Волновая функция фотона в координатном представлении

[Paganel]

К словам о фурье-неравноправии 4-координат и 4-импульсов забыл добавить, что для свободных частиц помимо $p_0>0$ имеет место ограничение $p_0^2-\mathbf{p}^2=m^2$ (массовая поверхность), тогда как ни на $x_0$, ни на $x_0^2-\mathbf{x}^2$ ограничений нет (есть, правда, ограничение на перемещение: $\Delta x_0^2-\Delta\mathbf{x}^2>0$).
Но о равноправии все-таки можно говорить в 3-пространстве, временно забыв о релятивистской инвариантности.

[espe]

Paganel в сообщении #790553 писал(а):

ИМХО для фотона также вполне допустимо называть волновой функцией величину $A(x)=\langle 0|\hat A(x)|1\gamma\rangle$

Это с точностью до комплексного сопряжения совпадает с тем, что предлагает Lvov.

Munin в сообщении #790765 писал(а):

Ну тогда возвращаемся к вопросу, а почему нельзя аналогично и с координатой. Операторы рождения и уничтожения преобразуем по Фурье, множитель просто заменяем.

Ну вроде бы, если правильно понимаю, как раз и получатся положительно- и отрицательно-частотные части оператора поля.

Для массивного скалярного поля об этом написано в Пескине-Шрёдере, по-моему в конце §2.3, на этом комп-е этой книги у меня нет.

[Munin]

Paganel
Кажется, до меня начинает доходить. Импульс и энергия - хорошие операторы, но каноническое сопряжение координаты и импульса принадлежит гамильтонову формализму, а релятивистская инвариантность - лагранжеву, и с гамильтоновым несовместима. Поэтому мы вынуждены или ломать формализм ради ненужного, вообще-то, оператора координаты, или отказываться от лоренцевости, что вызывает потерю и физического смысла.

Наверное, итога можно добиться (лоренц-инвариантного оператора, в некотором смысле - не в стандартном! - сопряжённого энергии-импульсу), но это уже не будет оператор координаты в привычном смысле.

Хорошая мысля была о том, что нам волновая функция нужна-то, собственно, за её "хорошие" свойства, как в нерелятивистском уравнении Шрёдингера. Можно ли подобрать что-то с такими же хорошими свойствами, пусть и не выдержав идейной основы?

[Lvov]

Г.Paganel, не уверен, что Вы будете читать и тем более отвечать на это мое сообщение, но ответить на Ваши замечания в мой адрес я должен.

Paganel в сообщении #790599 писал(а):

Свои взгляды на предмет я изложил, и не один раз, повторять бесконечно смысла не вижу. Sapienti sat. Хотите - принимайте, хотите - живите своим умом.
...Использование слов "динамические показатели фотона", отсутствующих в терминологии КЭД, сразу порождают сомнения в элементарной грамотности автора...
...Понятие плотности квантового действия науке неизвестно.

Г.Paganel, Вы изложили взгляды, отвечающие стандартной интерпретации квантовых явлений, т.е. набор стереотипов. Я же предлагаю вариант уточнения и развития квантовой теории в части ряда ее базовых положений. Увы, Вы не в силах и не желаете понять мои соображения. Не в силах понять - потому, что для понимания надо познакомиться с моими работами, не настраивая себя априори, что все это чушь. А знакомиться с ними у Вас нет желания, поскольку Вы убеждены "все это чушь".
В предыдущем сообщении я писал: "Напомню, что в части квантовой теории я придерживаюсь воззрений, в ряде случаев отличных от принятых в ее стандартной интерпретации", приводя ссылку на свою обзорную работу.
Естественно, развивая теорию, я ввожу новый подход к решению проблем и новые понятия. Без этого нельзя развивать науку. А поскольку я касаюсь лишь базовых положений квантовой теории, мне нет необходимости глубоко вникать в различные частные вопросы, многие из которых к тому же просто отражают недостаточно глубокое понимание сущности реальных явлений.

Paganel в сообщении #790599 писал(а):

Цитата:

Lvov писал:
На основе действительной функции $A(x,t)$ невозможно построить вектор плотности-потока вероятности обнаружения фотона...

Саму вероятность обнаружения фотона (через матричный элемент энергии взаимодействия) построить можно. А почему эта вероятность должна иметь поток?

Оставив в покое уже обсуждавшийся вопрос о плотности вероятности обнаружения фотона, отвечу на Ваш вопрос. Вероятность обнаружения фотона характеризуется плотностью потока вероятности ввиду того, что электромагнитный цуг в целом ("фотон" согласно моей терминологии) или отдельные его участки перемещается в пространстве со скоростью света.

Цитата:

Цитата:

Lvov писал:
Градиентная составляющая волновой функции искажает и делает неоднозначными динамические показатели фотона.

А кому нужны эти "динамические показатели фотона"? Сразу вспоминается Неуловимый Джо...

Эти показатели нужны для лучшего понимания квантовых свойств электромагнитного поля и квантовой теории в целом.

Цитата:

Цитата:

Lvov писал:
Калибровочные преобразования в трехпространстве нарушают релятивистскую инвариантность некоторых электродинамических показателей.

Как известно, в существующей теории ни одна наблюдаемая величина не меняется при калибровочных преобразованиях, которые поэтому на релятивистскую инвариантность наблюдаемых величин также не влияют. Что же касается неизвестных науке "некоторых электродинамических показателей", тут я умолкаю.

Не надо иронии, надо осмыслить мои соображения.
Речь, прежде всего, идет о плотности вероятности обнаружения фотона, т.е. о вероятности срабатывания детектора фотонов в разных точках пространства при наличии электромагнитных волн. Этот показатель наиболее строго определяется через вектор-потенциал.

