Зачем нужен эфир, если есть пространство?

[Oleg Zubelevich]

Someone в сообщении #780617 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #780536 писал(а):

приведите пожалуйста определение дифференциала (или хотя бы производной по направлению) отображения $f:X\to Y$, где $X,Y$ -- линейные топологические пространства.

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=5813&option_lang=rus

вот именно. т.е. канонического определения дифференциала в общих лтп нет. определение зависит от выбора множеств $\beta$. Ну и имеет ли смысл после этого спекулировать на том, что в пространствах (которые всеравно метризуемы) метрику вводить необязательно, а можно работать в топологических терминах? При том, что для определения производной вам в любом случае нужна дополнительная структура кроме топологии, те же множества $\beta$

[EvgenyGR]

Munin в сообщении #782221 писал(а):

Это описание неверно в более сложной теории. Не знаете - не высказывайтесь.

Установка Майкельсона лабораторных масштабов не требует ОТО вообще. Установка Майкельсона крупных масштабов (например, как космический интерферометр LISA) не "примитив", и требует описания не только двух трёх точек, но и всей геометрии пространства-времени между ними, например, для описания прохождения гравитационных волн.

Много слов но описания состояния для двух точек нет.

[Munin]

EvgenyGR в сообщении #782290 писал(а):

Много слов но описания состояния для двух точек нет.

Вы читать не умеете, или по ссылкам ходить не умеете?

[EvgenyGR]

Munin в сообщении #782295 писал(а):

Вы читать не умеете, или по ссылкам ходить не умеете?

Сходил не увидел. :). Изложите своими словами, там ведь все просто.

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #782249 писал(а):

т.е. канонического определения дифференциала в общих лтп нет.

Ну и что? "Расщепление" понятий при переходе к более широкой области — самое обычное явление. Вы хоть в курсе, что в нормированных линейных пространствах существуют неэквивалентные определения производной? Например, есть производная Фреше и производная Гато. Причём, оба определения используются. И наличие метрики не спасает от расщепления. А канонического определения в случае линейных топологических пространств нет по очень простой причине: для отображений произвольных линейных топологических пространств не удаётся определить производную, которая имела бы все свойства, которые хотелось бы получить. Возможно, класс линейных топологических пространств — это не тот естественный класс, где нужно определять производную. Мне известна попытка определения производной в более широком классе пространств, чем топологические линейные, причём, это определение получилось с множеством приятных свойств, но, к сожалению, в работе была обнаружена ошибка. К сожалению, не знаю, что с этим стало дальше.
Вообще, Ваше возражение выглядит весьма нелепым: из того, что существует много определений, не использующих метрику, Вы делаете вывод, что определения нет вообще.

Обратите также внимание на то, что если отображение имеет в некоторой точке производные в смысле двух разных определений, то эти производные совпадают (это написано в той статье, на которую я ссылался, на странице 203). Поэтому всё различие между разными определениями производной сводится к тому, что они имеют различные области приложения.

master в сообщении #782033 писал(а):

я всего лишь хотел сказать то что у вас множество действительных чисел упорядоченно именно так
как будто вы чтото собрались измерять и дальше такие слова как ... сравнение, измерение, метрика и т.п.

А как ещё можно упорядочить множество действительных чисел?

Pavlovsky в сообщении #782031 писал(а):

В любом определении предела (ну почти в любом) есть фраза типа

$|f(x)-L|< \epsilon$

Дык $|f(x)-L|$ это метрика!

Дык, перепишите это место так: $L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon$ — никакой метрики и в помине не будет. Вообще, я не понимаю, что Вам не нравится. В определении поля действительных чисел есть арифметические операции (сложение и умножение), отношение порядка, аксиомы поля, аксиомы линейного порядка, аксиомы, связывающие отношение порядка с арифметическими операциями, и аксиома полноты (с использованием сечений Дедекинда). Никакой метрики, как видите, нет. Но метрику можно определить. И потом ей пользоваться. А можно не определять. И, соответственно, не пользоваться, а обойтись первичными понятиями.

Pavlovsky в сообщении #782031 писал(а):

Не понимаю, что значит вторичная струкутура.

