2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 50  След.
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение05.11.2013, 14:40 
Аватара пользователя


29/04/13
3742
Богородский
С согласия автора, прокомментирую 183-ю задачу.

VAL в сообщении #783832 писал(а):
Тем более, что остальные "обобщения" Олега - это не обобщения а вариации на тему (что, разумеется, тоже приветствуется).

Вот я как раз и занимался вариациями. Впрочем, об этом ниже.

VAL в сообщении #783832 писал(а):
К моменту, когда мне прислали первое решение с выходом на A003121, я уже давно имел ответ о числе упорядочиваний сумм для $n=6$ и не сомневался в нем.
Этот ответ был 168. А шестой член A003121 равен 286. Поэтому я решил, что совпадение начальных членов A003121 и ответов к ММ183 для малых $n$ - случайность. И успокоился. Но ненадолго. В тот же день пришло еще одно решение с ответом 286 для $n=6$.
Уверенность в правильности моего ответа пошатнулась и я кинулся перепроверять свое решение.


Подобная самокритичность -- очень редкое качество. Ведь Вас никто не смог бы уличить, поскольку неверный ответ 168, как я понял, Вы нигде не опубликовали и никому о нём не говорили. Сам я нашёл не только число 286, но и 33592. Эти числа совпали с A003121. Эта вариация значится у Олега под номером 1.

Затем я решил рассмотреть вариацию, которая представляет из себя комбинацию пунктов 1 и 4 из списка Олега.

Что если заниматься не попарными суммами, a тройками. То есть, в данном случае, рассматривать не $a+b, a+c$ и т. д., а

$a+b+c$
$a+b+d$
$a+b+e$
$b+c+d$

и т. д.

В данном случае имеется $12$ вариантов расположения сумм в этом списке.

Если же имеется не 5, а 6 чисел $a<b<c<d<e<f$, то количество вариантов сражу же возрастает до $41526$.

Получается последовательность

$1, 1, 12, 41526, ...$

И я пока даже не смог подобрать формулу для неё.

Это всё было вычислено в октябре. С тех пор я не раз проверял вычисления, ошибок не нашёл, но всё равно не полностью уверен в правильности вычисления последнего числа.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение05.11.2013, 15:48 
Заслуженный участник


27/06/08
3409
Волгоград
Yadryara в сообщении #785041 писал(а):
С согласия автора, прокомментирую 183-ю задачу.
Можно и без согласия. Тема ведь так и называется: "Обсуждение и разбор марафонских задач". Единственное требование - вести публичное обсуждение уже после обнародования авторского разбора.
Цитата:
VAL в сообщении #783832 писал(а):
К моменту, когда мне прислали первое решение с выходом на A003121, я уже давно имел ответ о числе упорядочиваний сумм для $n=6$ и не сомневался в нем.
Этот ответ был 168. А шестой член A003121 равен 286. Поэтому я решил, что совпадение начальных членов A003121 и ответов к ММ183 для малых $n$ - случайность. И успокоился. Но ненадолго. В тот же день пришло еще одно решение с ответом 286 для $n=6$.
Уверенность в правильности моего ответа пошатнулась и я кинулся перепроверять свое решение.


Подобная самокритичность -- очень редкое качество. Ведь Вас никто не смог бы уличить, поскольку неверный ответ 168, как я понял, Вы нигде не опубликовали и никому о нём не говорили. Сам я нашёл не только число 286, но и 33592. Эти числа совпали с A003121. Эта вариация значится у Олега под номером 1.
Антон, мне кажется, Вы невнимательно прочли разбор задачи.
Да, ответ 168 не годится для опубликованного варианта ММ183. Поскольку он получен для несколько иной задачи (в которой суммы попарно различны).

Но и ответ 286 не годится. Поскольку он тоже получен для иной задачи, существенно более далекой от исходной.
Этот момент обсуждается в разборе и снабжен примером "упорядочивания", которое входит в число насчитанных Вами 286 вариантов, но не годится в качестве упорядочивания (без кавычек) ни для какой шестерки чисел.
Правильный ответ на вопрос задачи (но для шести чисел) - 244.