Цитата:

Цитата:

Lvov писал:
Посмотрим на мои формулы и вспомним математику. Отрицательночастотная часть действительной волновой функции комплексно сопряжена положительночастотной ее части (и наоборот). Их сумма дает исходный вектор-потенциал....

Я бы тоже хотел вспомнить математику и кое-что вам объяснить.... например, ПЧЧ... :

$$A^+(t)=...= \int\frac{A(t')\,dt'}{2\pi i(t-t'-i0)}.$$

Аналогично, ОЧЧ ...
...Обратите внимание: согласно вашей дефиниции волновая функция фотона в момент времени $t$ определяется значениями вектор-потенциала при всех $t'$. В частности, вашу волновую функцию фотона СЕЙЧАС нельзя найти, если пока неизвестно, что случится с ЭМ полем ЗАВТРА..

Это уже серьезное конструктивное замечание. Правда, мне известны несколько иные интегральные формулы для ППЧ и ОПЧ, получаемые на основании преобразования Гильберта. Там фигурирует главное значение интеграла.
Но это не суть. Проанализируем Ваши формулы. Заранее скажу, что здесь интегрирование переводит колебательный характер функции с относительно медленно изменяющейся амплитудой в соответствующее монотонное изменение модуля ППЧ и ОПЧ составляющих волновой функции. Об этом я говорил ранее (post775239.html#p775239), утверждая, что значения показателей квазичастицы-фотона усредняются на периоде волновых колебаний вектора-потенциала.
Теперь детальнее. Сначала рассмотрим ППЧ и ОПЧ составляющие для простейшей, осциллирующей функции, например косинуса

$$u=\cos(\omega t)=\frac 1 2 (e^{+i\omega t}+e^{-i\omega t})$$

. Очевидно, в этом случае модуль каждой частотной составляющей не зависит от аргумента, и равняется половине амплитуды исходной функции, а частота осцилляции остается неизменной. В случае набора частотных составляющих это обстоятельство справедливо для каждой из них, ввиду линейности рассматриваемого преобразования. Обратимся теперь к формулам оппонента.
Интегрирование ведется в комплексной плоскости вдоль линии действительной оси $t'.$ При этом рассмотрим два характерных случая:
1) первая производная исходной функции равна нулю и
2) первая производная отлична от нуля при функции, равной нулю.
В первом случае максимальный вклад в результат вносит интегрирование вблизи точки $t'=t.$ В пределе этот вклад становится бесконечно велик по сравнению с вкладами в точках, отдаленных от $t'=t.$ Используя предельный переход и теорему вычетов, можно показать, что $A^+(t)=A^-(t)=A(t).$ Принимая во внимание результат для преобразования косинуса, можно заметить, что этот результат вдвое превышает результат, получаемый по формуле оппонента. Возможно, в формуле упущен сомножитель $\frac 1 2 $.
Обратимся теперь ко второму случаю. В общем случае функции интегрирование здесь представляет сложность, так как вклад в результат конечен в малой окрестности рассматриваемой точки, и область интегрирования уже не ограничивается малой окрестностью аргумента $t$. Однако вклад в ППЧ (ОПЧ) от удаленных значений аргумента уменьшается пропорционально отклонению от рассматриваемой точки. Вклад же в значения показателей фотона, зависящих от квадрата модуля волновой функции, уменьшается как квадрат отклонения от рассматриваемой точки. В случае колебаний волновой функции ЭМП, близких к синусоиде значение волновой функции в рассматриваемых промежуточных точках близко к величине $iA_{\max}/2.$
Получается, что в точках экстремума волнового потенциала ППЧ и ОПЧ с точностью до множителя $\frac 1 2 $ повторяют текущую амплитуду волнового ЭМ поля. В промежуточных же точках волновая функция может несколько зависеть от амплитуды ЗМ колебаний в удаленных областях поля. Однако при относительно медленном изменение амплитуды ЭМ волны эта зависимость невелика. За пределами же волнового цуга, согласно результатам для случая 1) волновая функция равна нулю. Учитывая, что реальные квантованные цуги ЗМ поля включают большое число периодов колебаний (порядка $10^{-8}$ для внутриатомных электронных переходов) с относительно плавным изменением амплитуды, некоторая нелокальность волновой функции по отношению к ЭМ волне не представляет серьезной проблемы.

Цитата:

Цитата:

Lvov писал:
Что же касается распределения энергии и других показателей, то эти величины отличаются при квантовом описании фотонного цуга и максвелловском описании волнового ЭМП..

Понятие фотонного цуга науке (КЭД) неизвестно. Но КЭД описание пространственного распределения энергии у фотона в точности повторяет максвелловское описание (при том же вектор-потенциале), так что позвольте не согласиться насчет "отличаются".

Укажите, пожалуйста, где в КЭД приводится пространственное распределение энергии фотона, например у Л-Л, т.4. Если в КЭД действительно указано, что при монохроматической ЭМ волне энергия фотона пульсирует во времени с двойной частотой, как по Максвеллу, то я я готов поспорить с такой квантовой интерпретацией. Дело в том, что фотон не локализован в такой степени, что бы иметь детализацию в пределах одного периода волны.

Цитата:

Цитата:

Lvov писал:
Главное отличие распределения энергии-импульса в том, что при квантовом описании эти показатели усредняются на периоде и длине волны.

В общем, я ни разу не сомневался, что КЭД вы не знаете. Приведенные слова в этом меня только укрепляют

.
Еще раз напоминаю, я уточняю квантовую теорию, зная ее основы, и не зная многих ее частностей.