Я объяснял уже: первичными понятиями для действительных чисел являются арифметические операции и отношение порядка. Метрика определяется через арифметические операции и отношение порядка, и в этом смысле вторична.

Pavlovsky в сообщении #782031 писал(а):

Метрика это бинарная операция (a,b) -> c, где $a,b \in A$ $c \in B$.

Нет. Метрика — не операция. Метрика на множестве $X$ — это функция $\rho\colon X\times X\to\mathbb R$, удовлетворяющая двум аксиомам:
1) $\rho(x,y)\geqslant 0$; $\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$;
2) $\rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(y,z)$.

Pavlovsky в сообщении #782031 писал(а):

и вообще фраза "Метрика на множестве" кривая. Метрику можно задать на алгебраической структуре.

Нет. Метрика задаётся именно на множестве, а не на алгебраической структуре. Если на том же множестве случилась ещё какая-то алгебраическая структура, то обычно требуют непрерывности алгебраических операций относительно топологии, порождаемой метрикой.

Pavlovsky в сообщении #782031 писал(а):

Как правило метрика должна удовлетворять правилу треугольника. $|a,b|+|b,c| \ge |a,c|$.

Обязательно. Кстати, обратите внимание, как я написал неравенство треугольника. Из него следует симметрия: $\rho(x,y)=\rho(y,x)$.

Pavlovsky в сообщении #782031 писал(а):

То есть на множестве B как минимум должно быть задано отношение полного порядка и операция сложения. То есть это уже не множество, а алгебраическая структура.

Множество $B$ — это множество действительных чисел. Всякие обобщения, когда вместо $\mathbb R$ берётся что-то другое, не трогаем.

Oleg Zubelevich в сообщении #782249 писал(а):

Ну и имеет ли смысл после этого спекулировать на том, что в пространствах (которые всеравно метризуемы) метрику вводить необязательно, а можно работать в топологических терминах? При том, что для определения производной вам в любом случае нужна дополнительная структура кроме топологии, те же множества $\beta$

Конечно, конечномерные линейные пространства над полем действительных чисел метризуемы. Евклидовой метрикой и многими другими, которые все топологически эквивалентны. Но, например, в СТО или ОТО евклидова метрика не используется. А то, что в этих теориях называется "метрикой", в топологическом смысле метрикой не является. Хотя бы потому, что эта "метрика" есть не функция на квадрате несущего множества, а квадратичная форма на касательном расслоении.

[Munin]

EvgenyGR в сообщении #782302 писал(а):

Изложите своими словами, там ведь все просто.

Изложу своими словами, которые уже произносил:

Munin в сообщении #778456 писал(а):

EvgenyGR в сообщении #778421 писал(а):

как задается состояние системы?


Функциями $g_{\mu\nu}$ и $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}.$

-- 31.10.2013 01:58:40 --

(Оффтоп)

Someone в сообщении #782412 писал(а):

Дык, перепишите это место так: $L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon$ — никакой метрики и в помине не будет.

Можно даже $L-\varepsilon_1<f(x)<L+\varepsilon_2,$ только условия помуторней будут... Про окрестности более общего вида вспоминать не будем, чтобы не вызвать взрыв мозга.

-- 31.10.2013 02:00:42 --

(Оффтоп)

Someone в сообщении #782412 писал(а):

Кстати, обратите внимание, как я написал неравенство треугольника. Из него следует симметрия: $\rho(x,y)=\rho(y,x)$.

Кстати, вроде, из другого варианта тоже следует?

[Someone]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #782445 писал(а):

Можно даже $L-\varepsilon_1<f(x)<L+\varepsilon_2,$ только условия помуторней будут... Про окрестности более общего вида вспоминать не будем, чтобы не вызвать взрыв мозга.

Ну, можно, например, определить окрестность точки числовой прямой как произвольный интервал, содержащий эту точку. В большинстве рассуждений можно просто употреблять термин "окрестность", совершенно не интересоваться, какие концы у этого интервала, и не вспоминать про эти самые $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$. Они, конечно, выплывут, если потребуются оценки, использующие свойства конкретной функции.

Munin в сообщении #782445 писал(а):

Кстати, вроде, из другого варианта тоже следует?

