Зачем нужен эфир, если есть пространство?

[EvgenyGR]

Xaositect в сообщении #780198 писал(а):

Предупреждая Ваше возможное возражение о том, что используется дифференцирование на карте, а значит метрика:

Ну да, так и есть. В приведенном определение, для кривых, отображают или множество действительных чисел на многообразие (параметрическое задание кривой) или наоборот. Но в том и другом случае. Используемое множество действительных чисел (так как оно используется) уже содержит в себе метрику. В определение отношения эквивалентности, в о-малом. Т.е. ту самую естественную метрику о которой я говорил.

Xaositect в сообщении #780198 писал(а):

Данная конкретная конструкция не позволяет перенести метрику на многообразие.

Ну это то же понятно. Формально через заданное отображение множества действительных чисел на многообразие или обратно, в общем случае метрику на многообразии ввести наверное нельзя (интуитивно это понятно).

А вот теперь возвращаясь к исходному вопросу. Допустим многообразие конечно мерное. Берем линейное пространство той же размерности, разумеется это пространство с метрикой. Повторяем то же формализм. Т.е. строим отображение (семейства отображений здесь уже не надо) из нашего линейного метрического пространства в многообразие. Так вот если такое возможно и можно используя исходную (естественную ) метрику линейного пространства получить (подобрав соответствующие отображение) интересующую нас метрику, то это как я понимаю формализм среды.

-- Вс окт 27, 2013 21:21:01 --

Someone в сообщении #780204 писал(а):

Производная в математическом анализе определяется через предел, а предел только по традиции определяется через . Определение предела выглядит проще и нагляднее, если забыть про естественную метрику на прямой и пользоваться окрестностями (а окрестность точки числовой прямой — это просто интервал, содержащий данную точку; для определения интервала метрика вовсе не нужна: ). К тому же, определение через окрестности является весьма универсальным и работает в любых топологических пространствах, даже в таких, в которых метрику принципиально невозможно ввести.

Да нет Вы так оператор зададите и будите рассматривать классы эквивалентных (в каком-то смысле) операторов. А производная это число и не простое, а с размерностью, например, столько-то метров в секунду.

-- Вс окт 27, 2013 21:28:29 --

Xaositect в сообщении #780200 писал(а):

Надо.
Ну вот получается так, что не получается задать просто метрику на картах и жить просто. Приходится на касательных пространствах ее задавать.

Надо - сильное утверждение, его еще надо доказать. А чтобы доказать, надо понять как формализован опыт. Это был уже мой второй вопрос - как задается состояние двух точек?

[Munin]

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):

Используемое множество действительных чисел (так как оно используется) уже содержит в себе метрику.

Абсолютно неверно и абсолютно неграмотно.

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):

Так вот если такое возможно и можно используя исходную (естественную ) метрику линейного пространства получить (подобрав соответствующие отображение) интересующую нас метрику, то это как я понимаю формализм среды.

Это тоже абсолютно неверно (слово "среда" задействовано в физике, и его нельзя использовать как захочется).
Кроме того, довольно часто это невозможно.

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):

Надо - сильное утверждение, его еще надо доказать.

И это всё давно сделано в учебниках дифференциальной геометрии, которые вы не читаете.

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):

А чтобы доказать, надо понять как формализован опыт. Это был уже мой второй вопрос - как задается состояние двух точек?

И вам на него уже ответили: в ОТО нет такой вещи, как "состояние двух точек". Формализовать опыт - это не задать состояние двух точек.

[master]

Someone в сообщении #780204 писал(а):

$(a,b)=\{x\in\mathbb R:a<x<b\}$

7 5 3 1 2 4 6 (порядок прежде всего)

[Someone]

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):

Используемое множество действительных чисел (так как оно используется) уже содержит в себе метрику.

Метрика на множестве действительных чисел — это вторичная структура. Первичными являются арифметические операции и отношение линейного порядка, а метрика определяется уже через них. Поэтому всё, что касается действительных чисел, можно определить без метрики. В частности, как я уже говорил, для определения предела достаточно понятия интервала, определяемого через отношение порядка.