Цитата:

Цитата:

Lvov писал:
Еще раз повторю: калибровочная инвариантность не имеет принципиального значения, она используется для упрощения формул. В моем варианте волновой функции применение калибровочных преобразований недопустимо.

Где используется?? Вами используется?? Пальцем показать можете?

Л-Л, т.4, 1980, стр. 338-340.

Цитата:

Цитата:

Lvov писал:
Но он (ББ) жертва принятых неправильных представлений, и идет по ложному пути. Например, будучи не в силах найти выражение для плотности обнаружения фотона, он, сродни любителю физики Tcaplin'у, делает упор на плотность энергии ЭМ поля, не ведая, что существует другой, более подходящий в данном случае показатель - плотность квантового действия ЭМ поля - аналог плотности заряда в квантовой теории.

Кто тут жертва - я бы поспорил. Понятие плотности квантового действия науке неизвестно. Вообще, в физике действие это интеграл по времени от лагранжиана. И этот интеграл никакой плотностью (здесь и СЕЙЧАС) не обладает. Часто говорят о плотности лагранжиана, но не похоже, что вы имели в виду именно ее.

Речь идет не лагранжевом действии, а о квантовом действии волнового поля, которое характеризует его колебательную активность (см. определение в http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog ... 10639.html , ф. (1), и формулы для разных волновых уравнений в http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog ... 10643.html )

Цитата:

Цитата:

Lvov писал:
Что же касается плотности вероятности некоторой координаты фотона, то она может быть выражена через волновую функцию, точно также как в случае других частиц, т.е. оператор координаты частицы равен $x^i$.

В КЭД оператора координаты частицы нет. Впрочем, как и оператора импульса частицы. Зато есть оператор импульса всей системы, позволяющий вычислять импульс (но не координату) одночастичного состояния.

Точно также, как в нерелятивистской КМ, я предлагаю ввести операторы импульса и координаты микрочастицы и в релятивистской КМ, включая квазичастицу фотон, которую я в данном случае представляю в виде цуга ЭМ волн. Об операторе координаты фотона я уже говорил в сообщении post776011.html#p776011. Согласен с оппонентом, что "хорошего" оператора координаты фотона, и вообще, микрочастицы, не существует, поскольку реальностью является волновой процесс, и говорить о точечной частице можно лишь с определенной натяжкой. В любом случае частица представляет собой в большей или меньшей мере локализованный волновой пакет.

Цитата:

Цитата:

Lvov писал:
Я кое-что проверял расчетом...

Настоятельно рекомендую проверить еще раз вычисление энергии и убедиться, что классическое вычисление с сохранением только ПЧЧ в вектор-потенциале не дает правильное значение энергии фотона $\hbar\omega$.

Итак, имеем квазимоночастотную ограниченную во времени и пространстве волновую функцию вида $A^1=a(x)\, \exp(i \omega t -i x^3k_3).$ Проще всего требуемое выражение можно получить, используя указанные мною формулы для действия фотона

$$J=i \int \frac {\partial A^*_k} {\partial x^0} \, A^k\, d^3x $$

и интегральную операторную формулу для энергии фотона

$$E=-\int \frac {\partial A^*_k} {\partial x^0} \, \frac {\partial A^k}{\partial t} d^3x. $$

Сначала формально нормируем волновую функцию с помощью первой формулы на действие $\hbar .$ Затем во вторую формулу подставляем нашу волновую функцию $A^1$. После дифференцирования последнего сомножителя по времени приходим к первой формуле с дополнительным множителем $\omega $, и окончательно имеем $E=\hbar \omega .$

С уважением О.Львов

[Paganel]

espe писал(а):

Это с точностью до комплексного сопряжения совпадает с тем, что предлагает Lvov.

Не согласен. Вас путает схожесть слов. Lvov называет нечто волновой функцией фотона потому, что считает, будто ее квадрат описывает распределение координат фотона. А это неправильно (необосновано).
Написанное мной выражение - по аналогии с другими релятивистскими частицами - действительно можно НАЗЫВАТЬ (но не более) волновой функции фотона. Однако - как и для других релятивистских частиц - квадрат такой функции вовсе не описывает распределение координат. Это потому, что понятие координаты релятивистской частицы как оператора не совпадает с $x$, как давно разъяснено Ньютоном и Вигнером, а здесь повторено мной.

Добавлю, что обсуждать серьезно то, что предлагает Lvov, трудно, так как ляпы у него начинаются с первых строк. Возьмем его уравнение (1) $\partial_t^2\mathbf{A}_r - \Delta\mathbf{A}_r=\mathbf{j}$ из первого поста, которое якобы объясняет, что такое вообще "вихревая" часть вектор-потенциала $\mathbf{A}_r$. Вместе с выписанным чуть дальше условием $\mathbf{\nabla A}_r=0$ из него немедленно следует, что $\mathbf{\nabla j}=0$. А это в сочетании с уравнением непрерывности $\partial_t\rho+\mathbf{\nabla j}=0$ означает, что плотность зарядов в мире, придуманном автором, нигде и никогда не меняется (причем в любой системе отсчета, раз он настаивает на релятивистской инвариантности). Ну, и к чему тогда читать всю эту муть дальше?

espe писал(а):

Для массивного скалярного поля об этом написано в Пескине-Шрёдере, по-моему в конце параграфа 2.3

Пескин и Шрёдер сами там пишут о приближенном характере интерпретации матричного элемента как волновой функции, которая оправдана при малых - по сравнению с массой частицы - импульсах, т.е. когда релятивистскими эффектами можно пренебречь. А вот если мы не пренебрегаем релятивистскими эффектами, если нас интересует точность в координатах, превышающая $\hbar/mc$, то все тонкости, про которые я напоминал, как раз и выплывают во всей красе. Кстати, для фотона - ввиду $m=0$ - цитируемые аргументы из Пескина-Шрёдера неприменимы на 100%.