Из варианта $\rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y)$ не следует. Причём, в определении метрики чаще всего используют именно его, и добавляют в качестве ещё одной аксиомы условие симметрии $\rho(x,y)=\rho(y,x)$.

[master]

Someone в сообщении #782412 писал(а):

А как ещё можно упорядочить множество действительных чисел?

в принципе как угодно, а можно вообще не упорядочивать
но меня сейчас интересует другой вопрос у вас в декартовом произведении Х множество чего?

[Someone]

master в сообщении #782504 писал(а):

в принципе как угодно, а можно вообще не упорядочивать

По определению поле действительных чисел упорядоченное.

master в сообщении #782504 писал(а):

но меня сейчас интересует другой вопрос у вас в декартовом произведении Х множество чего?

А чего надо?

[master]

$X\times X=X$?!

Someone в сообщении #782506 писал(а):

А чего надо?

то есть любое множество.

-- Чт окт 31, 2013 12:27:20 --

Someone в сообщении #782506 писал(а):

По определению поле действительных чисел упорядоченное.

как обычно

-- Чт окт 31, 2013 12:46:47 --

master в сообщении #782508 писал(а):

$X\times X=X$?!

нет


$X\times X=\varnothing$

[Munin]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #782462 писал(а):

Из варианта $\rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y)$ не следует.

Да, я ошибся.

-- 31.10.2013 16:15:37 --

master
$X\times X=X^2$

[master]

(a,b) (1,2,3)

(a,1) (a,2) (a,3)
(b,1) ((a,1),(b,1)) ((a,2),(b,1)) ((a,3),(b,1))
(b,2) ((a,1),(b,2)) ((a,2),(b,2)) ((a,3),(b,2))
(b,3) ((a,1),(b,3)) ((a,2),(b,3)) ((a,3),(b,3))





1 2 3

1 {1,1} {1,2} {3,1}
2 {2,1} {2,2} {2,3} и то это допущение которого не должно быть, потому что
3 {1,3} {3,2} {3,3}




1 2 3 ... и все



(пробелы убежали)

[Someone]

master, я ничего не понял. Если Вы какие-то произведения множеств выписываете, то для множества $X=\{1,2,3\}$ получится

$$X\times X=X^2=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}.$$

Обратите внимание, что есть фигурные скобки, и есть круглые скобки, и их путать категорически не рекомендуется: фигурные скобки обозначают (неупорядоченные) множества, а круглые — упорядоченные пары (а также тройки, четвёрки и так далее). При этом $\{1,2\}=\{2,1\}$, но $(1,2)\neq(2,1)$. Также $\{1,1\}=\{1\}$ — множество, содержащее один элемент, в то время как $(1,1)$ — упорядоченная пара, состоящая из двух элементов.
Упорядоченную пару можно многими способами смоделировать множеством. Простейший способ предложил К.Куратовский: $(a,b)=\{a,\{a,b\}\}$.

[master]

Someone в сообщении #783114 писал(а):

Обратите внимание, что есть фигурные скобки, и есть круглые скобки, и их путать категорически не рекомендуется: фигурные скобки обозначают (неупорядоченные) множества, а круглые — упорядоченные пары (а также тройки, четвёрки и так далее).

а то я не знал

-- Пт ноя 01, 2013 17:08:24 --

Someone в сообщении #783114 писал(а):

$\{1,1\}=\{1\}$

$\{1,1\}=\{(a,1),(b,1)\}\neq\{(a,1)\}\neq\{(b,1)\}$

Someone в сообщении #783114 писал(а):

$(a,b)=\{a,\{a,b\}\}$

$\{a,\{a,b\}\}=\{\{a,b\},a\}$

[Someone]

master в сообщении #783173 писал(а):

а то я не знал

И сейчас не знаете. То, что написано далее — бред сивой кобылы:

master в сообщении #783173 писал(а):

$\{1,1\}=\{(a,1),(b,1)\}\neq\{(a,1)\}\neq\{(b,1)\}$

master в сообщении #783173 писал(а):

$\{a,\{a,b\}\}=\{\{a,b\},a\}$

И что? Разумеется, для любых $a$ и $b$ будет $\{a,b\}=\{b,a\}$. Но если $a\neq b$, то $(a,b)\neq(b,a)$.