В приложении перечислены все 42 таких же "псевдоупорядочивания". Как и все 244 реализуемых случая. Если Вы укажете еще хотя бы одно, не вошедшее в эти 244, я немедленно (после проверки, разумеется) пересмотрю оценку, которую поставил за Ваше решение, в сторону резкого увеличения.

Разумеется, и дальнейшем число возможных упорядочиваний сумм будет все сильнее отставать от A003121. Так что 33592 и близко не появится для семи чисел.
Цитата:
Затем я решил рассмотреть вариацию, которая представляет из себя комбинацию пунктов 1 и 4 из списка Олега.

Что если заниматься не попарными суммами, a тройками. То есть, в данном случае, рассматривать не $a+b, a+c$ и т. д., а

$a+b+c$
$a+b+d$
$a+b+e$
$b+c+d$

и т. д.

В данном случае имеется $12$ вариантов расположения сумм в этом списке.

Если же имеется не 5, а 6 чисел $a<b<c<d<e<f$, то количество вариантов сражу же возрастает до $41526$.

Получается последовательность

$1, 1, 12, 41526, ...$

И я пока даже не смог подобрать формулу для неё.

Это всё было вычислено в октябре. С тех пор я не раз проверял вычисления, ошибок не нашёл, но всё равно не полностью уверен в правильности вычисления последнего числа.
Подозреваю, что 41526 это число заполнений каких-нибудь тетраэдрических конструкций числами $1, 2, \dots, 20$, а не число возможных упорядочиваний сумм трех слагаемых.

PS: Ваш "союзник", тоже вышедший на A003121, заблаговременно, еще до публикации разбора, "переметнулся в стан Ваших противников" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение05.11.2013, 16:41 
Аватара пользователя


29/04/13
3742
Богородский
VAL в сообщении #785090 писал(а):
Антон, мне кажется, Вы невнимательно прочли разбор задачи.

Да, возможно, невнимательно. Но срок другой, 184-й задачи уже истекает. Пожалуй, стоит её дорешать. Вернуться к разбору 183-й можно будет и потом. Сейчас уже некогда.

VAL в сообщении #785090 писал(а):
Подозреваю, что 41526 это число заполнений каких-нибудь тетраэдрических конструкций числами $1, 2, \dots, 20$, а не число возможных упорядочиваний сумм трех слагаемых.

Да, похоже, Вы правы. А я-то думаю, почему мне это число так сильно не нравится. Видимо, оно неверно. В любом случае, сейчас не время это выяснять.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение05.11.2013, 16:52 
Заслуженный участник


27/06/08
3409
Волгоград
Yadryara в сообщении #785118 писал(а):
VAL в сообщении #785090 писал(а):
Антон, мне кажется, Вы невнимательно прочли разбор задачи.

Да, возможно, невнимательно. Но срок другой, 184-й задачи уже истекает. Пожалуй, стоит её дорешать. Вернуться к разбору 183-й можно будет и потом.
Конечно!

Если только кто-нибудь нас не опередит: я добавил обе возникающие при обобщении ММ183 последовательности в OEIS.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение06.11.2013, 01:06 


05/08/08
55
Санкт-Петербург
VAL в сообщении #785126 писал(а):
Если только кто-нибудь нас не опередит: я добавил обе возникающие при обобщении ММ183 последовательности в OEIS.


А ссылочки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение06.11.2013, 03:56 
Заслуженный участник


27/06/08
3409
Волгоград
kknop в сообщении #785456 писал(а):
VAL в сообщении #785126 писал(а):
Если только кто-нибудь нас не опередит: я добавил обе возникающие при обобщении ММ183 последовательности в OEIS.

А ссылочки?
Когда я писал процитированное выше, был еще рано: последовательности еще изучались модераторами.
А сейчас, пожалуйста: A231074 и A231085.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение06.11.2013, 09:27 


05/08/08
55
Санкт-Петербург
VAL в сообщении #785473 писал(а):
А сейчас, пожалуйста: A231074 и A231085.


yadryara прав в том, что такого рода последовательности предполагают и обобщение на иное число слагаемых.
То бишь надо сразу сосчитать несколько первых членов для тройных сумм и тоже их занести в OEIS.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение06.11.2013, 09:50 
Заслуженный участник