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):

В определение отношения эквивалентности

Какого отношения эквивалентности?

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):

в о-малом

о-малое определяется с помощью предела, а предел определяется без метрики.

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):

Так вот если такое возможно и можно используя исходную (естественную ) метрику линейного пространства получить (подобрав соответствующие отображение) интересующую нас метрику, то это как я понимаю формализм среды.

Во-первых, никакой среды не вижу. Во-вторых, Вы так и не смогли объяснить, как из отображения получить метрику. Скопировать метрику с одного множества на другое, конечно, можно, но это наверняка будет не то, что нужно: если Вы скопируете метрику с плоскости на сферу, то, боюсь, у нас вместо сферы получится плоскость. И, потом, скопировать метрику — это не то же самое, что определить метрику, поскольку, прежде чем копировать метрику, её нужно уже иметь.

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):

Да нет Вы так оператор зададите и будите рассматривать классы эквивалентных (в каком-то смысле) операторов.

Нет. Раз уж Вы сами этого не понимаете и несёте чушь, то попробуйте поверить профессиональному математику, 38 лет преподающему студентам математический анализ: получится именно определение предела и именно определение производной, без всяких классов эквивалентных операторов.
А вообще, производная на самом деле является линейным оператором. Просто при стандартном подходе в учебниках математического анализа, предназначенных для начинающих, о линейных операторах не упоминают. Студентов научить бы пределы и производные вычислять, а тут ещё линейные операторы…

master в сообщении #781210 писал(а):

7 5 3 1 2 4 6

3 6 9 2 5 8 1 4 7

[Pavlovsky]

Someone в сообщении #781971 писал(а):

о-малое определяется с помощью предела, а предел определяется без метрики.

Ой. Не спешите делать слишком категоричные заявления.

В любом определении предела (ну почти в любом) есть фраза типа

$|f(x)-L|< \epsilon$

Дык $|f(x)-L|$ это метрика!

-- Ср окт 30, 2013 09:23:12 --

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Метрика на множестве действительных чисел — это вторичная структура.

Не понимаю, что значит вторичная струкутура. и вообще фраза "Метрика на множестве" кривая. Метрику можно задать на алгебраической структуре.

Метрика это бинарная операция (a,b) -> c, где $a,b \in A$ $c \in B$. Как правило метрика должна удовлетворять правилу треугольника. $|a,b|+|b,c| \ge |a,c|$. То есть на множестве B как минимум должно быть задано отношение полного порядка и операция сложения. То есть это уже не множество, а алгебраическая структура.

[master]

Someone
я всего лишь хотел сказать то что у вас множество действительных чисел упорядоченно именно так
как будто вы чтото собрались измерять и дальше такие слова как ... сравнение, измерение, метрика и т.п.

[Pavlovsky]

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Скопировать метрику с одного множества на другое

Отражение одной алгебраической структуры на другую, с сохранением некоторых свойств называется гомоморфизмом.

[master]

Pavlovsky
есть еще более веселое определение
$m=\sum{ne}, n \in \mathbb{N}, e \in \mathbb{E}$, где Е множество эталонов

[Pavlovsky]

Жутко не нравится, когда спор физиков между сторонниками эфира и кривого пространства превращается в манипулирование абстрктными математическими объектами.

[EvgenyGR]

Pavlovsky в сообщении #782038 писал(а):

Жутко не нравится, когда спор физиков между сторонниками эфира и кривого пространства превращается в манипулирование абстрктными математическими объектами.

Да у меня изначально была совсем простая идея. Чтобы наконец разобраться с этим спором эферистов и искривистов. Просто посмотреть на совместимость с точки зрения математической модели среды (это мой стихия, механики сплошной среды) и математической модели теории относительности (не моя тема). Пока обсуждение более похожа на троллинг, и мне уже честно стало скучно.

[master]

а разве измерение двери линейкой сильно абстрактная вещь

[EvgenyGR]

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Метрика на множестве действительных чисел — это вторичная структура.

Ну и что из того?