Munin писал(а):

Импульс и энергия - хорошие операторы, но каноническое сопряжение координаты и импульса принадлежит гамильтонову формализму, а релятивистская инвариантность - лагранжеву, и с гамильтоновым несовместима.

Да нет, не в том дело. В КТП операторы координат и импульсов частиц как канонические переменные не вводятся и в теории изначально отсутствуют как класс. Их роль играют, например, кляйн-гордоновские поля $\varphi(x)$ и их временные производные $\partial_t\varphi(x)$. Они являются обобщенными каноническими координатами и импульсами гамильтонова формализма и подчиняются каноническим коммутационным соотношениям. Оператор полного импульса всей системы $\mathbf{P}$ затем строится из этих канонических переменных (полей и производных) с помощью теоремы Нётер. А вот про оператор координаты всей системы, который был бы генератором сдвига полного импульса, обычно молчат - мало, кто знает, что это такое и зачем он нужен. В лучшем случае строится оператор буста всей системы $\mathbf{K}$, из которого затем можно соорудить нечто, напоминающее оператор координаты всей системы $\mathbf{X}$, поскольку он имеет коммутирующие компоненты и канонически коммутирует с оператором полного импульса $\mathbf{P}$.

Такой релятивистский оператор $\mathbf{X}$ не слишком популярен, потому что он все равно не вписывается в релятивистский формализм (время-то оператором не объявляется!), а его физсмысл остается далеким от наглядности... (хотя наглядность вещь тонкая: иногда это вопрос разбора кучи примеров и привыкания). Но ничего лучше никто пока не придумал (AFAIK). Возможно, потому, что это никому не нужно...

[espe]

Paganel
Не приписывайте мне то, что я не утверждал. Я написал только, что

espe в сообщении #790983 писал(а):

Paganel в сообщении #790553 писал(а):

ИМХО для фотона также вполне допустимо называть волновой функцией величину $A(x)=\langle 0|\hat A(x)|1\gamma\rangle$

Это с точностью до комплексного сопряжения совпадает с тем, что предлагает Lvov.

и не обсуждал, чем хороша или плоха эта величина в качестве волновой функции. Я утверждаю лишь то, что $\langle 0|\hat A(x)|1\gamma\rangle$ есть ПЧЧ или ОЧЧ (в зависимости от определений, не уверен, что во всех учебниках определения совпадают) и что Lvov ранее писал

Lvov в сообщении #789805 писал(а):

для построения волновой функции фотона можно было бы использовать отрицательно-частотную часть вектора-потенциала (ОЧЧ), но для определенности я остановился на ПЧЧ.

Всё. Другого я ничего не утверждаю.


Далее тоже был конкретный ответ на конкретный вопрос

espe в сообщении #790983 писал(а):

Munin в сообщении #790765 писал(а):

Ну тогда возвращаемся к вопросу, а почему нельзя аналогично и с координатой. Операторы рождения и уничтожения преобразуем по Фурье, множитель просто заменяем.

Ну вроде бы, если правильно понимаю, как раз и получатся положительно- и отрицательно-частотные части оператора поля.

Для массивного скалярного поля об этом написано в Пескине-Шрёдере, по-моему в конце §2.3, на этом комп-е этой книги у меня нет.

Утверждение состоит в том, что ПЧЧ и ОЧЧ части оператора поля и операторы рождения и уничтожения зависящие от $\vec{p}$ связаны преобразованием Фурье и формулы (2.41) и (2.42) в П-Ш это точные формулы, которые остаются справедливыми при $m=0$. Все утверждения про нерелятивистский предел в П-Ш касаются интерпретации (про интерпретацию я ничего не писал). Лично для меня тоже очевидно, что для безмассовых частиц нерелятивистского предела не существует. Наверно я зря в своём ответе про П-Ш упомянул.

Не хочу втягиваться в дискуссию, но если есть конкретные возражения, то можно обсудить.

[Paganel]

espe писал(а):

Не хочу втягиваться в дискуссию, но если есть конкретные возражения, то можно обсудить.

Да, есть. По большому счету, это пустяки, но я считаю, что при обсуждении с фриками не стоит их поощрять и делать вид, что у них все в порядке ввиду того, что 10% из того, что они наговорили, верно.

espe писал(а):

Paganel писал(а):

ИМХО для фотона также вполне допустимо называть волновой функцией величину $\langle 0|\hat A(x)|1\gamma\rangle$

Это с точностью до комплексного сопряжения совпадает с тем, что предлагает Lvov.

Повторяю снова: нет, не совпадает. Lvov предъявляет к волновой функции фотона ДВА требования:
1) это должна быть ПЧЧ, и
2) вектор-потенциал должен быть "безвихревым" (некая градиентная часть его должна быть отсечена).
И если по первому пункту совпадение действительно есть, то по второму - нет. Выражение $e_\mu\exp(-ikx)$ называют волновой функцией фотона при любой калибровке 4-вектора поляризации - даже если не выполнены условия $e_0=0$ и $\vec k\cdot\vec e=0$. Никакого значения выбор калибровки не имеет, если не требовать определенного физсмысла от калибровочно-неинвариантных величин вроде квадрата такой волновой функции (а кто требует, кроме Lvova?!).

