2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 ... 58  След.
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение24.11.2013, 21:07 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Yadryara в сообщении #792177 писал(а):
VAL в сообщении #792034 писал(а):

Признаюсь честно, потратив некоторое количество сил на разгадывание ребуса "какой буковкой что обозначено в решении Антона?", я сдался и решил поверить "на слово".

Каюсь, не всё тщательно расписал. Очень важно было не ошибиться в длиннющих формулах.

В моём решении, явно не указаны обозначения $f$, $i$ и $j$, а также $f_a$, $i_a$ и $j_a$. Это абсциссы "Омеги" и "Альфы" соответственно. Для трёх моментов времени. Я полагал, что это понятно из приведённых Пифагоровых уравнений.
В общем-то, конечно, понятно.
Но я поленился вникать во все детали, а отсутствие пояснений смысла некоторых обозначений использовал как отмазку :-)
Цитата:
Не "корысти ради, а токмо волею пославшей мя жены" хочу ещё раз отметить, что во втором случае минимум достигается через $16,2$ секунды после "затмения" а не до, то есть в $13:45:16,2$ , а не в $13:44:44$, как следует из решения и рисунка Олега.

То есть либо мы с Анатолием ошиблись, либо Олег перепутал знак.
Учитывая, что в других решениях (включая мое собственное) минимум тоже настает после 13:45, следует признать наиболее вероятным второе объяснение.

Я же, со свойственным мне вниманием проморгал этот момент.
Цитата:
$187$-ю задачу, как и $182$-ю пропускаю, поскольку в условии и той и другой задачи есть слово "доказать". А я, мягко говоря, не силён в доказательствах. :-(
Специально для Вас готов заменить это слово, на слово "показать" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение25.11.2013, 07:40 
Аватара пользователя


29/04/13
8139
Богородский
VAL в сообщении #792034 писал(а):
Я старался, что ответ был получше (не случайно же с условии появились корни). И подобрал соответствующие данные. Откуда при публикации выскочило другое время, в которое маяк и суда оказались на одной прямой, мне неизвестно.

У меня есть 3 хороших варианта Вашего первоначального времени.

И самым хорошим пока считаю $13:03:45$.

Но Вы пока не говорите, так это или нет. Я хочу, не торопясь, всё посчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение26.11.2013, 11:59 
Аватара пользователя


29/04/13
8139
Богородский
VAL в сообщении #792034 писал(а):
Приведу точное значение обоих возможных ответов: $d_1=\frac{6\sqrt2(7\sqrt{493}-155)}{\sqrt{8381-373\sqrt{493}}}$

А вот и не точное, увы. Разбираясь с радикальными во всех смыслах :-) вычислениями решил проверить и основные ответы. Должно быть $372$ вместо $373$.

Дальнейшие расчёты продолжу. Что-то не могу пока расстаться с этой задачей, пока не выясню кое-какие моменты.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение26.11.2013, 17:45 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Yadryara в сообщении #792851 писал(а):
VAL в сообщении #792034 писал(а):
Приведу точное значение обоих возможных ответов: $d_1=\frac{6\sqrt2(7\sqrt{493}-155)}{\sqrt{8381-373\sqrt{493}}}$

А вот и не точное, увы. Разбираясь с радикальными во всех смыслах :-) вычислениями решил проверить и основные ответы. Должно быть $372$ вместо $373$.
Ну и дотошность!
Спасибо! Исправил.
Мы стали на шаг ближе к разгадке тайны, откуда взялось такое время прекрытия "Омеги" "Альфой" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение27.11.2013, 20:01 
Аватара пользователя


29/04/13
8139
Богородский
Видимо, всё-таки было задумано время "затмения" $13:30$. При этом минимальное расстояние между судами достигается в $13:45:06$. Из-за этого, возможно, автор и перепутал одно время с другим. При этом минимумы записываются попроще:
$$\frac{18}{\sqrt{739/2 + 583\sqrt{2/5}}}$$
$$6\sqrt{\frac{710-172\sqrt{10}}{5785}}$$

Тоже не очень короткие выражения.