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Первичными являются арифметические операции и отношение линейного порядка, а метрика определяется уже через них.

А вы не упрощаете? Что из них, а не как отображение из двумерного действительного пространства в одномерное с некоторыми свойствами отображения?

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Поэтому всё, что касается действительных чисел, можно определить без метрики.

Сильное утверждение, особенно в части "все". Но пусть. Но зачем так извращаться если метрику на многообразии все равно придется вводить. Мы же не о чистой топологии говорим, а о теории относительности.

Someone в сообщении #781971 писал(а):

В частности, как я уже говорил, для определения предела достаточно понятия интервала, определяемого через отношение порядка.

Угу это Вы о сходимости некой последовательности к некому элементу множества. Тут действительно можно обойтись формализмом окрестностей без метрики. Но как только Вы говорите об отношении физических величин, которые связаны с показаниями приборов, а это всегда натуральный ряд, т.к. показания приборов существенно дискретные, я не понимаю как тут быть, да и вообще зачем так усложнять.

Someone в сообщении #781971 писал(а):

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):
В определение отношения эквивалентности
Какого отношения эквивалентности?

А это по ссылке.

Xaositect в сообщении #780198 писал(а):

В русской тоже есть: тыц.

Someone в сообщении #781971 писал(а):

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):
в о-малом
о-малое определяется с помощью предела, а предел определяется без метрики.

Можно, но в ссылке Xaositect это специально не оговорено. И я могу понимать буквально то что написано.

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Во-первых, никакой среды не вижу. Во-вторых, Вы так и не смогли объяснить, как из отображения получить метрику.

Да Вы сами и ответили

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Скопировать метрику с одного множества на другое, конечно, можно, но это наверняка будет не то, что нужно:

Может будет, а может и нет. Вот саму такую возможность копирования метрики я и предлагал использовать как критерий сводимости (не сводимости) ТО к среде.

Someone в сообщении #781971 писал(а):

И, потом, скопировать метрику — это не то же самое, что определить метрику, поскольку, прежде чем копировать метрику, её нужно уже иметь.

Так она всегда есть в пространстве вещественных чисел. Ну т.е. ее легко ввести.

Someone в сообщении #781971 писал(а):

то попробуйте поверить профессиональному математику, 38 лет преподающему студентам математический анализ

Увы но я человек глубоко не верующий, меня к этому взгляду на жизнь подвиг опыт решения прикладных задач.

Someone в сообщении #781971 писал(а):

А вообще, производная на самом деле является линейным оператором.

Оператор она в Гильбертовых пространствах, ну или подобным им.

-- Ср окт 30, 2013 11:05:58 --

Больше всего меня в этом дискуссе умиляет то, что никто так и не дал вменяемого ответа на простой вопрос, как задается состояние физической системы в теории относительности, т.е. на тот вопрос с которого начинает любой прикладник, и без ответа на который он дальше не пойдет.

Попробую чуть разжевать. Установка Майкельсона это физический объект, опыт который он поставили это переход данной физической системы из состояние в состояние. Само состояние этой системы это некий примитив из двух точек (два зеркала, точнее точек где луч отражается) и одного наблюдателя в точке полупрозрачного зеркала (где луч разделяется). Кто-то может наконец формализовать этот опыт до понятия описания состояния физической системы? Или это мне придется делать самому, а теория относительности не моя тема.

[Someone]

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Метрика на множестве действительных чисел — это вторичная структура.

Ну и что из того?

А то, что без вторичной структуры можно обойтись, поскольку она определяется через основные структуры.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Первичными являются арифметические операции и отношение линейного порядка, а метрика определяется уже через них.

А вы не упрощаете?

Нет, не упрощаю. Я говорю о том, что хорошо знаю.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Что из них, а не как отображение из двумерного действительного пространства в одномерное с некоторыми свойствами отображения?

Не понял вопроса. Вы можете сформулировать его, соблюдая правила русского языка?

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Поэтому всё, что касается действительных чисел, можно определить без метрики.

Сильное утверждение, особенно в части "все". Но пусть.