[Paganel]

Lvov в сообщении #791858 писал(а):

Вы не в силах и не желаете понять мои соображения. Не в силах понять - потому, что для понимания надо познакомиться с моими работами, не настраивая себя априори, что все это чушь. А знакомиться с ними у Вас нет желания, поскольку Вы убеждены "все это чушь".

Знакомился я... и на сайт ваш лазил из любопытства. Хватило нескольких минут, чтобы понять, что это чушь. Использование невпопад терминов из нормальной теории недостаточно для придания вашим текстам физического и математического смысла.

Lvov писал(а):

Вероятность обнаружения фотона характеризуется плотностью потока вероятности ввиду того, что электромагнитный цуг в целом ("фотон" согласно моей терминологии) или отдельные его участки перемещается в пространстве со скоростью света.

Вам все-таки будет полезно проштудировать учебники по КМ и КЭД, усвоить основы квантования и понять, что фотон это не цуг.

Lvov писал(а):

Речь, прежде всего, идет о плотности вероятности обнаружения фотона, т.е. о вероятности срабатывания детектора фотонов в разных точках пространства при наличии электромагнитных волн. Этот показатель наиболее строго определяется через вектор-потенциал.

Вероятность срабатывания детектора фотонов определяется ЭМ взаимодействием (оператором ЭМ взаимодействия в КТП). По сути (а не по форме) это взаимодействие определяется ЭМ полями, а не вектор-потенциалом - ввиду калибровочной инвариантности. В дипольном приближении вообще взаимодействие фотонов с атомом часто записывается как $-\mathbf{E}\cdot\mathbf{d}$.

Lvov писал(а):

мне известны несколько иные интегральные формулы для ППЧ и ОПЧ, получаемые на основании преобразования Гильберта. Там фигурирует главное значение интеграла.

В моих выражениях тоже присутствует главное значение, т.к. $\displaystyle\frac{1}{x\mp i0}=\textrm{P}\frac{1}{x}\pm i\pi\delta(x).$

Lvov писал(а):

Проанализируем Ваши формулы... Сначала рассмотрим ППЧ и ОПЧ составляющие для простейшей, осциллирующей функции, например косинуса $u=\cos(\omega t)=\frac12(e^{+i\omega t}+e^{-i\omega t})$... Обратимся теперь к формулам оппонента. Интегрирование ведется в комплексной плоскости вдоль линии действительной оси $t'$... Используя предельный переход и теорему вычетов, можно показать, что $A^+(t)=A^-(t)=A(t)$.

Учу интегрировать с применением теории вычетов. Бесплатно.
Для функции $A(t)=\exp(-i\omega t)$ с $\omega>0$ замыкаем контур интегрирования снизу - там, где $\exp(-i\omega t')\to 0$ при $t'\to -i\infty$, и получаем, что ПЧЧ дается полюсом при $t'=t-i0$, лежащим внутри замкнутого контура:

$$A^+(t)= \int\frac{\exp(-i\omega t')\,dt'}{2\pi i(t-t'-i0)} = -2\pi i\times \Big[\frac{\exp(-i\omega t')}{-2\pi i}\Big]_{t'=t} = \exp(-i\omega t).$$

Для ОЧЧ получаем

$$A^-(t)= \int\frac{\exp(-i\omega t')\,dt'}{-2\pi i(t-t'+i0)} = 0,$$

так как полюс при $t'=t+i0$ оказывается вне замкнутого контура.
Вычисление для $A(t)=\exp(i\omega t)$ оставляю вам в качестве задания на дом.

Lvov писал(а):

Укажите, пожалуйста, где в КЭД приводится пространственное распределение энергии фотона, например у Л-Л, т.4.

Я уже указывал - см. статьи ББ. В ЛЛ-4 этого нет (так как мало кому интересно, а не потому, что сложно).

Lvov писал(а):

Если в КЭД действительно указано, что при монохроматической ЭМ волне энергия фотона пульсирует во времени с двойной частотой, как по Максвеллу, то...

Не волнуйтесь. Там такое не указано. Кстати, и у Максвелла энергия волны не пульсирует. Она сохраняется. Пульсируют напряженности полей и плотность энергии в фиксированной точке.

Lvov писал(а):

Еще раз повторю: калибровочная инвариантность не имеет принципиального значения, она используется для упрощения формул.

Paganel писал(а):

Где используется?? Вами используется?? Пальцем показать можете?

Л-Л, т.4, 1980, стр. 338-340.

Вопрос был, используется ли она в ВАШИХ текстах, при выводе ВАШИХ формул. Ответа я не увидел.

Lvov писал(а):

Сначала формально нормируем волновую функцию с помощью первой формулы на действие $\hbar$.

В квантовой теории амплитуда квантовых осцилляций полей определяется не из каких-то таинственных "квантовых действий", а из канонических коммутационных соотношений (вроде $[q,p]=i\hbar$ в КМ). Такая процедура дает для ПЧЧ вектор-потенциала фотона плосковолновую амплитуду $(2\omega V)^{-1/2} \vec e \exp(-i\omega t + i\vec k\cdot\vec r)$ (в единицах $\hbar=c=1$) - см. любой учебник. При подстановке в ваши формулы это дает энергию $E=-\frac12\omega$ (или $-\frac12\hbar\omega$ в обычных единицах) вместо $\hbar\omega$, о чем я вас предупреждал (дополнительный отрицательный знак у вас - это отдельная пестня).