Есть ещё идея, что первоначально автор хотел упомянуть не о времени "затмения", а о достижении минимума ровно в $13:45$. В этом случае, выражения, по предварительным расчётам, будут ещё длиннее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение27.11.2013, 20:40 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Yadryara в сообщении #793507 писал(а):
Видимо, всё-таки было задумано время "затмения" $13:30$. При этом минимальное расстояние между судами достигается в $13:45:06$. Из-за этого, возможно, автор и перепутал одно время с другим. При этом минимумы записываются попроще:
$$\frac{18}{\sqrt{739/2 + 583\sqrt{2/5}}}$$
$$6\sqrt{\frac{710-172\sqrt{10}}{5785}}$$

Тоже не очень короткие выражения.
Поскольку не те.
Цитата:

Есть ещё идея, что первоначально автор хотел упомянуть не о времени "затмения", а о достижении минимума ровно в $13:45$. В этом случае, выражения, по предварительным расчётам, будут ещё длиннее.
Таким образом, случайно исказить условие не способен даже я :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение28.11.2013, 16:49 
Аватара пользователя


29/04/13
8139
Богородский
Значит всё-таки было задумано время "затмения" $12:45$.

Вариант 1. Угол между направлениями судов $\approx8.13$ градусов. Они столкнутся в $14:00:00$.

Вариант 2. Угол между направлениями судов $ = 135$ градусов. При этом минимум достигается примерно в $12:45:31$ и равен

$$12\sqrt{\frac2{29}}$$ километров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение28.11.2013, 17:36 
Заслуженный участник


03/12/07
372
Україна
Или такой вариант:
время "затмения" $12:15$, минимум достигается в $12\frac{7}{29}$, что примерно равно $12:14:29$ и равен $12\sqrt{\frac2{29}}$ километров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение28.11.2013, 17:47 
Аватара пользователя


29/04/13
8139
Богородский
Тогда трудней перепутать. $12:45$ отличается от $13:45$ одним символом, а $12:15$ -- двумя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение28.11.2013, 20:55 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Yadryara в сообщении #793809 писал(а):
Значит всё-таки было задумано время "затмения" $12:45$.

Вариант 1. Угол между направлениями судов $\approx8.13$ градусов. Они столкнутся в $14:00:00$.

Вариант 2. Угол между направлениями судов $ = 135$ градусов. При этом минимум достигается примерно в $12:45:31$ и равен

$$12\sqrt{\frac2{29}}$$ километров.
Все верно!

Меня привлек именно этот вариант.
Во-первых, все вычисления (с не более чем одноэтажными небольшими корнями) не сложно проделать руками.
Во-вторых, этот случай не вырожден (как тот, когда курсы судов лежат на параллельных прямых). Но, в то же время, дуаль, возникающая в других невырожденных случаях, здесь, как бы, и не совсем дуаль, а изюминка. Одно решение мирное. А другое катастрофическое, то ли постороннее, то ли наоборот, главное (поскольку в нем минимум радикальнее).

VAL в сообщении #792988 писал(а):
Yadryara в сообщении #792851 писал(а):
Разбираясь с радикальными во всех смыслах :-) вычислениями решил проверить и основные ответы. Должно быть $372$ вместо $373$.

Мы стали на шаг ближе к разгадке тайны, откуда взялось такое время перекрытия "Омеги" "Альфой" :-)
Как видите, это очепятка абсолютный клон предыдущей. Тоже тройка вместо двойки встряла.

-- 28 ноя 2013, 21:08 --

Edward_Tur в сообщении #793835 писал(а):
Или такой вариант:
время "затмения" $12:15$, минимум достигается в $12\frac{7}{29}$, что примерно равно $12:14:29$ и равен $12\sqrt{\frac2{29}}$ километров.

Этот вариант лишнее подтверждение моей версии, что любое время "затмения", кроме 13:45 приводит в приличному ответу :-)
Но верный вариант (точнее, вариант из моих черновиков) приведен все же у Антона.

Кстати, если время "затмения" - 12:15, дуали не возникает? (Я этот вариант не считал.)