Не сильное, а тривиальное. Совершенно тривиальное.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Но зачем так извращаться если метрику на многообразии все равно придется вводить. Мы же не о чистой топологии говорим, а о теории относительности.

Видите ли, то, что называется "метрикой" в теории относительности, с точки зрения топологии никакой метрикой не является. И совершенно не годится для определения понятия предела и всех происходящих от него понятий, включая понятие производной. С определением предела топология справляется сама, без привлечения других структур, даже если речь идёт не о пределе числовой функции на множестве действительных чисел, а о пределе произвольного отображения одного топологического пространства в другое.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Someone в сообщении #781971 писал(а):

В частности, как я уже говорил, для определения предела достаточно понятия интервала, определяемого через отношение порядка.

Угу это Вы о сходимости некой последовательности к некому элементу множества.

Так и хочется Вам какую-нибудь глупость придумать и приписать её мне. Я где-нибудь упоминал последовательности? Я говорил вообще о пределе отображения (функции). Разумеется, предел последовательности можно определить чисто топологическими средствами, используя окрестности, как и предел любого другого отображения (предел по базе).

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Тут действительно можно обойтись формализмом окрестностей без метрики. Но как только Вы говорите об отношении физических величин, которые связаны с показаниями приборов, а это всегда натуральный ряд, т.к. показания приборов существенно дискретные, я не понимаю как тут быть, да и вообще зачем так усложнять.

В математике нет ни физических величин, ни измеряющих их приборов. И задачи определения предела для приборов в математике тоже нет. В физике, кстати, тоже такой задачи не наблюдается. Что касается "усложнения", то, как я уже говорил, определение предела на языке окрестностей выглядит более наглядным, чем традиционное определение на языке "$\varepsilon-\delta$".

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Someone в сообщении #781971 писал(а):

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):
В определение отношения эквивалентности
Какого отношения эквивалентности?

А это по ссылке.

Xaositect в сообщении #780198 писал(а):

В русской тоже есть: тыц.

Someone в сообщении #781971 писал(а):

EvgenyGR в сообщении #781051 писал(а):
в о-малом
о-малое определяется с помощью предела, а предел определяется без метрики.

Можно, но в ссылке Xaositect это специально не оговорено. И я могу понимать буквально то что написано.

А там никакой метрики в определении эквивалентности нетути. Используется символ "о-малое", который определяется через предел. Поэтому Вы не только не поняли написанное "буквально", а вообще всунули туда свой вымысел.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Во-первых, никакой среды не вижу. Во-вторых, Вы так и не смогли объяснить, как из отображения получить метрику.

Да Вы сами и ответили

Someone в сообщении #781971 писал(а):

Скопировать метрику с одного множества на другое, конечно, можно, но это наверняка будет не то, что нужно:

Может будет, а может и нет. Вот саму такую возможность копирования метрики я и предлагал использовать как критерий сводимости (не сводимости) ТО к среде.

Someone в сообщении #781971 писал(а):

И, потом, скопировать метрику — это не то же самое, что определить метрику, поскольку, прежде чем копировать метрику, её нужно уже иметь.

Так она всегда есть в пространстве вещественных чисел. Ну т.е. ее легко ввести.

Ну так попробуйте скопировать метрику с плоскости на сферу. И постарайтесь, имея стандартную метрику на плоскости, получить стандартную метрику на сфере.

А вообще, я хочу Вам напомнить, что Вы говорили не об отображении одного множества (с уже имеющейся метрикой) на другое. Вы говорили об отображении пространства в себя:

EvgenyGR писал(а):

отображение исходного пространства в себя (необязательно биекцию).

В теории относительности (хоть специальной, хоть общей) метрика (то, что там понимается под этим термином, а не метрика в топологическом смысле) просто задаётся на четырёхмерном многообразии. Без всяких отображений этого многообразия в себя. Вы же хотите задать эту метрику с помощью отображения пространства в себя.

Итак: берём четырёхмерное многообразие без какой-либо метрики; ваша задача: задать отображение этого многообразия в себя и с его помощью определить метрику. Такую, которая используется в теории относительности.

