========= ММ187 ========== Можно обойтись без эллиптических кривыхММ187 (6 баллов)
Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел
, таких что
является натуральным числом.
Доказать, что существует бесконечно много пар, для которых
.
Существуют ли пары, для которых
?
РешениеНарушу традиции и приведу решения Виктора Филимоненкова и Дмитрия Пашуткина (поразившее меня своей краткостью).
Обсуждение Любопытна история ММ187. Лет двадцать назад задачу, послужившую основой ММ187, мне задал один абитуриент, когда принимал у него вступительный экзамен по математике. Случай в моей практике уникальный.
Как выяснилось, исходная задача (IMO 1988) "широко известна в узких кругах". Например, метод
Vieta jumping объясняется в англоязычной Википедии именно на примере этой задачи, а в русскоязычной Википедии ссылка на эту статью есть в статье "Олимпиадные математические задачи". Более того, статью "Vieta jumping" и ссылку на нее разместил Макс Алексеев - свой человек в Математическом марафоне. Так что, насчет узких кругов я написал не для красного словца.
Натуральными числами вида
являются квадраты
, и только они. Я сознательно составил задачу так, чтобы справиться со всеми тремя пунктами можно было, не опираясь на это утверждение: для первого достаточно пар
; для второго просто строится рекуррентная последовательность для значения 1369; для третьего достаточно заметить, что 2013 делится на 3, но не делится на 9 (из решения Дмитрия Пашуткина видно, что можно прийти к верному выводу и иначе).
На этот раз марафонцы не особо стремились к обобщениям. Единственным участником, предложившим серьезное обобщение ММ187, оказался Олег Полубасов. Я не привожу этого обобщения по двум причинам:
1) я еще сам не конца разобрался во всех деталях (а разбор ММ187 и без того запаздывает);
2) те детали, в которых я успел разобраться, все равно, попридержу, поскольку они могут послужить основой для новых задач
Замечу только, что Олег "танцевал" от тесной связи ММ187 с ММ135 и ММ164.
НаградыЗа правильное решение и обобщение задачи ММ187 Олег Полубасов получает 11 призовых баллов. За правильное решение задачи (или ее отдельных пунктов) Анатолий Казмерчук, Сергей Половинкин, Виктор Филимоненков, Дмитрий Пашуткин получают по 6 баллов, Евгений Гужавин - 4 балла, Николай Дерюгин и Владимир Дорофеев - по 2 призовых балла.
Эстетическая оценка задачи 4.8 балла