27/06/08
3409
Волгоград
kknop в сообщении #785519 писал(а):
VAL в сообщении #785473 писал(а):
А сейчас, пожалуйста: A231074 и A231085.


yadryara прав в том, что такого рода последовательности предполагают и обобщение на иное число слагаемых.
То бишь надо сразу сосчитать несколько первых членов для тройных сумм и тоже их занести в OEIS.
Не спорю. Но сосчитать хотя бы один нетривиальный член, скажем, для сумм шести чисел по три ... нетривиальная задача :-)
Впрочем, я ей особо не занимался. Больше сил положил на попытки (пока безрезультатные) вывести общую формулу для парных сумм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение06.11.2013, 22:16 
Заслуженный участник


27/06/08
3409
Волгоград
VAL в сообщении #785524 писал(а):
kknop в сообщении #785519 писал(а):
yadryara прав в том, что такого рода последовательности предполагают и обобщение на иное число слагаемых.
То бишь надо сразу сосчитать несколько первых членов для тройных сумм и тоже их занести в OEIS.
Не спорю. Но сосчитать хотя бы один нетривиальный член, скажем, для сумм шести чисел по три ... нетривиальная задача :-)
Впрочем, я ей особо не занимался. Больше сил положил на попытки ()пока безрезультатные) вывести общую формулу для парных сумм.
Посчитал для шести чисел и трех слагаемых при условии, что суммы попарно различны.
Получилось 324.

Сейчас попробую осилить случай, когда среди сумм могут быть одинаковые.

Кстати, тут, как и для многих других последовательностей в OEIS, возникает нечто вроде парадокса кучи.

Хорошо, занесем мы последовательность для сумм по три слагаемых. А по четыре заносить? А по пять? Ну и так далее.

PS: Насчет 324 я, похоже, поторопился.
PPS: Похоже, поторопился с заявлением, что поторопился :-)
Иными словами, 324, по-видимому, правильный ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение07.11.2013, 10:32 
Заслуженный участник


27/06/08
3409
Волгоград
VAL в сообщении #785781 писал(а):
Посчитал для шести чисел и трех слагаемых при условии, что суммы попарно различны.
Получилось 324.

Сейчас попробую осилить случай, когда среди сумм могут быть одинаковые.
По предварительных прикидкам получается больше десяти тысяч.
Серьезное расхождение со случаем, когда суммы уникальны. Для парных сумм такого не наблюдалось.

Попробовал понять в чем дело. Оказывается, при условии, что что суммы шести чисел по три попарно различны, упорядочивание всех двадцати возможных сумм однозначно определено порядком, в котором расположены всего восемь из них. (Например, суммы занимающие места с 3-го по 10-е.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение08.11.2013, 00:31 
Заслуженный участник


27/06/08
3409
Волгоград
========= ММ184 ==========

Как же без графов?

ММ184 (7 баллов)

Компания из 30 отдыхающих собралась для 10-дневного рафтинга. Некоторые их туристов были знакомы между собой. График дежурств (по три человека на каждый день, чтобы каждый отдежурил ровно один раз) составили с помощью жребия. Получилось, что в каждой тройке дежурных ровно двое знакомы между собой. Недовольный такой ситуацией командор предложил свой график, такой что в каждой тройке была ровно одна пара незнакомых. Этот график тоже не всем понравился. Покумекав, туристы смогли совместными усилиями составить такой график, что в каждой тройке дежурных все были знакомы между собой.
Какое наименьшее и наибольшее число пар знакомых могло быть в данной группе?

Решение

Привожу решения Сергея Половинкина, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

В отличие от предыдущей задачи, обсуждать особо нечего.
Наиболее естественные обобщения рассмотрены в приведенных решениях.

Отвечу на вопрос некоторых участников, почему базовая оценка ММ184 столь высока, по сравнению с предыдущими задачами.
Ответ такой: мне это неизвестно. По моему замыслу базовая оценка составляла 4 балла. Откуда взялась семерка - не знаю. Но менять ничего не стал. Все равно, все решавшие задачу находятся в одинаковых условиях (а не решавшие могут пенять только на себя :-))


Награды

За правильное решение ММ183 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 12 призовых баллов, Сергей Половинкин - 9 призовых баллов, Антон Никонов - 8 призовых баллов, Виктор Филимоненков, Дмитрий Пашуткин, Владимир Леонидович и Николай Дерюгин - по 7 призовых баллов. (Дополнительные баллы соответствует полноте и успешности обобщения исходной задачи.)

