т.е. канонического определения дифференциала в общих лтп нет.
Ну и что? "Расщепление" понятий при переходе к более широкой области — самое обычное явление. Вы хоть в курсе, что в нормированных линейных пространствах существуют неэквивалентные определения производной? Например, есть производная Фреше и производная Гато. Причём, оба определения используются. И наличие метрики не спасает от расщепления. А канонического определения в случае линейных топологических пространств нет по очень простой причине: для отображений произвольных линейных топологических пространств не удаётся определить производную, которая имела бы все свойства, которые хотелось бы получить. Возможно, класс линейных топологических пространств — это не тот естественный класс, где нужно определять производную. Мне известна
попытка определения производной в более широком классе пространств, чем топологические линейные, причём, это определение получилось с множеством приятных свойств, но, к сожалению, в работе была обнаружена ошибка. К сожалению, не знаю, что с этим стало дальше.
Вообще, Ваше возражение выглядит весьма нелепым: из того, что существует много определений, не использующих метрику, Вы делаете вывод, что определения нет вообще.
Обратите также внимание на то, что если отображение имеет в некоторой точке производные в смысле двух разных определений, то эти производные совпадают (это написано в той статье, на которую я ссылался, на странице 203). Поэтому всё различие между разными определениями производной сводится к тому, что они имеют различные области приложения.
я всего лишь хотел сказать то что у вас множество действительных чисел упорядоченно именно так
как будто вы чтото собрались измерять и дальше такие слова как ... сравнение, измерение, метрика и т.п.
А как ещё можно упорядочить множество действительных чисел?
В любом определении предела (ну почти в любом) есть фраза типа
Дык
это метрика!
Дык, перепишите это место так:
— никакой метрики и в помине не будет. Вообще, я не понимаю, что Вам не нравится. В определении поля действительных чисел есть арифметические операции (сложение и умножение), отношение порядка, аксиомы поля, аксиомы линейного порядка, аксиомы, связывающие отношение порядка с арифметическими операциями, и аксиома полноты (с использованием сечений Дедекинда). Никакой метрики, как видите, нет. Но метрику можно определить. И потом ей пользоваться. А можно не определять. И, соответственно, не пользоваться, а обойтись первичными понятиями.
Не понимаю, что значит вторичная струкутура.
Я объяснял уже: первичными понятиями для действительных чисел являются арифметические операции и отношение порядка. Метрика определяется через арифметические операции и отношение порядка, и в этом смысле вторична.
Метрика это бинарная операция (a,b) -> c, где
.
Нет. Метрика — не операция. Метрика на множестве
— это функция
, удовлетворяющая двум аксиомам:
1)
;
;
2)
.
и вообще фраза "Метрика на множестве" кривая. Метрику можно задать на алгебраической структуре.
Нет. Метрика задаётся именно на множестве, а не на алгебраической структуре. Если на том же множестве случилась ещё какая-то алгебраическая структура, то обычно требуют непрерывности алгебраических операций относительно топологии, порождаемой метрикой.
Как правило метрика должна удовлетворять правилу треугольника.
.
Обязательно. Кстати, обратите внимание, как я написал неравенство треугольника. Из него следует симметрия:
.
То есть на множестве B как минимум должно быть задано отношение полного порядка и операция сложения. То есть это уже не множество, а алгебраическая структура.
Множество
— это множество действительных чисел. Всякие обобщения, когда вместо
берётся что-то другое, не трогаем.
Ну и имеет ли смысл после этого спекулировать на том, что в пространствах (которые всеравно метризуемы) метрику вводить необязательно, а можно работать в топологических терминах? При том, что для определения производной вам в любом случае нужна дополнительная структура кроме топологии, те же множества
Конечно, конечномерные линейные пространства над полем действительных чисел метризуемы. Евклидовой метрикой и многими другими, которые все топологически эквивалентны. Но, например, в СТО или ОТО евклидова метрика не используется. А то, что в этих теориях называется "метрикой", в топологическом смысле метрикой не является. Хотя бы потому, что эта "метрика" есть не функция на квадрате несущего множества, а квадратичная форма на касательном расслоении.