А потом (и только потом) будем обсуждать возможность "формализма среды" в теории относительности. В частности, Вы будете подробно объяснять, каким образом отображение пространства в себя превращается в среду. Если справитесь с метрикой, конечно.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Someone в сообщении #781971 писал(а):

то попробуйте поверить профессиональному математику, 38 лет преподающему студентам математический анализ

Увы но я человек глубоко не верующий, меня к этому взгляду на жизнь подвиг опыт решения прикладных задач.

Да мне глубоко начхать на ваши верования. Если Вам хочется продолжать изрекать идиотизмы — это ваша проблема. В конце концов, читая ваши "откровения", смеются над Вами, а не надо мной.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Someone в сообщении #781971 писал(а):

А вообще, производная на самом деле является линейным оператором.

Оператор она в Гильбертовых пространствах, ну или подобным им.

Ничего подобного. Производная является линейным оператором уже в конечномерном случае. Даже в одномерном, то есть, в случае обычных функций одной переменной. Только случай функции одной переменной тривиален, поскольку оператор сводится к умножению на число: $df(x_0)=f'(x_0)\cdot dx$.

[Munin]

Pavlovsky в сообщении #782038 писал(а):

Жутко не нравится, когда спор физиков между сторонниками эфира и кривого пространства

Такого спора не бывает. Физики не бывают сторонниками эфира. Сторонники эфира не бывают физиками.

Странно, что вы не в курсе.

-- 30.10.2013 17:12:22 --

EvgenyGR в сообщении #782061 писал(а):

Пока обсуждение более похожа на троллинг

Причём с вашей стороны.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Но зачем так извращаться если метрику на многообразии все равно придется вводить. Мы же не о чистой топологии говорим, а о теории относительности.

Метрику на многообразии можно вводить, не вводя метрику на действительных числах. И вообще метрика на действительных числах для этого оказывается не нужна, лишняя деталь. Так что "извращаетесь" как раз вы, а в математике принят более простой и прямой путь к результату (метрическому многообразию).

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Но как только Вы говорите об отношении физических величин, которые связаны с показаниями приборов, а это всегда натуральный ряд, т.к. показания приборов существенно дискретные, я не понимаю как тут быть, да и вообще зачем так усложнять.

Не понимаете - читайте учебники.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

меня к этому взгляду на жизнь подвиг опыт решения прикладных задач.

Проблема в том, что сейчас вы столкнулись с другими задачами, и весь ваш опыт ничего не стоит. Только мозгами думать. А этого вы не хотите.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Больше всего меня в этом дискуссе умиляет то, что никто так и не дал вменяемого ответа на простой вопрос, как задается состояние физической системы в теории относительности

Вам его дали. Вы предпочли не заметить. post778456.html#p778456

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Попробую чуть разжевать. Установка Майкельсона это физический объект, опыт который он поставили это переход данной физической системы из состояние в состояние. Само состояние этой системы это некий примитив из двух точек (два зеркала, точнее точек где луч отражается) и одного наблюдателя в точке полупрозрачного зеркала (где луч разделяется).

Это описание неверно в более сложной теории. Не знаете - не высказывайтесь.

Установка Майкельсона лабораторных масштабов не требует ОТО вообще. Установка Майкельсона крупных масштабов (например, как космический интерферометр LISA) не "примитив", и требует описания не только двух трёх точек, но и всей геометрии пространства-времени между ними, например, для описания прохождения гравитационных волн.

EvgenyGR в сообщении #782071 писал(а):

Кто-то может наконец формализовать этот опыт до понятия описания состояния физической системы? Или это мне придется делать самому, а теория относительности не моя тема.

Настолько не ваша, что вы даже не знаете, что теорий относительности - две!

[Urnwestek]

Pavlovsky в сообщении #782031 писал(а):

В любом определении предела (ну почти в любом) есть фраза типа

$|f(x)-L|< \varepsilon$

Почти в любом определении такой фразы нету. (: А есть такая формулировка только в очень хороших пространствах, метрических, например, а то что в метрических пространствах есть метрика факт не особо интересный...