Эстетическая оценка задачи 4.8 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Сергея Половинкина
mm184_Polovinkin.pdf [80.88 Кб]
Скачиваний: 88
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM184_Полубасов.pdf [161.39 Кб]
Скачиваний: 81
Комментарий к файлу: Решение Анатолия Казмерчука
mm_pr184_Kazmerchuk.doc [272.5 Кб]
Скачиваний: 71
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение15.11.2013, 10:49 
Заслуженный участник


27/06/08
3409
Волгоград
========= ММ185 ==========

Очередной раз режем квадрат

ММ185 (5 баллов)

Квадрат со стороной 1 разрезали на 100 прямоугольников с суммой периметров P. Найти диапазон возможных значений P.

Решение

Приведу решения Сергея Половинкина, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Задача коварна тем, что обоснование правильности ответа не сколь очевидно, как сам ответ.
Приведу некоторые моменты (на которых поскользнулись некоторые участники):
"Чтобы получить k +1 прямоугольник, необходимо один из уже разрезанных прямоугольников разрезать на два прямоугольника"..
Если бы процитированное выше было правдой, в каждом разбиении существовал бы сквозной разрез от одной стороны квадрата, до противоположной. Но

Изображение

Замечательно то, что строгие обоснования не дублируют одни и те же идеи, а отличаются разнообразием.

Обобщение задачи заменой 100 прямоугольников на другое количество, конечно, тривиально.

Неожиданно легко (формулируя задачу, я не подумал о таком варианте обобщения) проходит переход с квадрата на куб и т.д.

А вот переход к прямоугольнику дает более неожиданный эффект. Диапазон изменения P пересекает быть полуинтервалом: наибольшее достижимое значение "уходит в отрыв" от остальных.

Награды

За различные (по строгости обоснования и разнообразию обобщений) решения ММ185 конкурсанты получают следующие призовые баллы: Анатолий Казмерчук - 11; Олег Полубасов - 9; Сергей Половинкин - 7; Виктор Филомоненков, Антон Никонов и Дмитрий Пашуткин - по 5; Николай Дерюгин - 3.

Эстетическая оценка задачи 4.9 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Анатолия Казмерчука
mm_pr185__Kazmerchuk.doc [354 Кб]
Скачиваний: 84
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM185_Полубасов.pdf [220.19 Кб]
Скачиваний: 82
Комментарий к файлу: Решение Сергея Половинкина
mm185_Polovinkin.pdf [62.77 Кб]
Скачиваний: 77
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение21.11.2013, 23:01 
Заслуженный участник


27/06/08
3409
Волгоград
По Просьбе некоторых участников Марафона срок приема решений ММ186 продлен на двое суток, до 23.11.13

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение24.11.2013, 13:26 
Заслуженный участник


27/06/08
3409
Волгоград
========= ММ186 ==========

Еще в школе, решая задачи типа "Из пунктов A и B навстречу друг другу...", грезил предлагаемой задачей. И вот...

ММ186 (7 баллов)

В 12:00 расстояние от маяка до сухогруза "Альфа" составляло $12$ км, а до буксира "Омега" - $4\sqrt{13}$.
В 13:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались такими же как 12:00. А в 14:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались равны по $12\sqrt5$
Найти минимальное расстояние от "Альфы" до "Омеги", учитывая, что в 13:45 смотритель маяка не видел "Омегу" за "Альфой".

Примечание: Сухогруз и буксир движутся прямолинейно и равномерно. Все плавсредства и маяк - материальные точки.

Решение

Дежурно привожу аккуратные и подробные решения Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука.
Решение Антона Никонова изложено не столь подробно. Зато он дальше всех продвинулся в деле обобщения задачи:

(Решение Антона Никонова)

Вначале расстояние от маяка до сухогруза "Альфа" составляло $x_a$ метров, а до буксира "Омега" -- $x$.
Спустя $q$ секунд, расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" составили $y_a$ и $y$ соответственно.
А через $s$ секунд от начала, расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались равны $z_a$ и $z$ соответственно.