[Paganel]

To Lvov.
Относительно фактора $\frac12$ могу пояснить, что в КЭД вклад в энергию фотона идет и от ПЧЧ (это у вас есть, хоть и с неправильным знаком), и от ОЧЧ (а вот этого у вас нет вообще, что является принципиальной ошибкой) - примерно по такой схеме:
$\langle\gamma|A^2|\gamma\rangle = \langle\gamma|A|0\rangle \langle 0|A|\gamma\rangle + \langle\gamma|A|\gamma\gamma\rangle \langle\gamma\gamma|A|\gamma\rangle,
где первое слагаемое выражается через ПЧЧ, а второе через ОЧЧ.

[Lvov]

Paganel в сообщении #792111 писал(а):

Знакомился я... и на сайт ваш лазил из любопытства. Хватило нескольких минут, чтобы понять, что это чушь. Использование невпопад терминов из нормальной теории недостаточно для придания вашим текстам физического и математического смысла.

Отрадно, что Вы взглянули на мою работу. Интересно, какую статью Вы смотрели? Однако, за Вашим осуждением работы в целом не стоит никакой конкретики. Пожалуйста, укажите, какие положения, по Вашему мнению, ошибочны? Несоответствие стандартной интерпретации квантовых явлений я не могу считать ошибкой.

Paganel в сообщении #791925 писал(а):

Написанное мной выражение - по аналогии с другими релятивистскими частицами - действительно можно НАЗЫВАТЬ (но не более) волновой функции фотона. Однако - как и для других релятивистских частиц - квадрат такой функции вовсе не описывает распределение координат. Это потому, что понятие координаты релятивистской частицы как оператора не совпадает с $x$, как давно разъяснено Ньютоном и Вигнером, а здесь повторено мной.

espe в сообщении #791956 писал(а):

Lvov называет нечто волновой функцией фотона потому, что считает, будто ее квадрат описывает распределение координат фотона. А это неправильно (необосновано).

Ни в одной моей формуле Вы не найдете квадрата (или квадрата модуля) волновой функции. Плотность распределения фотона у меня описывается формулой без номера в стартовом сообщении, следующей за формулой (1), при подстановке значения индекса $i=0.$
Повторюсь, квадрат модуля волновой функции справедлив для уравнения Шредингера. Для релятивистского волнового уравнения типа Клейна-Гордона (в том числе и для частиц с нулевой массой покоя) справедлива вышеуказанная формула. Эта формула для вектора заряда-тока частицы, получаемая при использовании лагранжева формализма.

Paganel в сообщении #791925 писал(а):

обсуждать серьезно то, что предлагает Lvov, трудно, так как ляпы у него начинаются с первых строк. Возьмем его уравнение (1) $\partial_t^2\mathbf{A}_r - \Delta\mathbf{A}_r=\mathbf{j}$ из первого поста, которое якобы объясняет, что такое вообще "вихревая" часть вектор-потенциала $\mathbf{A}_r$. Вместе с выписанным чуть дальше условием $\mathbf{\nabla A}_r=0$ из него немедленно следует, что $\mathbf{\nabla j}=0$.

Конечно же, все приводимые в стартовом сообщении формулы рассматриваются в 4-пространстве СТО. Всюду я старался это подчеркивать, например я писал: "Рассматриваемую волновую функцию удобно построить на основе 4-вектора-потенциала ЭМП $A^i$".
Но все же допустил одну описку: за формулой (1) я написал $i=(1,2,3) $ вместо $i=(0,1,2,3).$ Видимо это и дало повод г.Paganel'ю рассматривать мою формулу $\partial A^k_r / \partial x^k=0$, как дивергенцию вектора потенциала в трехмерном пространстве, в то время, как мыслилось 4-пространство. В последнем случае указанная формула приводит к закону сохранения заряда.

Paganel в сообщении #791925 писал(а):

Такой релятивистский оператор $\mathbf{X}$ не слишком популярен, потому что он все равно не вписывается в релятивистский формализм (время-то оператором не объявляется!), а его физсмысл остается далеким от наглядности.. (хотя наглядность вещь тонкая: иногда это вопрос разбора кучи примеров и привыкания).

Я уже указывал, что оператор $x$ не "очень хорош" ввиду того, что частица (в частности фотон) не может представлять ничего иного, кроме волнового пакета, локализованного в большей или меньшей мере. С релятивистской же симметрией здесь все в порядке. Средние значения любых показателей вычисляются для определенного момента времени $t_1$.Среднее значение времени в момент $t_1$ естественно равно $t_1$. Формально это выглядит так: в подынтегральном операторном выражении $t=t_1=\operatorname{const}$. Вынося $t_1$ из-под интеграла, получим $t=t_1$.

Paganel в сообщении #792111 писал(а):

Вам все-таки будет полезно проштудировать учебники по КМ и КЭД, усвоить основы квантования и понять, что фотон это не цуг.

А Вам полезно научиться критически подходить к парадоксальным положениям в стандартной интерпретации квантовой теории, и не считать все ее положения истиной в последней инстанции.

Paganel в сообщении #792111 писал(а):

Учу интегрировать с применением теории вычетов. Бесплатно.

Спасибо за бесплатное обучение. Я снимаю свое замечание о нехватке меожителя 1/2 в Ваших формулах, как ошибочное. Также как ошибочные, снимаю свои выводы, о равенстве ППЧ и ОПЧ составляющих в экстремумах исходной функции ее значениям. В рассматриваемом замечании остаются справедливыми лишь положения о переходе от пульсирующей функции к малому изменению модуля ППЧ и ОПЧ на протяжении периода осцилляции, а также о сравнительно небольшой нелокальности ППЧ и ОПЧ составляющих по отношению к функции вектора-потенциала.

Paganel в сообщении #792111 писал(а):

Если в КЭД действительно указано, что при монохроматической ЭМ волне энергия фотона пульсирует во времени с двойной частотой, как по Максвеллу, то...

