлерову характеристику сферы а нуль. Хотя... может я где и наврал в доказательстве.

мат-ламер в сообщении #787615 писал(а):

И чем определяется её кривизна, если она всё же есть?

Уравнениями Эйнштейна и соответствующими гран условиями. Или вы что-то другое имели ввиду
Насколько я помню, была доказана теорема, что единственное решение уравнений Эйнштейна в пустой вселенной- Минковский.

мат-ламер в сообщении #787615 писал(а):

Т.е. уместно рассматривать Вселенную как $S^3$, как-бы вложенную в $R^4$.

Не всякое трехмерное Риманово многообразие изометрически вкладывается в 4-мерное евклидлво(См. Теорема Неша).

-- Вт ноя 12, 2013 09:52:04 --

Munin в сообщении #787702 писал(а):

Можно при этом менять кривизну (трёхмерия!).

Это как так то? Нам Ландафшиц, в параграфе 84 "Расстояния и промежутки времени", завещал, что

$$ \gamma_{\alpha\beta}=-g_{\alpha\beta}+\frac{g_{0\alpha}g_{0\beta}}{g_{00}}, $$

где $\gamma_{\alpha\beta}$- трехмерный пространственный тензор а $g$- четырехмерный. А коль скоро у нас есть $\gamma_{\alpha\beta}$, мы можем все посчитать. Или нет?

-- Вт ноя 12, 2013 09:56:35 --

Утундрий в сообщении #787760 писал(а):

А если проявит?

Не сможет. Откуда система узнает, что ее заложили вложили?

[Xugin]

А если представить что форма тороидальная, как бы выглядела карта реликтового излучения? Места склейки были бы видны?

[vvb]

Bulinator в сообщении #787798 писал(а):

Это как так то? Нам Ландафшиц, в параграфе 84 где $\gamma_{\alpha\beta}$- трехмерный пространственный тензор а $g$- четырехмерный. А коль скоро у нас есть $\gamma_{\alpha\beta}$, мы можем все посчитать. Или нет?

Тут у нас уравнений 6, а независимых компонент в $g_{ik}$ десять, или я неправ?

[Bulinator]

Да, правы. В том смысле, что трехмерный скаляр, вообще говоря, не является четырехмерным скаляром. Т.е. кривизна пространства изменяется при переходе из одной СО в другую. Понял.

[Alesha Popovich]

(Оффтоп)

Допустим, на сколько понимается, что-либо проявляет форму по отношению к чему-либо во Вселенной, как и гомеоморфны любые физико-математические рассуждения к творчеству. Из имеющихся представлений о размерах Вселенной, только вечность наиболее подходит к Её описанию (а это гомеоморфизмом не назовёшь), поэтому о проявляющейся себеподобности "формы" в отношении с им неподобными, можно лишь говорить как об одном из Её наименее подходящих для описания в ряде вопросов истинности свойств.

Toucan:

См. post787872.html#p787872

[Bulinator]

Офигеть! Я тоже хочу так уметь.

[vvb]

Bulinator в сообщении #787821 писал(а):

Да, правы. В том смысле, что трехмерный скаляр, вообще говоря, не является четырехмерным скаляром. Т.е. кривизна пространства изменяется при переходе из одной СО в другую. Понял.

Я в этом деле плохо разбираюсь, но, разве кривизна - это трехмерный скаляр?

[Toucan]

Alesha Popovich в сообщении #787832 писал(а):

Допустим, на сколько понимается, что-либо проявляет форму по отношению к чему-либо во Вселенной, как и гомеоморфны любые физико-математические рассуждения к творчеству. ...

Alesha Popovich, замечание за бессмысленное сообщение.

[Munin]

Утундрий в сообщении #787760 писал(а):

А если проявит?

А тогда это будет уже не ОТО. В ОТО действие зависит только от величин, характеризующих именно внутреннюю геометрию.

Xugin в сообщении #787789 писал(а):

А как прикидывали форму Вселенной, по приходящему електромагнитному излучению?

Удивительно, как можно замысловатыми словами запутать простой вопрос. Можно же проще сказать: смотрели в телескопы на звёзды и галактики. Но в терминах "приходящего электромагнитного излучения" всё то же самое будет произносить долго и замысловато...

Bulinator в сообщении #787798 писал(а):

Это как так то? Нам Ландафшиц, в параграфе 84 "Расстояния и промежутки времени", завещал, что

$$ \gamma_{\alpha\beta}=-g_{\alpha\beta}+\frac{g_{0\alpha}g_{0\beta}}{g_{00}}, $$

Это немножко не та формула. Разница в том, какими линейками мерять метрику в трёхмерии: движущимися или неподвижными. Ландафшиц предпочёл движущимися (относительно трёхмерия), что в одних случаях физически оправдано, в других нет.

Почитайте Хокинга-Эллиса, главу про космологические модели (Де Ситтер). Там показано несколько разных способов разложить на столе этого Де Ситтера.

vvb в сообщении #787815 писал(а):

Тут у нас уравнений 6, а независимых компонент в $g_{ik}$ десять, или я неправ?

Да, уравнений 6, неизвестных величин $\gamma_{ik}$ тоже 6, а всё, что справа - известные величины.
Кстати, Ландафшиц отличается от современных общепринятых обозначений в одной детали: сейчас принято 4-мерные индексы обозначать греческими буквами, а 3-мерные - латинскими.

vvb в сообщении #787852 писал(а):

Я в этом деле плохо разбираюсь, но, разве кривизна - это трехмерный скаляр?

В качестве кривизны рассматриваются в основном три величины:
- тензор Римана $R^{\lambda}{}_{\mu\nu\rho}$ - четвёртого ранга;
- тензор Риччи $R_{\mu\nu}=R^{\lambda}{}_{\mu\lambda\nu}$ - второго ранга;
- скалярная кривизна, или скаляр кривизны, $R=R^{\mu}{}_{\mu}$ - нулевого ранга.
Как видно, все они вычисляются из тензора Римана. Также можно вычислить и другие величины из него же: тензор Вейля, тензор Эйнштейна.
Все эти величины - тензорные в смысле того пространства, для которого вычисляются. Можно вычислить трёхмерный тензор Римана $\mathrm{P}^{i}{}_{jkl}$ из трёхмерной метрики $\gamma_{ij},$ и он будет тензором в трёхмерном подпространстве, но не будет тензором в четырёхмерии.

[Xugin]

Munin в сообщении #787992 писал(а):

Удивительно, как можно замысловатыми словами запутать простой вопрос

А, забудьте.

[vvb]

Munin в сообщении #787992 писал(а):

Да, уравнений 6, неизвестных величин $\gamma_{ik}$ тоже 6, а всё, что справа - известные величины.

Я так понял, что речь шла о том, что можно восстановить по трехмерному тензору $\gamma_{\mu \nu}$ четырехмерный метрический $g_{ik}$ по приведенным соотношениям, нет? (индексы я взял, как у ЛЛ).
Или Bulinator вообще не об этом говорил?

Bulinator в сообщении #787798 писал(а):

А коль скоро у нас есть $\gamma_{\alpha\beta}$, мы можем все посчитать

Munin в сообщении #787992 писал(а):

Все эти величины - тензорные в смысле того пространства, для которого вычисляются. Можно вычислить трёхмерный тензор Римана $\mathrm{P}^{i}{}_{jkl}$ из трёхмерной метрики $\gamma_{ij},$ и он будет тензором в трёхмерном подпространстве, но не будет тензором в четырёхмерии.

Понятно, спасибо.