Найти минимальное расстояние от "Альфы" до "Омеги", учитывая, что через $r$ секунд от начала, смотритель маяка не видел "Омегу" за "Альфой".

Примечание: Сухогруз и буксир движутся прямолинейно и равномерно. Все плавсредства и маяк - материальные точки.
--------------------------------------------------------------------------

Итак, необходимо найти функцию от 9 переменных.

Поставил маяк в начало декартовых координат. Довольно быстро пришёл к выводу, что результат зависит только от взаимного положения судов. Стало быть, направление движения одного из них можно задать произвольно.

Пусть "Омега" движется в этих координатах строго на восток со скоростью $v$ на постоянной высоте $h$ над горизонтальной осью. Тогда будут справедливы следующие уравнения:

$$x^2=f^2+h^2$$
$$y^2=i^2+h^2$$
$$z^2=j^2+h^2$$

$$v = \frac{i-f}q$$
$$v = \frac{j-f}s$$

$$\frac{i-f}q = \frac{j-f}s$$

$$f=-\sqrt{x^2-h^2}$$
$$i=\sqrt{y^2-h^2}$$
$$j=\sqrt{z^2-h^2}$$

$$\frac{\sqrt{y^2-h^2}+\sqrt{x^2-h^2}}q = \frac{\sqrt{z^2-h^2}+\sqrt{x^2-h^2}}s$$

$$s\sqrt{y^2-h^2}+s\sqrt{x^2-h^2} = q\sqrt{z^2-h^2}+q\sqrt{x^2-h^2}$$

$$(s-q)\sqrt{x^2-h^2} = q\sqrt{z^2-h^2}-s\sqrt{y^2-h^2}$$

$$(s^2-2qs+q^2)(x^2-h^2) = q^2(z^2-h^2) - 2qs\sqrt{(z^2-h^2)(y^2-h^2)}+s^2(y^2-h^2)$$

$$s^2x^2-s^2h^2-2qsx^2+2qsh^2+q^2x^2-q^2h^2 = q^2z^2-q^2h^2 - 2qs\sqrt{(z^2-h^2)(y^2-h^2)}+s^2y^2-s^2h^2$$

$$s^2x^2-2qsx^2+2qsh^2+q^2x^2 = q^2z^2 - 2qs\sqrt{(z^2-h^2)(y^2-h^2)}+s^2y^2$$

$$2qs\sqrt{(z^2-h^2)(y^2-h^2)} = s^2y^2-s^2x^2+2qsx^2-2qsh^2-q^2x^2+q^2z^2$$

$$4q^2s^2(z^2-h^2)(y^2-h^2) = (s^2y^2-s^2x^2+2qsx^2-2qsh^2-q^2x^2+q^2z^2)^2$$

Постепенно разобравшись с левой и правой частями, всё-таки выразил $h$ через известные величины, с помощью то ли чудовищной, то ли умопомрачительной формулы:

$h = \sqrt{\frac{q^4(x^4 + z^4 - 2x^2z^2) - 2qs(2q^2(x^4 - x^2z^2) - qs(3x^4 - x^2(y^2 +z^2) - y^2z^2) + 2s^2(x^4 - x^2y^2)) + s^4(x^4 + y^4 - 2x^2y^2)}{4q^3s(z^2 - x^2) + 4q^2s^2(2x^2 - y^2 - z^2) - 4qs^3(x^2 - y^2)}}$

Работает! Найдя $h$ благодаря этой неимоверной формуле, стало возможным вычислить неизвестные по вышеприведённым формулам.

Например, для исходной задачи:

$h=12000$ метров.

$f=-8000$ метров.
$i=8000$ метров.
$j=24000$ метров.

$v=4,(4)$ (метра в секунду) $=16$ (км/ч).

А также вычислить соответствующие величины и для "Альфы", если тоже запустить её строго горизонтально на восток на высоте $h_a$ со скоростью $v_a$. Тогда для исходной задачи:

$h_a\approx 8485$ метров.

$f_a\approx -8485$ метров.
$i_a\approx 8485$ метров.
$j_a\approx 25456$ метров.