Не волнуйтесь. Там такое не указано. Кстати, и у Максвелла энергия волны не пульсирует. Она сохраняется. Пульсируют напряженности полей и плотность энергии в фиксированной точке.
...Я уже указывал - см. статьи ББ. В ЛЛ-4 этого нет (так как мало кому интересно, а не потому, что сложно).

Вы придираетесь к моим оговоркам, сделанным по невнимательности. Ясно, что я имел ввиду пульсацию плотности энергии фотона в пространстве и во времени.
Что же касается пульсации плотности энергии фотона в пространстве и времени, то в Л-Л этого нет, не потому, что это "мало кому интересно", а потому, что у фотона в принципе не мыслится таких свойств.
Статью же Б-Б нельзя принимать всерьез, и не столько потому, что его фотон пульсирующий, сколько ввиду того, что он не приводит релятивистски инвариантного выражения для волновой функции фотона.

Цитата:

сообщении #792111"]

Цитата:

Lvov писал:
Сначала формально нормируем волновую функцию с помощью первой формулы на действие $\hbar$.

В квантовой теории амплитуда квантовых осцилляций полей определяется не из каких-то таинственных "квантовых действий", а из канонических коммутационных соотношений (вроде $[q,p]=i\hbar$ в КМ)...

Я привел Вам вывод соотношения $E=\hbar \omega $, исходя из своего определения волновой функции и своей интерпретации квантовых явлений. Вы же опять за старое - "стандартную" интерпретацию квантовых явлений. Пожалуйста, укажите ошибку в моем доказательстве. Об амплитуде квантовых осцилляций мы здесь вообще не вели речь.

Paganel в сообщении #792111 писал(а):

Вопрос был, используется ли она (калибровочная инвариантность) в ВАШИХ текстах, при выводе ВАШИХ формул. Ответа я не увидел.

Все началось с моего замечания: "Еще раз повторю: калибровочная инвариантность не имеет принципиального значения, она используется для упрощения формул". Имелись ввиду учебники по КЭД. Я Вам привел пример, Л-Л, т.4.Мои статьи не имелись ввиду, хотя в некоторых из них, например в статье 8, калибровочная инвариантность рассматривается. Но эта статья сейчас в доработке, и я пока не рекомендую ее смотреть.

Paganel в сообщении #792206 писал(а):

To Lvov.
Относительно фактора $\frac12$ могу пояснить, что в КЭД вклад в энергию фотона идет и от ПЧЧ (это у вас есть, хоть и с неправильным знаком), и от ОЧЧ (а вот этого у вас нет вообще, что является принципиальной ошибкой)...

Почему Вы, несмотря на мои объяснения, упорно не хотите видеть, что ППЧ и ОПЧ входят в мои исходные формулы симметрично? Что касается знака операторов показателей фотона, то возможно, что здесь у меня путаница.

С уважением О.Львов

[Munin]

Paganel в сообщении #791925 писал(а):

Такой релятивистский оператор $\mathbf{X}$ не слишком популярен, потому что он все равно не вписывается в релятивистский формализм (время-то оператором не объявляется!)

Вот об этом я и говорю. Он канонически коммутирует с $\mathbf{P},$ но нет аналогичной величины, канонически коммутирующей с $E.$ Из-за того, что само определение канонического коммутатора проистекает из гамильтонова нелоренцинвариантного формализма. Возможно, можно "релятивизировать" понятие канонического коммутатора, но тогда сопряжённой к $\mathbf{P}$ величиной будет уже не $\mathbf{X}.$

-- 26.11.2013 00:34:56 --

Lvov в сообщении #792486 писал(а):

А Вам полезно научиться критически подходить к парадоксальным положениям в стандартной интерпретации квантовой теории, и не считать все ее положения истиной в последней инстанции.

Опять хамите. Отучайтесь. Paganel тоже знает предмет во много раз лучше вашего.

[Lvov]

Munin в сообщении #792692 писал(а):

Опять хамите. Отучайтесь. Paganel тоже знает предмет во много раз лучше вашего.

Г.Munin, это скорее не хамство, а грубоватый ответ на соответствующее наставление г.Paganel, о необходимости изучать учебники. Это наставление уже "сидит у меня в печенках". Каждый оппонент, усвоивший в той или иной мере стандартную интерпретацию квантовых явлений, будучи не силах разобраться в моих наработках, несколько раз выдает мне это наставление. Извините, "достали".

С уважением О.Львов

-- 26.11.2013, 10:04 --

Lvov в сообщении #792486 писал(а):

например в статье 8, калибровочная инвариантность рассматривается.

Вот что имеется по части калибровочной инвариантности в означенной статье.
Цитирую:
"Хотя плотности динамических показателей фотона определены неоднозначно (ввиду возможности добавки градиентной составляющей вектора-потенциала, разъяснение автора в текущем сообщении), его интегральные показатели (7-9) уже не зависят от произвола в выборе продольной составляющей вектора-потенциала. Последнее можно доказать при использовании метода ФДП и следующих соотношений ..."
"Покажем, прежде всего, что при единственной спектральной составляющей вектора-потенциала $A^i = a^i \,\exp (i\omega t-ikz) $ рассматриваемый тензор плотности (вероятности детектирования фотона, разъяснение автора в текущем сообщении) не зависит от продольной составляющей вектора–потенциала. ..."
В продолжение названных тезисов приводятся их доказательства. Почему я до настоящего времени молчал, о возможности частичного использования калибровочных преобразований? Дело в том, что эти преобразования не применимы во всех случаях, и нарушают релятивистскую инвариантность выражений. К тому же при доработке статьи, я собирался еще раз убедиться в правильности соответствующих доказательств.