PS: Edward, я рад, что Вы следите за Марафоном. Не желаете ли вернутся из стана болельщиков в когорту действующих марафонцев?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение29.11.2013, 11:17 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
========= ММ187 ==========

Можно обойтись без эллиптических кривых

ММ187 (6 баллов)

Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел $(a,b)$, таких что $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ является натуральным числом.
Доказать, что существует бесконечно много пар, для которых $\frac{a^2+b^2}{ab+1}= 1369$.
Существуют ли пары, для которых $\frac{a^2+b^2}{ab+1} = 2013$?

Решение

Нарушу традиции и приведу решения Виктора Филимоненкова и Дмитрия Пашуткина (поразившее меня своей краткостью).


Обсуждение

Любопытна история ММ187. Лет двадцать назад задачу, послужившую основой ММ187, мне задал один абитуриент, когда принимал у него вступительный экзамен по математике. Случай в моей практике уникальный.
Как выяснилось, исходная задача (IMO 1988) "широко известна в узких кругах". Например, метод Vieta jumping объясняется в англоязычной Википедии именно на примере этой задачи, а в русскоязычной Википедии ссылка на эту статью есть в статье "Олимпиадные математические задачи". Более того, статью "Vieta jumping" и ссылку на нее разместил Макс Алексеев - свой человек в Математическом марафоне. Так что, насчет узких кругов я написал не для красного словца.

Натуральными числами вида $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ являются квадраты $GCD(a,b)$, и только они. Я сознательно составил задачу так, чтобы справиться со всеми тремя пунктами можно было, не опираясь на это утверждение: для первого достаточно пар $(a,a^3)$; для второго просто строится рекуррентная последовательность для значения 1369; для третьего достаточно заметить, что 2013 делится на 3, но не делится на 9 (из решения Дмитрия Пашуткина видно, что можно прийти к верному выводу и иначе).

На этот раз марафонцы не особо стремились к обобщениям. Единственным участником, предложившим серьезное обобщение ММ187, оказался Олег Полубасов. Я не привожу этого обобщения по двум причинам:
1) я еще сам не конца разобрался во всех деталях (а разбор ММ187 и без того запаздывает);
2) те детали, в которых я успел разобраться, все равно, попридержу, поскольку они могут послужить основой для новых задач :-)
Замечу только, что Олег "танцевал" от тесной связи ММ187 с ММ135 и ММ164.

Награды

За правильное решение и обобщение задачи ММ187 Олег Полубасов получает 11 призовых баллов. За правильное решение задачи (или ее отдельных пунктов) Анатолий Казмерчук, Сергей Половинкин, Виктор Филимоненков, Дмитрий Пашуткин получают по 6 баллов, Евгений Гужавин - 4 балла, Николай Дерюгин и Владимир Дорофеев - по 2 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 4.8 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Дмитрия Пашуткина
Pashutkin_MM187.pdf [56.82 Кб]
Скачиваний: 557
Комментарий к файлу: Решение Виктора Филимоненкова
fiviol_MM187.doc [25 Кб]
Скачиваний: 517
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение29.11.2013, 16:47 
Аватара пользователя


29/04/13
8139
Богородский
VAL в сообщении #793909 писал(а):
Но, в то же время, дуаль, возникающая в других невырожденных случаях, здесь, как бы, и не совсем дуаль, а изюминка. Одно решение мирное. А другое катастрофическое, то ли постороннее, то ли наоборот, главное (поскольку в нем минимум радикальнее).
...
Кстати, если время "затмения" - 12:15, дуали не возникает? (Я этот вариант не считал.)

Только что заметил этот вопрос. Конечно возникает. Здесь изюминка существенно круче.

Если позволите такое выражение, все решения исходной задачи симметричны относительно $12:30$. Зная решение для "затмения" в $12:45$, сразу же можно найти их и для $12:15$. Зная для $13:30$ -- для $11:30$. И т. д.

Из этого утверждения следует, что столкновение могло быть в $11:00:00$. Но в условии ничего не сказано о том, как долго корабли двигались прямолинейно и равномерно.

1-й вариант условия.
Оговорить, что суда начали движение после $11:00$. Скажем, в $11:05$. Всё скучно и логично. Минимум имеет место в момент старта.