$v_a\approx 4,714$ (метра в секунду) $\approx 16,971$ (км/ч).

Теперь нетрудно найти расстояние $p$ от маяка до "Омеги" в момент $r$ (13:45) :

$$p^2  = (f+vr)^2 + h^2  = (f+\frac{i-f}qr)^2 + h^2$$
$$p = \sqrt{(f+\frac{i-f}qr)^2 + h^2}$$

И расстояние от маяка до "Альфы" в момент $r$ (13:45):

$$p_a = \sqrt{(f_a+\frac{i_a-f_a}qr)^2 + h_a^2}$$

Синус угла между линией, соединяющей маяк с "Омегой" и горизонтальной осью в момент $r$ (13:45) $\sin\omega  = \frac{h}p$, а косинус этого же угла $\cos\omega = \sqrt{1-sin^2\omega}$

Синус угла между линией, соединяющей маяк с "Альфой" и горизонтальной осью в момент $r$ (13:45) $\sin\alpha = \frac{h_a}{p_a}$, а косинус этого же угла $cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}$.

Разность между этими углами и есть тот самый угол, на который нужно повернуть траекторию движения "Альфы" относительно горизонтальной оси, чтобы условие затмения "Омеги" "Альфой" в момент $r$ выполнилось.

Разница между горизонтальной составляющей скорости "Альфы" и горизонтальной составляющей скорости "Омеги" равна:
$$a = (\cos\omega\cos\alpha + sin\omega\sin\alpha)v_a - v}$$
Поскольку вертикальная составляющая скорости "Омеги" равна нулю, разницу между вертикальными составляющими скорости "Альфы" и "Омеги" вычислить ещё проще:
$$b = (sin\omega\cos\alpha - \sin\alpha\cos\omega)v_a$$
Таков путь от "Альфы" до "Омеги" в момент $r$ (13:45) по горизонтали:
$$c = (p - p_a)\cos\omega$$
А таков по вертикали:
$$d = (p - p_a)sin\omega$$

Составил формулу изменения расстояния $l$ от "Альфы" до "Омеги" в зависимости от времени $t$:
$$l(t) = \sqrt{(c - at)^2 + (d - bt)^2}$$
$$l'(t) = \frac{a^2t - ac + b^2t - bd}{\sqrt{(c-at)^2 + (d-bt)^2}}$$
Приравняв производную к нулю, вычислил, сколько времени потребуется на достижение минимального расстояния от "Альфы" до "Омеги" после момента $r$ (13:45) :
$$t_{min} =\frac{ac + bd}{a^2 + b^2}$$
Подставив это значение в формулу изменения расстояния, получил ответ на главный вопрос задачи. Минимальное расстояние от "Альфы" до "Омеги" находится так:
$$l_{min} =\frac{\sqrt{a^4d^2 - 2a^3bcd + a^2b^2c^2 + a^2b^2d^2 - 2ab^3cd + b^4c^2}}{a^2 + b^2}$$

Для исходной задачи в $13:52:23,917$ расстояние между "Альфой" и "Омегой" достигнет минимума в $327,661$ метров.

Есть ещё вариант с пуском "Альфы" на север. Но для исходной задачи он даёт больший $l_{min}\approx 471,877$ метров.

Формулы позволяют найти минимум и для различных других значений $9$ переменных $x, y, z, x_a, y_a, z_a, q, r, s$.


Обсуждение

Признаюсь честно, потратив некоторое количество сил на разгадывание ребуса "какой буковкой что обозначено в решении Антона?", я сдался и решил поверить "на слово". Тем более, что схема решения в целом ясна, да и ответ для частного случая правильный :-)

Интересно, что среди решавших ясно прослеживаются два "клана":
1. Найдем все нужные данные в двух известных треугольниках, а затем повернем (вокруг общей вершины в маяке) один по отношению к другому, так чтобы в 13:45 суда оказались на одной линии.
2. Сразу же выпишем законы движения обоих судов, а затем будем уточнять параметры, учитывая соотношения в условии.