С уважением О.Львов

[Munin]

Lvov в сообщении #792773 писал(а):

Г.Munin, это скорее не хамство, а грубоватый ответ

то есть, хамство.

Lvov в сообщении #792773 писал(а):

Это наставление уже "сидит у меня в печенках".

А вы попробуйте почитать учебники, может, что полезное прочитаете?

Lvov в сообщении #792773 писал(а):

Каждый оппонент, усвоивший в той или иной мере стандартную интерпретацию квантовых явлений, будучи не силах разобраться в моих наработках, несколько раз выдает мне это наставление.

А может быть, наоборот, в ваших наработках-то разобраться не проблема, это у вас проблема разобраться в учебниках? То-то вы так тщательно избегаете их читать.

Впрочем, не горюйте, учебники по КЭД - действительно сложная штука, и у людей бывает свой "потолок", выше которого не прыгнешь. Просто обычно такие люди честно признаются себе, что они дураки, а не пытаются выдумать дурацкие упрощённые и неверные формулы по смутным мотивам того, что в учебниках на самом деле написано. Ну, это уже вопрос адекватности мировосприятия и понимания своего места. Некоторые действительно мечтают быть непонятыми гениями, и не в силах увидеть неприятную правду.

[Lvov]

Munin в сообщении #792830 писал(а):

наоборот, в ваших наработках-то разобраться не проблема, это у вас проблема разобраться в учебниках? То-то вы так тщательно избегаете их читать...
Некоторые действительно мечтают быть непонятыми гениями, и не в силах увидеть неприятную правду.

Почему же избегаю, я изучаю материалы по квантовой теории свыше 50 лет, и теперь постоянно заглядываю и в статьи и в учебники. Это не я избегаю учебников, это у Вас и некоторых других оппонентов просто какая-то мания советовать смотреть учебники участникам форума, предлагающим уточнение принятых положений.
А по мне так: - оппонент, если его заинтересует предлагаемый к рассмотрению материал, должен ознакомиться с этим материалом, и указать конкретные ошибки, что бы заявитель-дилетант мог "увидеть неприятную правду".
Извините, в данном случае я мог бы и промолчать, но согласно правилам форума Ваш статус обязывает меня отвечать на замечания.

С уважением О.Львов

[Lvov]

Это обзорное ообщение о волновой функции фотона в координатном представлении и его динамических показателях в ожидании замечаний оппонентов. Что это, и зачем нужно?

Предложенный вариант введения волновой функции фотона во многом повторяет методику (Лагранжа), практикуемую в работах 50-70 г. прошлого столетия, из которых автор и почерпнул свои первые познания в части квантовой теории.

Как было показано в сообщении post775239.html#p775239 распределенные динамические показатели фотона, т.е. тензоры пространственной плотности, во многих случаях сильно отличаются от соответствующих показателей, получаемых из уравнений Максвелла. Так при постоянной или слабо изменяющейся частоте осцилляции линейно поляризованного ЭМ поля плотности всех динамических показателей фотона оказываются монотонно изменяющимися по всей области существования волновой функции, будучи в первом приближении пропорциональными квадрату ее модуля. Из уравнений же Максвелла в этом случае следует, что плотности показателей ЭМ волны пульсируют во времени и в пространстве с двойной частотой колебаний напряженностей ЭМП. В случае круго- или эллиптически поляризованной ЭМ волны спиновый момент фотона оказывается монотонно распределенным по области определения волновой функции, в то время как согласно уравнениям Максвелла рассматриваемый момент образуется за счет периферийных поперечных составляющих импульса волнового ЭМ поля.
Налицо большое расхождение распределенных показателей. Однако интегральные показатели для квантомеханического фотона и соответствующего максвелловского волнового цуга совпадают.

Какое же описание ЭМ поля верно. Точное описание свободного ЭМ поля следует из уравнений Максвелла при любой его интенсивности. Однако, когда мы рассматриваем квантовые явления, удобно рассматривать электромагнитное поле несколько упрощенно, в виде набора квазичастиц - фотонов с квантовым действием $\hbar$. Последняя ситуация связана также с тем, что для других частиц, например электронов, неизвестны точные уравнения их физических полей, и нам приходится довольствоваться лишь их квантомеханическими волновыми уравнениями. Нельзя сбрасывать со счетов также то обстоятельство, что в случае слабых ЭМ полей возрастает влияние и роль случайных вакуумных полей, характеризующихся постоянной спектральной плотностью, раной единице квантового действия $\hbar$.

Зачастую в рассматриваемых квантовых процессах фигурирует моночастотное ЭМ поле, особенно при теоретическом анализе квантовых явлений. В связи с этим практикуется рассмотрение волновой функции в импульсном (спектральном) представлении. Казалось бы нет особой нужды введения координатного представления волновой функции фотона и его квантовых показателей. Во многих учебниках по КЭД даже говорится, что введение волновой функции фотона в координатном представлении невозможно. На мой же взгляд введение координатной волновой функции возможно и оправдано уже из формальных академических соображений. Но мне кажется, что координатное описание фотона будет иметь и прикладное значение в теоретических изысканиях. Дело в том, что при импульсном представлении фотон выступает в виде пространственно бесконечной волны, в то время как в реальности мы зачастую имеем дело с пространственно локализованными объектами. Не по этой ли причине в задачах рассеяния частиц столь часто возникает проблема расходимостей интегральных выражений для результирующего решения? Впрочем, это лишь мое предположение.

С уважением О.Львов