2-й вариант условия. Экзотический.
Предположить, что в $11:00:00$ произошёл своеобразный "Большой Взрыв", в результате которого образовались буксир и сухогруз, начавшие в этот же момент равномерное прямолинейное движение :-)

3-й вариант условия. Чуть менее экзотический.
Оговорить, что суда могут преспокойно пройти друг через друга без повреждений. Считать их нематериальными точками. После столкновения в $11:00$, суда, как ни в чём не бывало, продолжили своё равномерное прямолинейное движение.

Так что время "затмения" $12:15$ весьма коварно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение29.11.2013, 16:55 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Yadryara в сообщении #794249 писал(а):
VAL в сообщении #793909 писал(а):
Кстати, если время "затмения" - 12:15, дуали не возникает? (Я этот вариант не считал.)

Только что заметил этот вопрос. Конечно возникает. Здесь изюминка существенно круче.

Если позволите такое выражение, все решения исходной задачи симметричны относительно $12:30$
Угу.
Можно было и без вычислений заметить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение05.12.2013, 23:52 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
В лучших традициях традициях XIX тура Марафона срок приема решений задачи ММ188 продлен на двое суток, до 7.12.13

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение08.12.2013, 10:38 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
========= ММ188 ==========

Когда трехмерный случай сложнее четырехмерного

ММ188 (9 баллов)

1. $a,b,c,d$ - векторы трехмерного евклидова пространства (не обязательно различные).
$M = \{\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\}\}$. Подмножество множества $M$ назовем хорошим, если при подходящем выборе векторов все тройки из данного подмножества образуют базис, а остальные не образуют. Сколько хороших подмножеств у $M$?
2. Тот же вопрос для пяти векторов в четырехмерном пространстве.
3. Тот же вопрос для пяти векторов в трехмерном пространстве.

Решение

Привожу два решения:
четкое, обоснованное, без "излишеств" - Виктора Филимоненкова;
с введением терминологии и исследованием более общего случая - Олега Полубасова.

Обсуждение

Предлагая эту задачу, я полагал, что основные трудности решения связаны, с пунктом 3, и именно с комбинаторной частью задачи: корректно разбить подмножества множества $M$ на классы эквивалентных подмножеств (не перебирать же все 1024 случая отдельно) и найти мощность каждого класса.
Но, вопреки моим ожиданиям, оказалось, что главный источник преткновений - линейная алгебра. В частности, не подтвердился эпиграф "трехмерный случай сложнее четырехмерного": есть решение, где трехмерный случай посчитан правильно, а четырехмерный - с ошибками. Обратных же примеров - нет.

Не подтвердилась и вторая моя гипотеза. Я полагал, что задача получит низкую оценку из-за "муторности" решения. Однако, задача участникам Марафона, в целом, понравилась.

Совершенно очевидно (по крайней мере, "с моей колокольни") обобщение 1-го и 2-го пунктов задачи на случай n-мерного пространства.
Если $M$ состоит из всех сочетаний (n+1)-элементного множества по n элементов, то все $2^{n+1}$ подмножеств будут хорошими.

На другие очевидные по постановке, но не по методам и результатам результатам, обобщения отважились всего двое марафонцев. Их успехи на этом пути оценены дополнительными призовыми баллами.
Интересные вопросы, оставшиеся без ответов, приведены в дополнении к решению Олега Полубасова.

Награды

За правильное решение и обобщение задачи ММ188 Олег Полубасов получает 14, а Анатолий Казмерчук - 11 призовых баллов. За правильное решение задачи (или ее отдельных частей) Сергей Половинкин и Виктор Филимоненков получают по 9 баллов, Дмитрий Пашуткин - 7 баллов, Антон Никонов и Николай Дерюгин - по 2 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 4.8 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Дополнение к решению Олега Полубасова
MM188_дополнительно_Полубасов.pdf [392 Кб]
Скачиваний: 542
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM188_Полубасов.pdf [553.39 Кб]
Скачиваний: 523
Комментарий к файлу: Решение Виктора Филимоненкова
MM188_fiviol.doc [59.5 Кб]
Скачиваний: 524
 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 861 ]  На страницу Пред.  1 ... 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 ... 58  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group