Приведу точное значение обоих возможных ответов: $d_1=\frac{6\sqrt2(7\sqrt{493}-155)}{\sqrt{8381-372\sqrt{493}}}$, $d_2=\frac{6\sqrt2(\sqrt{493}-19)}{\sqrt{8381-228\sqrt{493}}}$.
Почему эти ответы столь громоздки? Все как обычно. Я старался, что ответ был получше (не случайно же с условии появились корни). И подобрал соответствующие данные. Откуда при публикации выскочило другое время, в которое маяк и суда оказались на одной прямой, мне неизвестно. Но заметил я это лишь тогда, когда уже получил первое решение с ужасными ответами. После этого уточнять условие было бы не этично.
Олег Полубасов (отдельно от прилагаемого решения) нашел три момента времени сокрытия "Омеги" за "Альфой", в которые решение было бы хорошим и единственным.
Правда, два из них с оговорками:
Цитата:
Если считать, что при столкновении судов "Омегу" не будет видно за "Альфой", то дуали также не будет, если t=0 соответствует 14:00 или 11:00.

Понятно, что это не совсем то, что имел в виду я.
Третий вариант не содержит катастрофических последствий. Но если допустить, что "Омеги" не было видно в 12:30, то задача выхолащивается (суда движутся по параллельным фарватерам).
Я же хотел, чтобы двумерность задачи играла более существенную роль. И ради этого пошел даже на отказ от единственности решения. Поэтому время "ч" в неискаженном моей рассеянностью варианте условия не совпадало ни с 11:00, ни с 12:30, ни с 14:00.
Подводя итоги, можно сделать гипотетический вывод, что ответ будет хорошим, если суда окажутся на одной прямой с маяком в любой момент времени за исключением 13:45 :-)

Некоторые участники, найдя оба ответа, посчитали "главным" только меньший из них, поскольку в условии требовалось найти наименьшее расстояние. Конечно же, ответы равноправны. Вот если бы в условии было сказано "Найти наименьшее возможное расстояне", тогда - другое дело.

И еще один курьез: уже после (правильного) нахождения наименьшего расстояния между судами один из участников отдельно выяснил, не столкнутся ли суда.

Награды

За правильное решение задачи ММ186 Антон Никонов получает призовых 10 баллов, Анатолий Казмерчук, Олег Полубасов и Сергей Половинкин - по 8 баллов, Виктор Филимоненков, Дмитрий Пашуткин и Евгений Гужавин - по 7 баллов.

Эстетическая оценка задачи 4.6 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM186_Полубасов.pdf [259.98 Кб]
Скачиваний: 77
Комментарий к файлу: Решение Анатолия Казмерчука
mm_pr186(2)_Kazmerchuk.doc [287 Кб]
Скачиваний: 75
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение24.11.2013, 17:56 
Аватара пользователя


29/04/13
3742
Богородский
VAL в сообщении #792034 писал(а):

Признаюсь честно, потратив некоторое количество сил на разгадывание ребуса "какой буковкой что обозначено в решении Антона?", я сдался и решил поверить "на слово".

Каюсь, не всё тщательно расписал. Очень важно было не ошибиться в длиннющих формулах.

В моём решении, явно не указаны обозначения $f$, $i$ и $j$, а также $f_a$, $i_a$ и $j_a$. Это абсциссы "Омеги" и "Альфы" соответственно. Для трёх моментов времени. Я полагал, что это понятно из приведённых Пифагоровых уравнений.

$$x^2=f^2+h^2$$
$$y^2=i^2+h^2$$
$$z^2=j^2+h^2$$

Поскольку "Омега" движется в этих координатах строго на восток на постоянной высоте $h$ над горизонтальной осью, то $h$ -- её постоянная ордината, а $f$, $i$ и $j$ -- абсциссы. То же и для "Альфы".

Не "корысти ради, а токмо волею пославшей мя жены" хочу ещё раз отметить, что во втором случае минимум достигается через $16,2$ секунды после "затмения" а не до, то есть в $13:45:16,2$ , а не в $13:44:44$, как следует из решения и рисунка Олега.

То есть либо мы с Анатолием ошиблись, либо Олег перепутал знак.

Правда, на оценке это сказаться не должно, ибо минимумы примерно совпадают.

$187$-ю задачу, как и $182$-ю пропускаю, поскольку в условии и той и другой задачи есть слово "доказать". А я, мягко говоря, не силён в доказательствах. :-(

Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 737 ]  На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 50  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group